单纯形法人工变量法共20页
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单纯形法新版
1 2
2 1
1 0
10，A 中的2阶可逆子阵有
1
B 1
0
10，其相应的基向量为P3
,
P 4
,
基变量为x
3
,
x
，X
4
B1
x 3 ; x 4
1
B 2
2
2 1
,
其相应的基向量为P 1
,
P 2
,
基变量为x
1
,
x
2
,
X
B2
x 1 。 x 2
问题：本例旳A中一共有几种基？ —— 6个。
一般地，m×n 阶矩阵A中基旳个数最多有多少个？ — —C m 个。 n
p 1
7
(0 0
0) 4
7;
3
360 90
3
4
[ ] 中表达进基列与出基行旳交叉元，下一张表将实 施以它为主元旳初等行变换（称高斯消去）。措施是： 先将主元消成1，再用此1将其所在列旳其他元消成0。
C X B b1
B
B
0
x 3
360
0
x 4
200
0
x 5
300
0
x 3
240
0
x 4
50
（1）先将模型化为原则型
Maxz 7 x1 12x2
9x 1 4x 2 x 3
5x 2 10 x
2
x 4
200
x 300 5
x
1, x
2, x , x , x
3
4
5
0
(2) 拟定初始基可行解、检验
1
B 0
1
,
B
b1
单纯形法-人工变量法
θ
11 3/2 1
第一阶段求得的结果是ω = 0,最优解是（0,1,1,12,0,0,0）T 一阶段求得的结果是ω 0,最优解是 最优解是（ 12, 一阶段求得的结果是 是原线性规划问题的基可行解。 因人工变量 x6= x7=0，所以 ，所以(0,1,1,12,0)T 是原线性规划问题的基可行解。
第二阶段运算:
例:
max z=3x1+4x2 x1 +x2 ≤40 2x1+x2≤60 x1-x2 =0 x1 ,x2 ≥0
cj→ CB XB b x 3 40 0 x 4 60 0 0 -M x 5 cj - zj 0 0 3 4 0 3 x3 x4 x1 40 60 0 3 x1 1 2 [1] 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 4 x2 1 1 -1 [2] 3 -1 0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -1/3 1/3 1/3 -7/3 -M x5 0 -1 1 0
大M法 法
在目标函数中加上惩罚项。 在目标函数中加上惩罚项。
max =3x1-x2-x3-Mx6-Mx7 3 其中M为充分大的正数 为充分大的正数。 其中 为充分大的正数。 = 11 x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 + x6 =3 1 2 3 x3 + x7 = 1 − 2 x1 + x1 ,L , x7 ≥ 0 只要原问题有可行解， 只要原问题有可行解，随着目标函数向最大化方向的改善 人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， ，人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， 进而得到基最优解。 进而得到基最优解。 反之， 反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量 为基变量，便说明原问题无可行解。 的单纯形表格为： 为基变量，便说明原问题无可行解。例8的单纯形表格为： 的单纯形表格为
运筹学5-单纯形法
保持可行性 保持可行性 保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增 保持单调增 保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基 本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
(2) 线性规划的典则形式
标准型
Max Z CX AX b
s.t X 0
j 1
j 1
j 1
j 1
与X 0 相比，X 1 的非零分量减少1个，若对应的k-1个 列向量线性无关，则即为基可行解；否则继续上述步
骤，直至剩下的非零变量对应的列向量线性无关。
几点结论
❖ 若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点);
❖ 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点);
10
令 x1 0 x2 0
则 x3 15
