光纤通信第一章3-阶跃光纤中的模式理论剖析
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w 0、模式截止时， J 1(u) uJ (u)
J (u) 0 注意：不能取零根。
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12
小结：求各模式截止值的方程
（1）对TE0m模和TH0m模： J0 (u) 0 TE0m模和TH0m模的截止频率相等，是兼并模。
（2）对EHm模： J (u) 0 （Biblioteka Baidu）对HE m模：
K
v
(
wr a
)e i
ra ra ra ra
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（2） 用波导方程式求出 E和H ，在 r a 的界面上，
E和H应连续,得到弱导近似(n1 n2 )下的本征方程
J (u) uJ (u)
K (w) wK (w)
(
1 u2
1 w2
)
4、光纤中的各种导模
（1）TE0m和TM0m模（ 0, m 1, 2, ） ， J0 (u) K0 (w) 0 uJ0 (u) wK0 (w) 当模式截止时, w 0,
uJ1(u) wK1(w) w 0 时， J0 (u)
uJ1 (u )
J1(u) 0 J0 (u)的根有0, 3.8317, 7.016, , 分别对应 HE11, HE12 , HE13,... 的截止频率。
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（3）EH m模
J 1(u) K 1(w) uJ (u) wK (w)
第1.3节 阶跃折射率光纤中的模式理论
1、圆柱坐标系中的基本波导方程式 2、用分离变量发求解阶跃折射率光纤
中的波动方程 3、边界条件和特征方程式 4、光纤中的各种导模
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1
1、圆柱坐标系中的基本波导方程式
（1）波动方程
2
1 r
r
(r
r
)
1 r2
2 2
2
z 2
E E(r,) exp(it i z)
3
2、用分离变量发求解阶跃折射率光纤中的波动方程 1）变量分离
令 (r,) R(r)()
() ei , 0,1, 2, 场的圆周对称性
得
d
2R(r) dr 2
1 r
dR(r) dr
(k 2
2
2
r2
)R(r)
0
2）解的形式
a. 在纤芯中 （ r a, k k1 k0n1)
概念：传导模应沿径向呈驻波分布，即 k02n12 2 0 r 0 处场分量应为有限值
=1， J1(u) 0
1, J 1(u) u uJ (u) 2( 1)
（4）HE11是光纤中的主模，对任意光波长这种模式都能在光纤中传输。 （5）可以证明（书上p32），远离截止时HE 1，m和EH 1，m
有相同的特征方程
（6）若光纤的归一化频率V 2 a
n
2 1
n22
2.405, TE0m、TH0m
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6、单模光纤
单模传输条件： LPo1模（HE11模）的横向电场分布
ur
Et
E0 J0 ( a J0 (u)
)
c
=
E0
K0
(
wr a
)
K0 (w)
单模光纤的截止波长
ra ra
2 c n0a 2 2.405
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可以证明，若将 HE 1，m和EH 1，m 模线性叠加，得
到的是直角坐标系下的线偏振模，这就是LP（Linearly Polarized Mode）模的来源。
LPom模是由HE1m模得到；LP1m模是由TEom、TMom和 HE2m模线性组合得到；LP2m模是由EH1m模和HE3m模线 性组合得到，…
H H (r,) exp(it i z)
2
r 2
1 r
r
1 r2
2 2
(k2
2 )
0
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2
（2）波导方程式
Er
i K2
(
Ez r
r
H z
)
E
i K2
(
r
Ez
H z ) r
Hr
i K2
(
H z r
r
Ez )
H
i K2
(
r
H z
Ez r
)
K2 k2 2
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令 w2 ( 2 k02n12 )a2
得
Ez2 Hz2
C
D
Kv
(
wr a
)e i
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5
c.重要结构参量：归一化频率V
V2
u2
w2
k02a2 (n12
n22 )
(
2
a
)2
(n12
n22 )
由于纤芯中需满足 k02n12 2 0
包层中需满足
2 k02n12 0
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（2） HE m 模
特征方程
J (u) K (w) ( 1 1 )
uJ (u) wK (w)
u2 w2
利用贝塞尔函数的递推公式，得
J 1(u) K 1(w) uJ (u) wK (w) w 0 时 J 1(u) u
J (u) 2( 1)
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1 时， J0 (u) K0 (w)
和HE21模都还没有出现，实现单模传输。
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几个低次模的归一化传输常数随V的变化
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（4）几个低次模的场型图
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5、近似解——LP模
思路： 为了简化分析，不考虑各种模式的具体区别，只注意各 模式的传输系数，将弱导近似下传输系数相等的模式用 LP模概括起来。
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4
所以，R（r）的解应取贝塞尔函数( J 函数)
令 u2 (k02n12 2 )a2
得
Ez1 H z1
A B
Jv
(
ur a
)ei
b. 在包层中（r a, k k2 k0n2 ）
概念：传导模应沿径向迅速衰减，即 2 k02n22 0
所以，R（r）的解应取第二类变形的贝塞尔函数( K函数 )
J0 (u) , uJ0 (u)
J0 (u) 0
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J0 (u)的根有2.4048, 5.520, 8.6537, , 分 别对应TE 01 (TM 01 ), TE02 (TM02 ), TE03 (TM03 )...模的截止 频率。
TE0m和TM0m模有 相同的截止频率，
是兼并模。
可知导模的传输常数的取值范围为
k0n2 k0n1
与介质板波导得到的结果一致。
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3、边界条件和特征方程式
（1） r a 的界面上，Ez和Hz应连续,得到
Ez
A J (u)
J
v
(
ur a
)e i
A K (w)
K
v
(
wr a
)e i
Hz
B J (u)
J
v
(
ur a
)e i
B K (w)
J (u) 0 注意：不能取零根。
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小结：求各模式截止值的方程
