高等数学(同济第七版)(上册) 知识点
(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
高等数学同济第七版上册笔记
高等数学同济第七版上册笔记
高等数学同济第七版上册笔记：
一、第1章函数及其图象。
1、函数：定义域、值域和定义域与值域、函数的唯一性、函数的表示式。
2、一元函数：一元函数关系、函数增减性及极值、函数的单调性。
3、二元函数：一般性函数定义、定义域及值域、函数变换、矩阵运算。
4、函数的图象：函数的图象的判断、函数的图象的绘制和性质。
二、第2章一次函数。
1、一次函数的斜率：斜率的定义、斜率的性质、斜率的应用。
2、一次函数的判别式：一次函数的判别式的性质。
3、一次函数的图象：一次函数的图象的对称性、一次函数的图象的性质。
4、一次函数的运算：一次函数的加法、减法、乘法、除法、幂次。
三、第3章线性函数。
1、线性函数的法则：线性函数的性质、线性函数的图象。
2、线性变换：线性变换的定义和性质。
3、矩阵的运算：矩阵的定义和性质、矩阵的加法和乘法、矩阵的乘方。
四、第4章二次函数。
1、二次函数的性质：二次函数的判定、二次函数的标准形式。
2、二次函数的图象：二次函数的图象的判断和绘制、二次函数的图象的性质。
3、二次函数的运算：二次函数的加法、减法和乘法。
4、二次函数的拟合：二次函数的拟合问题、最小二乘法。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 导数与微分(圣才出品
区间 Ix＝{x|x＝f（y），y∈Iy}内也可导，且
f 1 x
f
1
y
或
dy dx
1 dx
dy
3．复合函数的求导法则
如果 u＝g（x）在点 x 可导，而 y＝f（u）在点 u＝g（x）可导，则复合函数 y＝f[g（x）]
在点 x 可导，且其导数为
dy f ug x或 dy dy du
dx
dx du dx
u nv
nu n1v
nn
1
u
n2 v
...
n
n
1... n
k
1
u
nk
v
k
... uv
n
2!
k!
或
uv n n Cnkunkvk k 0
四、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
1．隐函数的导数
（1）隐函数 F（x，y）＝0 导数的求法
把函数方程两边分别对 x 求导，然后化简得到 dy/dx 的结果。
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第 2 章 导数与微分
2.1 复习笔记
一、导数概念
1．导数
（1）导数与导函数
①导数的定义
f
x0
lim
x0
y x
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
（2）单侧导数
①左导数
f ( x0
)
lim
h0
f
x0 h
h
f
x0
②右导数
（1）参数方程的一阶导数公式
dy dx
dy dt dt dx
数学笔记-同济第七版高数（上）-第二章-导数与微分-函数的微分
数学笔记-同济第七版高数（上）-第二章-导数与微分-函数的微分一、定义y=f(x)，(x∈D), x0∈D, x0+Δx∈DΔy=f(x0+Δx)-f(x0)若Δy=AΔx+o(Δx)，称y=f(x)在x=x0可微意思是Δy若能表示为一个常数乘以Δx和一个Δx的高阶无穷小的和，就称y=f(x)在x=x0可微称AΔx为y=f(x)在x=x0这点的微分dy|x=x0=AΔx=Adx, dx也是微分二、Notes1、可导 <=> 可微证明：“=>”:设lim(Δx->0)f(x)=A则Δy/Δx=A+α, α->0(Δx->0)Δy=AΔx+Δxα,lim(Δx->0)[Δxα/Δx]=0,即Δxα=o(Δx)所以Δy=AΔx+o(Δx)所以y=f(x)在x=x0点可微“<=”:设Δy=AΔx+o(Δx)Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx因为lim(Δx->0)[o(Δx)/Δx]=0所以Δy/Δx=A+α, α->0, (Δx->0)所以y=f(x)在x=x0点可导2、y=f(x)，x=x0，Δy=AΔx+o(Δx)，则A为f'(x0)，A为该点导数3、y=f(x)，x=x0，Δy=AΔx+o(Δx)，则(dy|x=x0)=AΔx=f'(x0)Δx=f'(x0)dx若y=f(x)可导，dy=df(x)=f'(x)dx如：d(x^3)=(x^3)'dx=3x^2dxd(e^3x)=3e^3xdxx^2dx=d(1/3*x^3+C)1/(1+x^2)*dx=d(arctanx+C)4、若y=f(x)在x=x0可微，则：Δy=f'(x0)Δx+o(Δx), dy|x=x0 = f'(x0)dx=> Δy-dy=o(Δx)5、设y=f(x)在x=x0可微，则dy=f'(x)Δxf'(x)为y=f(x)在x=x0对应点的斜率三、微分的几大工具1、公式d(c)=0d(x^n)=nx^(n-1)dxd(a^x)=a^x*lna*dxd(sinx)=cosxdx, d(cosx)=-sinxdxd(loga(x))=1/(xlna)*dx......2、四则d(u±v)=du±dvd(uv)=dudvd(u/v)=(vdu-udv)/v^23、复合y=f(u)(1)dy=f'(u)du(2)若u=g(x), dy=f'(u)du=f'(u)g'(x)dx四、近似计算设y=f(x)在x=x0可微Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f'(x0)Δx+o(Δx)=>Δy≈f'(x0)Δx=>f(x0+Δx)≈f(x0)+f'(x0)Δx。
新版高等数学(同济第七版)上册-知识点总结-新版-精选.pdf