X 0 0 15 24T
x4 24
为基本可行解，B34为可行基
B
0
X 24
3
108
A
0
X 34
0
15 24
0
0
X 23
12
45 0
1 基本解为边界约束方程的交点； 2 基对应于可行解可行域极点； 3 相邻基本解的脚标有一个相同。
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0， 所以有6个基阵和 6个基本解。
运筹学之单纯形法.ppt
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X6
X7
CB XB -36 M -M -6 -M -4 0
0
M
0
0
0
X3 100
2
3
1
00
0
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X6
X7
CB XB -36 M -M -6 -M -4 0
0
M
0
0
0
X3 100
2
3
1
00
0
运筹学02-单纯形法
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变
为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
19
第2章
单纯形法
2.3 人工变量法
2.3.1 大M法
在原问题的目标函数中添上全部人工变量，并令其系数 都为-M，
而M是一个充分大的正数。即
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn – M( xn+1 + xn+2 +…+ xn+m )
思路：由一个基本可行解转化为另一个基本可行解。 等价改写为 目标方程 max z max z = 3x1+5x2 z -3x1 -5x2 = 0 z -3x1 -5x2 x1 +x3 x1 +x3 = 8 2x2 +x4 2x2 +x4 = 12 s.t. s.t. 3x1+4x2 +x5 3x1 + 4x2 +x5 = 36 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 ≥ 0
以主列中正值元素为分母，同行右端常数为分子，求比值；
6
第2章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
(Ⅰ)
用换基运算 将X0 转化为 另一个基本 可行解 X1。
z- 3x1 -5x2 = 0 0 换基运算—— x1 +x3 = 8 ① 方程组的初等变换 目的是把主列变为 22x2 +x4 = 12 ② 单位向量：主元变 3x1 + 4x2 +x5 = 36 ③ 为1，其余变为0。 X0 = ( 0, 0, 8, 12, 36 )T z0 = 0
⑴ 当前基：m阶排列阵
最优化方法之单纯形法PPT课件
3 5
4 2
1 0
0 1
9 8
x3 9 3x1 0 x4 8 5x1 0
x1 3
x1 1.6
第5页/共76页
x1取min3,1.6 1.6,
即x4 0 x4出基
得到新基
3 5
1
0
• 迭代（求新的基本可行解）
3 4 1 0 9
5
2
0
1
8
主元素
3 4 1 0 9
1
25 0
s.t 3x1 4x2 x3 9
5x1 2x2 x4 8
x1, x2 , x3 , x4 0
• 找初始基可行解
系数的增广矩阵
取初始可行基为B1
1
0
0 1
3 4 1 0 9
A
5
2
0
1
8
得基可行解 X (0) (0 0 9 8)T
目标函数值 z(0) 0
• 判断是否最优解?能否找到另一个基可行解使目标函数 值下降?
x3
3 14
x4
3 2
x1
-
1 7
x3
2 7 x4 1
x2
3 2
5 14
x3
3 14
x4
x1
1
1 7
x3
-
2
7
x4
代入目标函数：
z
17.5
5 14
x3
25 14
x4
最优解： X * (1 1.5 0 0)T z* 17.5
第10页/共76页
X (0) (0 0 9 8)T z(0) 0
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
zj cj cBB1Pj cj
§43 人工变量法
0
0
LPⅡ min z 3 x1 2 x2 x3 Mx6 Mx7
2 2 1 0 0 0 1
4 x1 3 x2 x3 x4 x6 4
x1
x2
2 x3
x5
10
2
x1
2 x2
x3
x.7
1
x j 0, j 1, , 7
3
2
0
0
1 2
3
得 LPⅠ 的基础可行解：
2 x 0
0
可行基： B1 ( p1 , p2 , p5 )
3 2
计算 ：b00 和 b0i 的数据.
