角平分线的性质教学设计

角平分线的性质

【课时安排】

3课时

【第一课时】

【教学目标】

一、知识与技能

能够利用三角形全等，证明角平分线的性质，能对角平分线的性质进行简单推理，解决一些实际问题。

二、过程与方法

经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。

【教学重难点】

1．重点：角平分线的性质。

2．难点：对角平分线的性质进行简单推理，解决一些实际问题。

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

（一）引导学生回顾上节课的主要内容。

（二）三角形中有哪些重要线段？你能作出这些线段吗？

（三）多媒体展示如下问题，请学生思考。

如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，

AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能

说明它的道理吗？

（四）学生互相讨论，教师巡视班级，观察监督学生的活动情况，也可参与到学生的讨论中去。

（五）师生共同分析讨论，探究问题的解答。

分析：要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB，∠CAD和∠CAB 分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了。

看看条件够不够。

AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩

所以△ABC ≌△ADC （SSS ）。

所以∠CAD=∠CAB ．

即射线AC 就是∠DAB 的平分线。

二、探究角平分线的作法和性质

（一）教师总结指出：由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法。

作已知角的平分线的方法：

已知：∠AOB

求作：∠AOB 的平分线

（二）作法

1．以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N 。

2．分别以M 、N 为圆心，大于12

MN 的长为半径作弧。两弧在∠AOB 内部交于点C 。 3．作射线OC ，射线OC 即为所求。

（三）议一议

1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？ 2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？

3．去掉“大于12

MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线。

4．若分别以M 、N 为圆心，大于12

MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB 的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了。

5．角的平分线是一条射线，它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可。

6．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明。

（四）练一练

任意画一平角∠AOB ，作它的平分线。

结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。

（五）探索活动

1．在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。把角A对折，使得这个角的两边重合。

2．在折痕（即平分线）上任意找一点C，过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA的交点，即垂足。

3．将纸打开，新的折痕与OB边交点为E。

总结：角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

下面用我们学过的知识证明：如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。求证：OE=OD。

三、随堂练习

课本练习。

四、课堂小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质。

【第二课时】

【教学目标】

一、知识与技能

能够利用角平分线的性质进行推理和计算，解决一些实际问题。

二、过程与方法

经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。

三、情感态度与价值观

渗透建立几何模型的数学思想和培养学生解决实际问题的能力。

【教学重难点】

1．重点：角平分线的性质。

2．难点：对角平分线的性质进行简单推理，解决一些实际问题。

【教学过程】

一、引入

我们知道，角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？

二、探究

如图：点Q在∠AOB内，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD=QE求证：OQ是∠AOB的角平线。

归纳：到角的两边的距离相等的点在上。

用符号语言表示为：∵；∴点Q在∠AOB的平分线上。

三、结论

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

四、应用

（一）A组练习

1．如图1所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）。

A．PC>PD；B．PC=PD；C．PC

2．如图2所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AE=AC，下列结论中错误的是（）。

A．DC=DE；B．∠AED=90°；C．∠ADE=∠ADC；D．DB=DC

3．到三角形三边距离相等的点是（）。

A．三条高的交点；B．三条中线的交点；C．三条角平分线的交点；D．不能确定

4．如图3所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）。

A．一处；B．二处；C．三处；D．四处

图1 图2 图3

5．已知△ABC的外角平分线BD、CE相交于点P。求证：点P在∠A的平分线上。