函数的奇偶性、周期性及对称性三者之间关系的探究

探究：函数的奇偶性、周期性及对称性三者之间关系

松江四中 孙吉利 201601

2007学年度，我在高三的数学教学工作中，遇到了下面这个问题：

（2007年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷）定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期。若将方程f(x)=0在闭区间〔－T,T 〕上的根的个数记为n,则n 可能为（ ）A 0 B １ Ｃ３ Ｄ５

令我费解的是，当我把这个问题呈现给学生的时候，我却收到了意想不到的结果。自己所教的学生中，只有5

1的学生给出了正确的选择，将近一半的学生无从下手。课后之余，我就找到很多同学谈心、了解，看一看，问题到底出在那里？通过自己与学生的谈话和聊天的过程，我找到了问题的原因，那就是：多数同学没弄清函数的奇偶性、周期性及对称性三者之间的联系，甚至有的同学问我：老师，他们之间还有联系吗？即使得到正确答案的同学，还有一部分是带有猜的成份。经过精心准备与设计，我就开了一节函数的奇偶性、周期性及对称性三者之间关系的探究课，以期达到纠正的效果。

我的探究过程是这样开展的：

师：针对同学们出现的问题，今天这节课，我们专门来探究一下函数的奇偶性、周期性及对称性三者之间的联系。首先，让我们以奇函数为例来探究三者之间的关系。要探究三者之间的关系，我们必须确立一个解决问题的突破口，找到问题的切入点，那么，这个突破口是什么呢？（设立悬念，学生积极思考讨论，得出不同的结论，引起思维碰撞。）

张：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称。奇函数的图象没有对称轴，同样，偶函数的图象也就没有对称中心。

李：不对，正弦函数f （x ）=sinx （)R x ∈就是奇函数，但是，它却有对称轴。余弦函数f(x)=cosx （)R x ∈是偶函数，它也有对称中心。对呀！我们就应该从正弦函数与余弦函数入手，来探究这个问题。老师，老师，我找到了（迫不及待地要发言）

李：无论是余弦函数还是正弦函数，他们同时还都具有周期性，正好符合要求，我觉得他们应该是突破口。

师：很好。那么，我们就从正弦函数f （x ）=sinx （)R x ∈着手展开探究，通过对正弦函数f （x ）=sinx （)R x ∈的研究，看一看对一般的奇函数是否也具有相关的性质。 通过对正弦函数f （x ）=sinx （)R x ∈的研究可知：

① 函数f （x ）=sinx 为奇函数：

② 函数f （x ）=sinx 的周期为2k π(k ∈Z),最小正周期为2π；

③ 函数f （x ）=sinx 的图象关于点（k π，0）成中心对称，关于直线x=k π+2π成轴对 称。(k ∈Z)

根据上述三条，结合我们今天的目的，同学们可自由提出自己的见解与猜想。（下面，四个人开始一组展开讨论，每组争取得到自己的结论）

教师开始巡视教室，学生在激烈地讨论着问题。

“老师，我们得出来了”。突然，有一个同学在喊：

我们不约而同地看去，原来是王。

王：老师，我的结论是：若函数f （x ）为奇函数，最小正周期为T （T ＞0），则函数图象关于直线4

T x =成轴对称； 师：你是怎么得出来的呢？

王：正弦函数f （x ）=sinx （)R x ∈为奇函数，最小正周期为2π，它的一条对称轴是x=2π，2π=42π，因此，我说函数图象关于直线4

T x =成轴对称；（同学们以羡慕的眼光看着王，王也非常高兴）

师：对吗？请同学们集体讨论一下。

钱：老师，王的结论是错误的。（同学们都惊讶地看着钱）

师：为什么？

钱：我们知道函数f （x ）=tgx 在定义域内也为奇函数，且最小正周期为π，但是却无对称轴。因此，我说王的结论是错误的。（这时，班级突然响起了热烈的掌声，表达了对钱的赞扬，尤其是王的掌声最响）

师：猜想出来的结论不一定是正确的，需要我们去验证。但是，王的勇气可嘉，他的猜想方法还是值得我们去借鉴的。王同学是根据正弦函数的奇偶性、周期性、对称性的特点，在一个函数具备奇函数与周期性的前提下，而猜测出它的对称性，然后，再通过证明论证是否正确。我们不妨把它看作是知二求一，如果我们继续猜测下去，你有没有就会有更多的收获，同学们不妨试一试。（教师及时点明探究方向，避免学生迷失方向。）