建立 LPⅠ对应基 B1 的单纯形表。
例2
用两阶段法解线性规划问题:
min S 4x1 3x3
0
LPⅡ
x1
x2 x4 3
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4
0
min z x1 2x2 Mx5
1 2 1 0 1
A
1
0
0
1
0
x1 2x2 x3 x5 4
x1
x2
x4 1
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4 ,
取初始可行基
B (P6 , P5 , P7 ) E cB (c6 , c5 , c7 ) ( M , 0, M ),
计算： CBb CB A C
单纯形法
-M X6 0 1 0 0 0 1
-M X7 0 0 1 0 -1 -2 1 θ 11 3/2 1
-1
X3 cj-zj
1
-2 -1
0 -1+M
0 1 0 0
1 0
0 0 1 0
0 0
1 0 0 0
0 -M
-2 -1 0 -1
0 0
2 1 0 -M+1
1 1-3M
-5 -2 1 -M-1
-
0 -1 -1
人工变量
第2页
cj CB 0 -M -M XB X4 X6 X7 cj-zj b 11 3 1
3 X1 1 -4 -2 3-6M
-1 X2 -2 1 0 -1+M
-1 X3 1 2 1 -1+3M
0 X4 1 0 0 0
0 X5 0 -1 0 -M
-M X6 0 1 0 0
-M X7 0 0 1 0 θ
2 1 0 -M+1
1 1-3M
-5 -2 1 -M-1
-
0 -1 -1
X4 X2 X3 cj-zj
12 1 1
3 0 -2 1
4 -
第14页
cj CB 0 -1 -1 XB X4 X2 X3 cj-zj 3 X1 4 b 12 1 1
3 X1 3 0 -2 1 1
-1 X2 0 1 0 0 0
-1 X3 0 0 1 0 0
-1 X3 1 2 1 -1+3M 0 0 1 0 0 0
0 X4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 X5 0 -1 0 -M 0 -1 0 -M -2 -1
-M X6 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1
运筹学第2章单纯形法
==８ ==6
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
第五章 单纯形法
➢ 3、那有没有办法在求出解之前保证我 们取得的基为可行基？
➢ 解决办法：保证右端项非负，找到一个 单位矩阵，必定是一个可行基。
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如范例系数阵：
右端项非负
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
存在3阶单位阵 （初始可行基）
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如令x1＝0，x2＝0，则 ➢ x3＝300，x4＝400，x5＝250 ➢ 可得到解（0，0，300，400，250）
一、问题的提出
➢ 又如：令x3＝0，x5＝0， ➢ 由约束条件： ➢ x1+x2+x3＝300 ➢ 2x1+x2+x4＝400 ➢ x2+x5＝250 ➢ 可得到解（50，250，0，50，0）
27500-50x3-50x5
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 典式Z= 27500-50x3-50x5
➢ 如果x3增加1，Z会怎样？ ➢ 答案：Z减少50。 ➢ 如果x5的值增加1，Z会怎样？ ➢ 答案：Z减少50 。 ➢ 可见要使Z增加，只有使x3和x5减少。
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ x3，x5的取值是否有减少的可能？ ➢ 分析：该解中非基变量 x1，x2的取值为
一、问题的提出
❖ 线性规划解的集合关系：
基
可
本最
基
行
可优
本
解
行解
解
解
一、问题的提出
❖显然，将搜索范围控制在基本可行 解内，将大大减少搜索工作量。
❖但是，即使取得一个基，得到的解 还不一定可行。
❖如何才能保证取得一个可行基呢？
一、问题的提出
➢ 解决办法：保证右端项非负，找到一个 单位矩阵，必定是一个可行基。
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如范例系数阵：
右端项非负
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
存在3阶单位阵 （初始可行基）
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如令x1＝0，x2＝0，则 ➢ x3＝300，x4＝400，x5＝250 ➢ 可得到解（0，0，300，400，250）
一、问题的提出
➢ 又如：令x3＝0，x5＝0， ➢ 由约束条件： ➢ x1+x2+x3＝300 ➢ 2x1+x2+x4＝400 ➢ x2+x5＝250 ➢ 可得到解（50，250，0，50，0）
27500-50x3-50x5
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 典式Z= 27500-50x3-50x5