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim x g x f 且lx g x f )()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以 f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1-cos x ~ 2/2^x ，xe -1 ~ x ，)1ln(x ~ x ，1)1(x ~ x二．求极限的方法1．两个准则准则 1.单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤h (x )若A x h A x g )(lim ,)(lim ，则Ax f )(lim 2．两个重要公式公式11sin limx x x公式2ex xx /10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332n n nnnxxo n xx x xxx o n x x x x e)(!2)1(...!4!21cos 2242nnnx o n xxxx )()1(...32)1ln(132nnn x o n xxxxx )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2nnx o xn n xx x )(12)1( (5)3arctan 1212153n n n xo n xxxxx 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0x f x x，0)(lim 0x F x x；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(limx F x f xx 存在时，)()(limx F x f xx 也存在且等于)()(limx F x f xx ；当)()(limx F x f x x为无穷大时，)()(limx F x f xx 也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L ospital ）法则.型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）)(lim 0x f xx ，)(lim 0x F xx ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x时未定式型的洛必达法则，对于x 时未定式型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“”型才能运用该法则；)()(lim)()(limx F x f x F x f x xx x)()(lim)()(lim 0x F x f x F x f x xxx（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'00x f xx f x x f x (如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式11)()(1limdx x f n kf nnk n（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x)的间断点。
高等数学同济第七版教材上下册
高等数学同济第七版教材上下册高等数学是大多数理工科专业学生都需要学习的一门重要课程，它是数学的一个分支，包括微积分、极限、导数、积分等内容。
同济大学出版社出版的《高等数学同济第七版教材》是一本经典教材，在许多大学都被广泛采用。
本文将对该教材的上下册进行简要介绍。
上册主要讲解微积分的基础知识和方法。
第一章是导言部分，介绍了微积分的起源和发展，以及微积分在科学和工程问题中的重要性。
第二章从实数的相关概念开始，包括实数的性质、大小比较、数列的极限等内容。
第三章介绍了函数的概念和性质，如函数的定义域、值域、单调性等。
第四章主要讲解极限的概念和运算法则，以及极限存在的判定方法。
第五章是导数的基本概念和计算方法，包括导数的定义、四则运算、复合函数求导等。
第六章讲解了微分的概念和性质，以及微分中值定理。
第七章介绍了一元函数的应用问题，如最值、曲线的凹凸性、函数的图象等。
下册主要讲解积分和微分方程等内容。
第八章以不定积分为开始，讲解了不定积分的基本性质和运算法则，以及常见的求积方法。
第九章是定积分的概念和计算，包括定积分的定义、性质、几何应用等。
第十章讲解了定积分的几何应用，如平面图形的面积、旋转体的体积等。
第十一章介绍了反常积分的概念和计算方法。
第十二章是微分方程的基本概念和解法，包括一阶常微分方程和高阶常微分方程。
第十三章讨论了线性微分方程、二阶齐次线性微分方程以及常系数线性齐次微分方程。
第十四章是常微分方程的应用，如生物学模型、电路模型等。
整本教材的特点是理论与实践相结合，理论部分系统而严谨，实例部分丰富而具体。
教材内容全面，涵盖了高等数学的各个方面，既有基础的原理和知识点，也有实际应用的例子和题目。
教材中的例题和习题都有详细的解答和推导过程，方便学生理解和掌握知识点。
此外，教材还附带有学习指导和练习辅导，帮助学生进行自主学习和巩固复习。
总之，同济大学出版社的《高等数学同济第七版教材》是一本经典的高等数学教材，内容丰富、系统、深入浅出。
高等数学(同济第七版)(上册)-知识点
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第二章 导数与微分 一．基本概念
1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。
∈[ a,b] ，有公式
，
, 称为拉格朗日余项 上面展开式称为以0(x) 为中心的n 阶泰勒公式。当 x0 =0 时，也称为n阶麦克劳林
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公式。 常用公式( 前8个)