（1）对TE0m模和TH0m模： J0 (u) 0 TE0m模和TH0m模的截止频率相等，是兼并模。
（2）对EHm模： J (u) 0 （Biblioteka Baidu）对HE m模：
K
v
(
wr a
)e i
ra ra ra ra
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（2） 用波导方程式求出 E和H ，在 r a 的界面上，
E和H应连续,得到弱导近似(n1 n2 )下的本征方程
J (u) uJ (u)
K (w) wK (w)
(
1 u2
1 w2
)
4、光纤中的各种导模
（1）TE0m和TM0m模（ 0, m 1, 2, ） ， J0 (u) K0 (w) 0 uJ0 (u) wK0 (w) 当模式截止时, w 0,
uJ1(u) wK1(w) w 0 时， J0 (u)
uJ1 (u )
J1(u) 0 J0 (u)的根有0, 3.8317, 7.016, , 分别对应 HE11, HE12 , HE13,... 的截止频率。
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（3）EH m模
J 1(u) K 1(w) uJ (u) wK (w)
第1.3节 阶跃折射率光纤中的模式理论
1、圆柱坐标系中的基本波导方程式 2、用分离变量发求解阶跃折射率光纤
中的波动方程 3、边界条件和特征方程式 4、光纤中的各种导模
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1
1、圆柱坐标系中的基本波导方程式
（1）波动方程
2
1 r
r
(r
r
)
1 r2
2 2
2
z 2
E E(r,) exp(it i z)
3
2、用分离变量发求解阶跃折射率光纤中的波动方程 1）变量分离
令 (r,) R(r)()
() ei , 0,1, 2, 场的圆周对称性
得
d
2R(r) dr 2
1 r
dR(r) dr
(k 2
2
2
r2
)R(r)
0
2）解的形式
a. 在纤芯中 （ r a, k k1 k0n1)
概念：传导模应沿径向呈驻波分布，即 k02n12 2 0 r 0 处场分量应为有限值
=1， J1(u) 0
1, J 1(u) u uJ (u) 2( 1)
（4）HE11是光纤中的主模，对任意光波长这种模式都能在光纤中传输。 （5）可以证明（书上p32），远离截止时HE 1，m和EH 1，m
有相同的特征方程
（6）若光纤的归一化频率V 2 a
n
2 1
n22
2.405, TE0m、TH0m
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6、单模光纤
单模传输条件： LPo1模（HE11模）的横向电场分布
ur
Et
E0 J0 ( a J0 (u)
)
c
=
E0
K0
(
wr a
)
K0 (w)
单模光纤的截止波长
ra ra
2 c n0a 2 2.405
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可以证明，若将 HE 1，m和EH 1，m 模线性叠加，得
到的是直角坐标系下的线偏振模，这就是LP（Linearly Polarized Mode）模的来源。
LPom模是由HE1m模得到；LP1m模是由TEom、TMom和 HE2m模线性组合得到；LP2m模是由EH1m模和HE3m模线 性组合得到，…
H H (r,) exp(it i z)
2
r 2
1 r
r
1 r2
2 2
(k2
2 )
0
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2
（2）波导方程式
Er
i K2
(
Ez r
r
H z
)
E
i K2
(
r
Ez
H z ) r
Hr
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(
H z r
r
Ez )
H
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(
r
H z
Ez r
)
K2 k2 2
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令 w2 ( 2 k02n12 )a2
得
Ez2 Hz2
C
D
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(
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)e i
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c.重要结构参量：归一化频率V
V2
u2
w2
k02a2 (n12
n22 )
(
2
a
)2
(n12
n22 )
由于纤芯中需满足 k02n12 2 0
包层中需满足
2 k02n12 0
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（2） HE m 模
特征方程
J (u) K (w) ( 1 1 )
uJ (u) wK (w)
u2 w2
利用贝塞尔函数的递推公式，得
J 1(u) K 1(w) uJ (u) wK (w) w 0 时 J 1(u) u
J (u) 2( 1)
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1 时， J0 (u) K0 (w)
和HE21模都还没有出现，实现单模传输。
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几个低次模的归一化传输常数随V的变化
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14
（4）几个低次模的场型图
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16
5、近似解——LP模
思路： 为了简化分析，不考虑各种模式的具体区别，只注意各 模式的传输系数，将弱导近似下传输系数相等的模式用 LP模概括起来。
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所以，R（r）的解应取贝塞尔函数( J 函数)
令 u2 (k02n12 2 )a2
得
Ez1 H z1
A B
Jv
(
ur a
)ei
b. 在包层中（r a, k k2 k0n2 ）
概念：传导模应沿径向迅速衰减，即 2 k02n22 0
所以，R（r）的解应取第二类变形的贝塞尔函数( K函数 )
J0 (u) , uJ0 (u)
J0 (u) 0
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8
J0 (u)的根有2.4048, 5.520, 8.6537, , 分 别对应TE 01 (TM 01 ), TE02 (TM02 ), TE03 (TM03 )...模的截止 频率。
TE0m和TM0m模有 相同的截止频率，
是兼并模。
可知导模的传输常数的取值范围为
k0n2 k0n1
与介质板波导得到的结果一致。
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6
3、边界条件和特征方程式
（1） r a 的界面上，Ez和Hz应连续,得到
Ez
A J (u)
J
v
(
ur a
)e i
A K (w)
K
v
(
wr a
)e i
Hz
B J (u)
J
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(
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