➢ 如果x3增加1，Z会怎样？ ➢ 答案：Z减少50。 ➢ 如果x5的值增加1，Z会怎样？ ➢ 答案：Z减少50 。 ➢ 可见要使Z增加，只有使x3和x5减少。
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ x3，x5的取值是否有减少的可能？ ➢ 分析：该解中非基变量 x1，x2的取值为
一、问题的提出
❖ 线性规划解的集合关系：
基
可
本最
基
行
可优
本
解
行解
解
解
一、问题的提出
❖显然，将搜索范围控制在基本可行 解内，将大大减少搜索工作量。
❖但是，即使取得一个基，得到的解 还不一定可行。
❖如何才能保证取得一个可行基呢？
一、问题的提出
单纯形法
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=cT X=(cTB
cTN) XB XN =cTBXB +cTN XN =cTB (B-1b-B-1NXN )+cTN XN
=cTBB-1b+(cTN -cTBB-1N)XN cBT B-1b+σNXN cBT B-1b+(σm+1,σm+1,
Z=CTBB-1b+(σm+1 ,
σm+k ,
xm+1
σ
n
)
CTB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0, 故当λ→+∞时，Z→－∞。
18
表格单纯形法
B
N
b
CBT
CNT
I
B-1N
B-1b
0
CNT -CBT B-1N
19
可将这些重要结论的计算设计成如下一个简单的表格， 即单纯形表来完成：
min z=－6x1－4x2
x3 =100－2x1－3x2
+x4 =120－4x1－2x2
令 有 则有：
XN=(0,0)T XB=(100,120)T X（1）=（0，0，100，120）T为对应于基B1的基可行解。
问：
X（1）是否最优呢？——否
因为： x1和x2在目标函数中的系数为正，当x1↑，z ；x2↑，z 。
础上寻找一个新的基本可行解，并使目标函数值有所改善。
具体做法是：
先从检验数为负的非基变量中确定一个换入变量，使它从非基
§4.3 人工变量法
1 1 − 1 0 0 1 0 AII = −1 1 0 − 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0
max z = − x1 + 2 x2
例1
用两阶段法解线性规划问题 用两阶段法解线性规划问题:
x1 + x 2 − x3 = 2 − x + x − x = 1 1 2 4 x2 + x5 = 3 x j ≥ 0, j = 1,...,5
LPⅠ min z ′ = x1 − 2 x2 Ⅰ
4 10 1
－4 1 2
3 －1 －2
0 1 0
1 0 0
0 0 1
−r3
−2r3
Q λ2 = M + 2 > 0
λ3 = 2 M − 1 > 0
定 x3 进基 x1 x2
5M
4 10 1 1 Q min , , = 1 2 1 1
定 x7 出基 x6
0
x3
0
x4
-M
x5
0
x7
1－2M
与大M法同样引入人工变量，分两阶段做： 与大 法同样引入人工变量，分两阶段做： 法同样引入人工变量 个人工变量， 第一阶段： 引入m个人工变量 第一阶段： 引入 个人工变量，建立辅助问题并求解 目标函数是： 目标函数是： min w = ∑ Ri 全体人工变量之和. i 约束条件是： 约束条件是： 加入人工变量后的约束方程.
使人工变量对应的系数列向量与其他变量的系数列向量 共同构成一个单位矩阵.作为初始基 作为初始基。 共同构成一个单位矩阵 作为初始基。 出基 为了求得原问题的初始基础可行解， 为了求得原问题的初始基础可行解， 通过迭代过程把人工变量从基变量中替换为非基变量. 必须尽快通过迭代过程把人工变量从基变量中替换为非基变量 为此，可以在目标函数中赋予人工变量一个任意大的正系数M. 为此，可以在目标函数中赋予人工变量一个任意大的正系数 任意大的正系数 写出LPⅡ 用表格单纯形法解， 人工变量换出基。 写出 Ⅱ，用表格单纯形法解，将人工变量换出基。 只要基变量中还存在人工变量，目标函数就不可能实现极小化. 人工变量， 原问题没有可行解。 若LPⅡ的最优解中仍有人工变量，则说明原问题没有可行解。 Ⅱ的最优解中仍有人工变量 则说明原问题没有可行解 原方程组 Ax=b 不成立 人工变量， 若LPⅡ的最优解中没有人工变量， Ⅱ的最优解中没有人工变量 LPⅠ Ⅰ 则去除人工变量即为原问题的基础可行解 继续求最优。 原问题的基础可行解。 则去除人工变量即为原问题的基础可行解。继续求最优。
运筹学单纯形法ppt课件
• 当第一阶段中目标函数的最优值＝0，即人工变量＝0， 则转入第二阶段；若第一阶段中目标函数的最优值不等于 0，即人工变量不等于0，则判断原问题为无解。
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120
x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120
x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa
3.3 人工变量法
x2 x3
2x3 1
x5
3
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
若A中不存在m阶单位矩阵，为了形成一个m阶单位矩阵，可给每个约束 方程人为地加上一个人工变量。
5
OR:SM
分牛的故事
老大：1/2 老二：1/4 老三：1/5
牛在印度被视为 神物，不能宰杀， 问如何按老父亲
的遗愿分？
6
OR:SM
MaxW=0?