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五．导数的应用
一．基本知识 设函数f ( x) 在 x0 处可导，且 x0 为f ( x) 的一个极值点，则 f '(x0) 0 。 我们称x 满足 f '(x0) 0 的 x0 称为 f (x) 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点， 反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
二．求导公式
三．常见求导
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1. 复合函数运算法则 2. 由参数方程确定函数的运算法则
设x =( t) ，y =(t) 确定函数y = y( x) ，其中'(t),'(t) 存在，且'(t) ≠ 0，则 dy '(t)
dx '(t) 3. 反函数求导法则 设y = f ( x) 的反函数x = g( y) ，两者皆可导，且f ′( x) ≠ 0 则 g'( y) 1 1 ( f '(x) 0)
2. 第二充分条件
f (x) 在 x0 处二阶可导，且 f (x0) 0 ，f (x0 ) 0 ，则①若 f (x0 ) 0 ， 则 x0 为极大值点；②若 f (x0 ) 0 ，则 x0 为极小值点.
高等数学第七版上册知识点总结
高等数学第七版上册知识点总结一、函数的概念1. 定义域：定义域是指一个函数允许定义的变量的集合。
2. 值域：函数对应的输出值的集合就是函数的值域。
3. 函数的图像：函数的定义图形可以通过函数的值域和定义域构成。
4.函数的性质：函数的单调性、奇偶性、最大值最小值等性质。
二、一元函数的分析1. 一元函数的极限：极限的概念、极限的性质、极限的计算方法。
2. 无穷小量的概念：无穷小量的概念、无穷小量的性质、无穷小量的运算。
3. 无穷级数及极限：无穷级数的概念、无穷级数的性质、极限的概念及极限的计算方法。
4. 函数的求导：导数的概念、求导法则、函数的求导方法。
三、复变函数1. 坐标变换：坐标系的概念、坐标变换的意义及方法。
2. 二元函数：二元函数的定义、图像的意义及特性、二元函数的求导。
3. 二元可变函数：二元可变函数的定义、图像的意义及特性、二元可变函数的极限及求导。
4. 泰勒公式：泰勒公式的定义、泰勒公式的构成、泰勒公式应用。
四、极限和无穷级数1. 函数的极限：函数的极限的定义、求函数极限的基本思想及极限的性质。
2. 无穷级数：无穷级数的定义、无穷级数的性质、无穷级数的收敛性及计算方法。
3. 相称收敛：相称收敛的定义、相称收敛的收敛性及计算方法、相称收敛的性质。
4. 无界和无限近似：无界的概念、无限近似数的意义及计算方法。
五、积分1. 定积分：定积分的定义、定积分的计算方法以及定积分的理论基础。
2. 容积：求容积的意义、容积的定义及容积的计算方法。
3. 不定积分：不定积分的定义、不定积分的计算方法及不定积分的性质。
4. 部分积分：部分积分的定义、部分积分的意义及部分积分的计算方法。
六、微分方程1. 微分方程的概念：微分方程的概念、普通微分方程的分类、普通微分方程的特征。
2. 微分方程的解法：通解的求法、初值问题的解法、定常点的求法、特解的求法。
3. 微分不等式：微分不等式的概念、微分不等式的性质及特点、微分不等式的解法。
高等数学(同济大学第七版)第一章函数与极限课后答案
高等数学(同济大学第七版)第一章函数与极限课后答案高等数学（同济大学第七版）第一章函数与极限课后答案1. 函数的概念1.1 什么是函数在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数可以用各种形式表示，例如数学公式、图表或者一种操作规则。
1.2 函数的分类根据函数的性质和表达方式，函数可以分为代数函数、三角函数、指数函数、对数函数等等。
每种类型的函数都有其独特的性质和特点。
2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义在数学中，当自变量趋近于某个特定值时，函数的值可能会趋近于一个常数或无限大。
这种趋近的过程被称为极限。
极限可以用数学符号进行表示。
2.2 极限的性质极限具有一些重要的性质，例如唯一性、局部性以及四则运算法则。
这些性质对于研究函数的性质和行为至关重要。
3. 函数的连续性与间断点3.1 函数的连续性连续性是函数的重要性质之一，它表示函数在某个区间内没有突变或间断。
一个函数可以是连续的，也可以是不连续的。
3.2 间断点的分类根据函数在某个点处的性质，间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
每种类型的间断点都有其特定的定义和判断条件。
4. 导数与微分4.1 导数的定义在数学中，导数表示函数在某一点处的变化率或斜率。
导数可以通过极限的概念来定义，并且具有一些重要的性质。
4.2 微分的概念与计算微分是导数的一个重要应用，它可以用于计算函数在某一点处的近似值。
微分也可以用于解决最优化问题和求解方程的近似解。
5. 函数的凸性与极值5.1 函数的凸性凸性是函数曲线的重要性质之一，它表示函数曲线在某个区间内的凸凹形态。
凸性可以通过函数的二阶导数来判断。
5.2 极值的概念与求解极值是函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
求解极值可以通过函数的导数和二阶导数来进行，常用的方法包括 Fermat 定理和 Euler 判别法。
6. 函数的图形与曲线的绘制6.1 函数的图形与性质函数的图形是函数曲线在平面直角坐标系上的表示。
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数
如何学好微积分 ?
1、深刻理解基本概念
2、勤于思考，敢于提问，独立完 成作业
3、快乐学习，在学习中提升自己、
华罗庚
认识自己
