2014高考数学(理)一轮：一课双测A+B精练(三十九) 合情推理与演绎推理

高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(三十九) 合情推理与演绎推理1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和② 2．(2012·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．全不正确 3．(2012·泰兴模拟)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2＝( ) A.18B.19C.164D.1274．(2012·德州模拟)给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b”； ④“若x ∈R ，则|x|＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z|＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2，n ∈N*)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是Sn.按此规律推断出Sn 与n 的关系式为( )A ．Sn ＝2nB ．Sn ＝4nC ．Sn ＝2nD ．Sn ＝4n －4 6．(2012·武汉市适应性训练)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{an}的前n 项和为Sn.由an ＝2n －1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn ＝n2B ．由f(x)＝xcos x 满足f(－x)＝－f(x)对∀ x ∈R 都成立，推断：f(x)＝xcos x 为奇函数C ．由圆x2＋y2＝r2的面积S ＝πr2，推断：椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N*，(n ＋1)2＞2n 7．(2013·杭州模拟)设n 为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________． 8．(2011·陕西高考)观察下列等式 1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 ……照此规律，第n 个等式为________． 9．(2012·杭州模拟)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5.(1)求a18的值；(2)求该数列的前n 项和Sn.12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n ＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋1f n －1的值．1．(2012·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．1992．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC·OA ＋S △OCA·OB ＋S △OBA·OC＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．3．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； (2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； (3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； (4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 7. __________ 8. __________ 9. ________答 案高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(三十八) A 级1．选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 2．选C 因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. 3．选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V1V2＝127.4．选B 类比结论正确的有①②.5．选D 由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为Sn ＝4n －4.6．选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n 项和等于Sn ＝n 1＋2n －12＝n2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A. 7．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f(2n)≥n ＋22. 答案：f(2n)≥n ＋228．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S21＋S22＋S23＝S24. 答案：S21＋S22＋S23＝S2410．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.11．解：(1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n －1＝2，a2n ＝3(n ＝1,2…)，故a18＝3. (2)当n 为偶数时，Sn ＝a1＋a2＋…＋an ＝(a1＋a3＋…＋an －1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ；当n 为奇数时，Sn ＝Sn －1＋an ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：Sn ＝⎩⎨⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.12．解：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …由上式规律，所以得出f(n ＋1)－f(n)＝4n. 因为f(n ＋1)－f(n)＝4n ， 所以f(n ＋1)＝f(n)＋4n ， f(n)＝f(n －1)＋4(n －1)＝f(n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f(n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f(1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n2－2n ＋1. (3)当n≥2时，1f n －1＝12n n －1 ＝12(1n －1－1n )， ∴1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋1f n －1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n. B 级1．选C 记an ＋bn ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n ∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.2．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有VO －BCD·OA―→＋VO －ACD·OB ＋VO －ABD·OC ＋VO －ABC·OD ＝0. 答案：VO －BCD·OA ＋VO －ACD·OB ＋VO －ABD·OC ＋VO －ABC·OD＝0 3．解： (1)选择(2)式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30° ＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋34cos2α＋32sin αco s α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α ＝34sin2α＋34cos2α ＝34. 法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.。