是
否 原问题没有可行解
13
引进人工变量x6，x7，构造辅助
问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
MaxZ x6 x7
x1 2x2 x3 x4
11
4x1 2x1
x2 x3
2x3
x5
x6 3 x7 1
x1, x2,..., x7 0
把辅助问题的最优解作为原问 题的初始基础可行解
运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
1、何为单纯形法？
1. 如 何 得到？
对于典式，选标 准型中的松弛变量为 初始基变量，因为其 系数组成单位阵，解 必可行！
计 算 σj=cjcBpj’, ≤ 0 则 通 过 ， 否 则下一步？
找出一个初始可行解
2、如何 判断？
是否最优？
4. 是 否
通过四个定理 判断解是其中哪 一个情况？
22
8.在两阶段法中，如果第一阶段最 优解的目标函数值不为0，表明原 线性规划问题无可行解。
OR:SM
2. 从 求 得 的 基可行解出 发，对原问 题继续迭代， 求最优解。
12
OR:SM
二、两阶段法—原理
MaxZ 3x1 x2 x3
单纯形法
-M
x6
x7
14
22
1
0
0
1
0
0
0
0
0
-1
1
0
0
1
σj=cj-zj
6.3 人工变量法
Cj CB xB b -6 x1
2
4 1
-4 x2
列新单纯形表
Cj CB 0 5 xB x5 x2 b 23 12 3 x1
-4 5
5 x2
0 1
0 x3
1 0
1 x4
1 -1
0 x5
1 0
0 x6
-1 1
0 x7
0 0
θ
23 －
0
x7
5
0
-22
0
0
-1
0
σj=cj-zj
1 1 6 6
0
0
0
-5
1
0
5
6.2 单纯形法计算步骤
列新单纯形表
Cj CB 0 5 xB x5 x2 b
0
…
0
…
c j ci aij
i 1
m
cn ci ain
i 1
m
6.2 单纯形法计算步骤
2) 检验 j c j ci ai , j
i 1 m
若 j 0
j m 1,..., n 得到最优解，停止。
否则，转入下一步。 否则，转入下一步。
3） 若 k ,
... am , j
... am ,n
6.1 单纯形法迭代原理
m Pj= aij Pi Pj－ aij Pi＝0 i=1 i=1 m θ (Pj－ aij Pi）=0 两边乘上一个正数θ>0，得 i=1 m m 同 Pixi0 =b 相加整理得： ( xi0 aij ) Pi Pj b i 1 i=1 m
x6
x7
14
22
1
0
0
1
0
0
0
0
0
-1
1
0
0
1
σj=cj-zj
6.3 人工变量法
Cj CB xB b -6 x1
2
4 1
-4 x2
列新单纯形表
Cj CB 0 5 xB x5 x2 b 23 12 3 x1
-4 5
5 x2
0 1
0 x3
1 0
1 x4
1 -1
0 x5
1 0
0 x6
-1 1
0 x7
0 0
θ
23 －
0
x7
5
0
-22
0
0
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0
σj=cj-zj
1 1 6 6
0
0
0
-5
1
0
5
6.2 单纯形法计算步骤
列新单纯形表
Cj CB 0 5 xB x5 x2 b
0
…
0
…
c j ci aij
i 1
m
cn ci ain
i 1
m
6.2 单纯形法计算步骤
2) 检验 j c j ci ai , j
i 1 m
若 j 0
j m 1,..., n 得到最优解，停止。
否则，转入下一步。 否则，转入下一步。
3） 若 k ,
... am , j
... am ,n
6.1 单纯形法迭代原理
m Pj= aij Pi Pj－ aij Pi＝0 i=1 i=1 m θ (Pj－ aij Pi）=0 两边乘上一个正数θ>0，得 i=1 m m 同 Pixi0 =b 相加整理得： ( xi0 aij ) Pi Pj b i 1 i=1 m
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段 是在原问题中去除人工变量，并从此可行解（第一阶段的 最优解）出发，继续寻找问题的最优解。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。