空间解析几何与向量代数.ppt

故 y1 x2 y2 , 故得
f ( x2 y2 , z) 0.
(4)
反之，若空间点(x, y, z)满足(4)，也可推知(x, y, z) 在旋转面上，即(4)为所求.
其它情形：平面曲线 f (y, z)绕 y 轴所成旋转面之 方程.
f ( y, x2 z 2 ) 0.
平面曲线 f (x, y)绕 x 轴所成旋转面之方程
d
•
M
y
曲线 f (y, z)=0交于 M1(x1, y1, z1), 与 z 轴交于M2(0, 0, z2). 则x1=0, z1=z2=z, 从而
x
y1满足 f (y1, z1) = f (y1, z)=0.
由旋转性质 d = d1= |y1|
(x 0)2 ( y 0)2 (z z2 )2 x2 y2 .
绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为
旋转椭球面.
若a=b=c， 方程变为 x2+y2+z2=a2,
它表示一个球心在原点，半径为 a 的球面.
2. 椭圆抛物面 x2 y2 z( p, q同号) 2 p 2q
不妨设 p, q 均大于0， 以平行于 xy 面的平面 z=z0(z0>0)截椭圆抛物面，所得截线方程为
3、二次曲面
下面接着介绍空间二次曲面的典型类型. 一般地，称
A11x2+A22y2+A33z2 +2A12xy+2A23yz+2A31zx+A+A1x+A2y+A3z=0 为三维空间R3中的二次曲面方程. 我们仅讨论 几类典型情况.
1. 椭球面 x2 y 2 z 2 1 ( a, b, c均大于0). a2 b2 c2
f (x, x2 z 2 ) 0.
几种重要曲面
1. 圆锥面
设过原点直线 l 绕另 一直线 (比如 z轴)旋转， 旋转而成曲面称为圆锥面. 其中 l 称为母线. z轴为中心 轴. l与旋转轴夹角.
(0 )
2 称为圆锥面的半顶角.
z
l
0
y
x
同前例，任取圆锥面上一点 M(x, y, z)
例1. 建立球心在 M0(x0, y0, z0), 半径为R 的球面 的方程.
解：
z
M M0• R
x0
y
根据图形知，球面上任一点M到球心的距离为R. 即 ||M0M||=R.
设M点坐标为(x, y, z)，则根据两点间距离计算公式
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R,
或 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2. (2) 反之, 任取(x, y, z)满足(2). 则M(x, y, z)到M0的距离 为R. 故(x, y, z)在球面上. 因此(2)即为所求球面的 方程.
特例: x0=y0=z0=0. 则(2)变为
x2+y2+z2=R2.
x2 2p
y2 2q
z0 ,
椭圆
z z0.
以平行于 xz 面的平面 y=y0 截曲面，截线方程为
x2 z y02 ,
2p
2q
抛物线
y y0.
同理，以平行于 yz 面的平面 x=x0 截曲面所得 截线是平面 x=x0 上的一条抛物线.
若p, q均大于0，则椭圆抛物面的开口朝上.
若p, q均小于0，则椭 圆抛物面的开口朝下. 特例：
形成的曲面称为圆柱面.
如图
设直线 l 绕 z 轴旋转.柱面 上任意点M(x, y, z). 过 M 作垂直于z轴平面交 z 轴于 M1(x1, y1, z1). 则(x1, y1, z1)=(0, 0, z).
z
M1 M
y
0
x l
则 ||M1M|| = 定长=R.
(x 0)2 ( y 0)2 (z z)2 R, 即 x2 y2 R2.
点(0, 0, z0).
同理，以平面x=x0(|x0|≤a)和平面y=y0(|y0|≤b) 截椭球面所得截线与上述情况类似， 因此，椭球
面的形状如图
z
0
y
x
若a=b，方程变为 x2 y 2 z 2 1, a2 a2 c2
由旋转曲面的知识知，这个方程表示 xz 面上椭圆
x2 a2
z2 c2
1
第七章
空间解析几何与向量代数
§7-3. 曲面及其方程
在前面，我们已知，空间平面对应于一
个三元一次方程.
Ax By Cz D 0
(1)
反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中 的一个平面.
如果平面 的方程是(1)，其含义是平面
上任意动点(x, y, z)都是(1)的解. 而(1)的每一组解
易知，|x|≤a, |y|≤b, |z|≤c, 为了了解曲面形状，先
以平行于 xy 面的平面z=z0(|z0|≤c)截曲面，得到 截线方程为
x2 a2
y2 b2
1
z02 c2
,
z=0.
因1 z02 0,
c2
从而当| z0 | C时,
截线是平面
z=z0上一椭圆，而当 | z0|=c时，截线退缩成一
(Fra Baidu bibliotek)
(3)表示中心在原点，半径为R的球面方程.
例2. 设 yz 平面有一已知曲线C，它的方程为
f (y, z)=0. 将曲线绕 z 轴旋转一周，得一曲面. 求
此旋转面的方程。
设旋转面上任一点
解： z
M(x, y, z), 于M作垂直于z轴
f (y, z)=0 的平面在 yz 平面上与平面
M2 d1 M1
若p= q, 方程变为
z
y x
x2 y02 z, 2 p 2q
它是由 xz 面上曲线 z x2 2p
绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为旋转抛物面.
3. 双曲抛物面 x2 y2 z( p, q同号) 2 p 2q
过 M 作垂直于 z 轴的平面. 则交 z 轴于 M2(0, 0, z)，
交 yz平面于M1.
z
由几何性质 || M 2M || tg.
|| OM2 ||
故
x2 y2
tg.
|z|
M2 • • M1 M
l
0
y
x
即得曲面方程 z2 x2 y2ctg.
2. 圆柱面
两平行直线，其中一条绕另一条旋转，所
也对应于 上某一点.
一、曲面方程的概念
定义1：设空间曲面S. 及三元方程 F(x, y, z)=0. 如果 S 上任一点 M(x, y, z). 其坐标 x, y, z 都满足 F(x, y, z)=0. 反之，F(x, y, z)=0的任一解(x, y, z)对 应的空间点(x, y, z)也在S上. 则称F(x, y, z)=0为 S 的方程. 而 S 则称为 F(x, y, z)=0的图形.