在我的激励下，同学们个个跃跃欲试，你一言，我一语，就开始了讨论。不久，孙同学的话匣子就打开了。

孙：老师，根据王的猜想方法，我得出如下结论：若函数f （x ）为奇函数，且最小正周期为T （T ＞0），则函数图象关于点（2

T ，0）成中心对称。不知是否正确？（脸上充满了不敢肯定的表情）

我见状，立即说：不要紧，你敢于猜测就已经说明了你是一名非常优秀的学生。我非常感谢你为我们提供了探究的话题。（这时，其它同学们不由自主地鼓起掌来）好，同学们，就让我们共同探讨孙的结论吗？我相信你们有这个能力。（在我的鼓励下，唐勇敢地站了起来）

唐：老师，我觉得孙的答案是正确的。我是这样证明的。（师生共同通过实物投影仪，展示了一下唐的结论：）

设点p （a ，f （a ））是函数图象上的任意一点，点p 关于点（2

T ，0）的对称点为p '（T －a ，-f （a ）），而f （T-a ）=f （-a ）=-f （a ），因此，点p '（T －a ，-f （a ））也在函数f （x ）的图象上。所以，函数图象关于点（2

T ，0）成中心对称。 师：（我用赞许的目光看着唐，表达了我的心意）太好了，非常正确。

我的话音刚落，我就看见，平时一声不响的女生高的脸上也露出了笑容，我赶紧提问了她一下。

师：高，你在笑什么？

高听到了我的声音，脸刷一下红了。但是，她还是站了起来，用她那细小的声音对我说：

老师，我得出了你刚上课时，提问我们那个问题的答案。

师：是吗？那你就说说你的答案吧，让我们也来分享一下你的喜悦。

高：∵函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，且T 是它的一个正周期。

∴由唐的结论可知，函数f （x ）关于点（2

T ，0）（)Z k ∈成中心对称。 又∵函数f(x) 的定义域为R ，∴f （2T ）=-f （-2

T ）=0 ∵f(x)是奇函数，∴f （0）=0,∴f(0)=f(T+0)=0,f(-T)=0=-f(T)

∴f （T ）= f （-T ）=f （0）=0。

∴方程f(x)=0在闭区间〔－T,T 〕上的根的个数至少为5。

“老师，老师，我也得出一个结论。”我回头一看，是吴同学。

吴：若函数f （x ）为奇函数，函数图象关于直线x=a 成轴对称，则函数f （x ）为周期函数，且4a 是它的一个周期;

师：你为什么猜测4a 是它的一个周期，而不是2a 呢？或者是其它数值呢？

吴：根据正弦函数的结论猜测出来的。函数f （x ）=sinx 的最小正周期为2π，它又关于x=2π对称，2π=4×2

π，所以，我猜测结果是4a. 师：奥，原来还可以这样去猜测，不知是否正确。同学们证明一下试试。（个个越越欲试）

丁：∵函数f （x ）的图象关于直线x=a 成轴对称，

∴f （a+x ）=f （a-x ），

∴f （4a+x ）=f(a-(3a+x))=f(-2a-x)

=-f(2a+x)=-f(a+(a+x))=-f(a-(a+x))=-f(-x)=f(x),

∴4a 是它的周期。

师：看来，你的猜想完全正确，继续努力。我由衷地伸出大拇指。

这时，班级东北角又骚动起来，看来他们肯定有所发现。

庄作为代表发言，说“若函数f （x ）为奇函数，图象关于点（a ，0）成中心对称，则f （x ）为周期函数，且2a 是它的一个周期”是真命题。看着他那自信傲气的样子，我不禁反问了一句“为什么？”。庄说：我发现，我们猜出来的结论中，凡是轴对称的都是错误的，而中心对称的却是正确的。因此，只须将吴的结论中的关于直线x=a 成轴对称改成关于点（a ，0）成中心对称，4a 改成2a,那结论肯定是正确的。说完这话，同学们都大笑起来，表示怀疑。我急忙制止了同学们的笑声。