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节 函数
一、基本概念 二、函数及其几种基本特性 三、反函数 四、复合函数 初等函数
一、基本概念
值域 f (D) [0, )
f
(
1 2
)
2
1 2
2
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
y
y 1 x
y2 x
O
1
x
例：某市的出租车按如下规定收费：当行驶里程不 超过3km 时，一律收起步费 10 元；当行驶里程超 过 3km 时,除起步费外，对超过 3km 但不超过 10 km 的部分，按每千米 2 元计费，对超过 10 km 的部 分按每千米 3 元计费,试写出车费 C 与行驶里程 s 之间的函数关系。
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数， 辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
高等数学的主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
高等数学(同济第七版)(上册)_知识点总结
...高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设l imf(x)0,limg(x)0且llimg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，1-cosx~x^2/2，xe-1~x，ln(1x)~x，(1x)1~x二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)A,limh(x)A，则l imf(x)A2．两个重要公式sinx公式11limx0x1/x公式2xelim(1)x03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次xe 1x2x2!3x3!...nxn!no(x )sinxx3x3!5x5!... (n1)(2nx2n11)!2no(x1)WORD格式可编辑版...cosx12x2!4x4!... (2nxnox2n1)(2n!)ln(1x)x2x23x3... (nxnox n11)(n)(1x)1x (1)2!2x n ox n(1)...((n1))x...(n!)arctanxx3x35x5... (2n1xnox2n11)(2n11)5．洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()0fxxx0 ，limF(x)0xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limxx0Fx)(f(x)f(x)存在（或为无穷大），则limlimxx0FFx(x)xx()这个定理说明：当f(x)limx0Fxx()存在时，f(x)limxx0Fx()也存在且等于f(x)limxx0F(x)；当f(x) limxx()0Fx 为无穷大时，f(x)limx()x0Fx也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()fxxx0 ，limF(x)xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limx)x0F(x存在（或为无穷大），则f(x)f(x)limlimxx0F(x)x x F(x)注：上述关于x时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型x同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限WORD格式可编辑版...f(xx)f(x)00'基本公式()limfx0x0x(如果存在）3.利用定积分定义求极限基本格式1n1klimf()f(x)dxnnnk1（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x是函数y=f(x)的间断点。
高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总
高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
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n n k 1 n
0
三．函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点
设 x0 是函数 y = f (x)的间断点。如果 f (x)在间断点 x0 处的左、右极限都存在，
则称 x0 是 f (x)的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为
可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳 跃间断点。 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无 穷间断点和振荡间断点。
四．闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a,b]上连续的函数f (x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都 要用到。 定理1．（有界定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，则f (x)必在[a,b]上有 界。 定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，则在这个 区间上一定存在最大值M 和最小值m 。 定理3．（介值定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，且其最大值和最小值 分别为M 和m ，则对于介于m和M 之间的任何实数c，在[a,b]上至少存在一个ξ ， 使得f (ξ ) = c
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高等数学(同济第七版)上册-知识点总1.两个无穷小的比较 设 lim f (x) 0,lim g(x) 0 且 lim f (x) l
g(x)
（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[ g(x) ]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)
这个定理说明：当 lim f (x) 存在时， lim f (x) 也存在且等于 lim f (x) ；当
xx0 F (x)
xx0 F (x)
xx0 F (x)
lim f (x) 为无穷大时， lim f (x) 也是无穷大．
xx0 F (x)
xx0 F (x)
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值
2.常见的等价无穷小 当x →0时
sin x ~ x，tan x ~ x， arcsin x ~ x， arccosx ~ x，
1− cos x ~ x^2 / 2 ， ex −1 ~ x ， ln(1 x) ~ x ， (1 x) 1~ x
二．求极限的方法
1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
的方法称为洛必达（ LH ospital）法则.
型未定式
定理 2 设函数 f (x) 、 F (x) 满足下列条件：
（1） lim f (x) ， lim F(x) ；
xx0
xx0
（2） f (x) 与 F (x) 在 x0 的某一去心邻域内可导，且 F(x) 0 ；
（3） lim f (x) 存在（或为无穷大），则 xx0 F (x)
23
n
(1 x) 1 x ( 1) x2 ... ( 1)...( (n 1)) xn o(xn )
2!
n!
arctan x x x3 x5 ... (1)n1 x2n1 o(x2n1)
35
2n 1
5．洛必达法则
定理 1 设函数 f (x) 、 F (x) 满足下列条件：
推论：如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，且f (a)与f (b)异号，则在(a,b) 内至少存在一个点ξ ，使得f (ξ ) = 0这个推论也称为零点定理
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...
第二章 导数与微分 一．基本概念
1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。
二．求导公式
三．常见求导
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1.复合函数运算法则 2.由参数方程确定函数的运算法则
设x = (t)，y =(t) 确定函数y = y(x)，其中'(t),'(t) 存在，且'(t) ≠ 0，则 dy '(t)
2! 3!
n!
sin x x x3 x5 ... (1)n x2n1 o(x2n1)
3! 5!
(2n 1)!
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...
cos x 1 x2 x4 ... (1)n x2n o(x2n )
2! 4!
2n!
ln(1 x) x x2 x3 ... (1)n1 xn o(xn )
若 lim g(x) A,limh(x) A，则 lim f (x) A
2．两个重要公式 公式 1 lim sin x 1
x0 x
公式 2 lim(1 x)1/ x e x0
3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当 x 0 时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
ex 1 x x2 x3 ... xn o(xn )
0
（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；
（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不
能断定原极限不存在．
6．利用导数定义求极限
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...
基本公式 lim x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
f
' (x0 ) (如果存在）
7.利用定积分定义求极限
基本格式 lim 1 n f ( k ) 1 f (x)dx （如果存在）
f (x)
f (x)
lim lim
xx0 F (x) xx0 F (x)
注：上述关于
x
x0
时未定式
型的洛必达法则，对于
x
时未定式
型
同样适用．
使用洛必达法则时必须注意以下几点：
（1）洛必达法则只能适用于“ 0 ”和“ ”型的未定式，其它的未定式须
0
先化简变形成“ 0 ”或“ ”型才能运用该法则；
（1） lim f (x) 0 ， lim F(x) 0 ；
x x0
xx0
（2） f (x) 与 F (x) 在 x0 的某一去心邻域内可导，且 F(x) 0 ；
（3） lim f (x) 存在（或为无穷大），则lim f (x) lim f (x)
xx0 F (x)
xx0 F (x) xx0 F (x)