师：其实，庄的答案是正确的。

我的话音刚落，立即引起同学们的惊讶，啊！怎么这样猜测也可以呢？

看着同学疑惑的表情，我感到非常高兴，他们这是完全被题迷住了。我带着神秘的表情说：不想信是吧，下面我给证明一下。

证明：设点p （x ，y ）是函数图象上的任意一点，则点p 关于点（a ，0）的对称点p '（2a-x ，-y ）也在函数f （x ）的图象上，

∴f （2a-x ）=-f （x ）=f （-x ），

∴f （2a+x ）=f （x ），

∴2a 是函数f （x ）的一个周期。猜想正确；

陆：（自然自语地说）看来，庄的猜测是正确的，好神奇呀。

裴：老师，偶函数有没有类似的性质呢？

师：这个问题问得好，对于偶函数，我们可以类比余弦函数，猜想并证明相应的一些结论。由于时间关系，本节课我们就不做直接探讨，我只列出下面几条相应的结论，有兴趣的话，你课后再去探讨。

⑴若f （x ）为偶函数，且以T 为周期（T ＞0）的函数，则图象关于直线x=2

T 对称； ⑵若f （x ）为偶函数，且图象关于直线x=a （a ≠0）对称，则f （x ）为周期偶函数，且2a 是它的一个周期；

⑶若f （x ）的图象关于直线x=a （a ≠0）对称，且f （x ）是以2a 为周期的周期函数，则f （x ）是偶函数。

不知不觉，下课的铃声响了。但是，同学们还在激烈地讨论着，我不仅露出了笑容。 坐在办公室，我陷入了深思，觉得这节课有几个方面还是值得自己继续去发扬。 ① 搭建双基平台：使学生学会在合作中学习

探究性学习的方式一直是我们所倡导的，一方面，这种方式能使学生完全参入到教学中来，非常有利教学工作的开展。另一方面，它又可以为学生终身学习提供有效的学习方法。但是，学生对如何采用探究性学习的方式往往是束手无策。在这样的背景下，我认为：教师必须根据学生的实际认知水平，搭建一个他们能驾驭的研究平台，而且这样的平台，最好是低一点，这样使学生能很快地进入角色。本文中，我就建立了一个以正弦函数的有关性质为基础的双基平台，这个平台起点要求比较低，学生起步比较容易。另外，由于正弦函数同时具有奇偶性、周期性与对称性，这正好与我们要探讨的问题想吻合。鉴于此，我选择了正弦函数做突破口，事实证明这么做是正确的。看着自己的设想达到了预期的目的，我倍感欣慰。 欣喜之余，我也深深体会出了课堂中加强团结合作的重要性。我在这个过程中充当了组织者、引导者、合作者的多重身份。作为合作者，我完全成为了学生中的一员，充分走进学生，放下架子与学生进行平等交流，相互分享彼此的思考、见解和见识。正是在我的影响下，学生才积极去思考、交流我所提出的问题，通过合作而得出一个个正确的结论。对于学生来说，不仅仅是收获了知识，更大的是收获学会了合作、交流，这可是终身受益的事情。

②注重教学有效性：使学生在探究中体验成功的喜悦

每位教师都有自己不同的教学方法，但是，要达到教学的有效性，他的教学方法必须是多种多样的，不可能是一种方法教到底。而如何达到有效，却是我们每个教师所亟待解决的问题。本节课上，开始我直接点中探究的要害——突破口问题，一下子就将学生的注意力集中起来，这就为后续的教学成功埋下了强有力的伏笔。俗话说：良好的开端是成功的一半，上课伊始，如果把学生牢牢抓住，那么，你后面的一切工作就会得心应手，这就是引课的有效性作用。教学过程中，我适时采取了设问、类比、猜想、启发、引导等方式，运用小组讨论 的形式，充分调动了学生学习的主观能动性，收到了理想的效果。在教学过程中，凡是学生想到的，学生想说的，学生想做的，我都让学生自己去完成，我尽量减少自己对教学时空的占有，把更多的学习时空让给了学生。还有，我主动提供机会，让学生重充分发挥集体的力量与智慧，群策群力。这不仅解决了本节课的问题，还为他们将来走向社会，学会团结合作，打下了深深的烙印，可谓是一举多得。学生通过这样的训练，自信心大增，学习的效率有了飞速的提高，学习成绩自然就会提高，他们就会由衷地喜欢上你的课，这就是我们抓教学有效性的目的所在。

③关注学生的闪光点：提倡大胆类比、猜想创建和谐氛围

学生的认知水平不可能一下达到教师的要求，在课堂中，我觉得教师更应该关注学生的 优点所在，哪怕就是那么一点点，尤其是对内向型和学习较差的学生。我的一句表扬的话可能就会对他产生深远的影响。正是牢记这一点，本节课中，我对每一个学生的答案都积极地表示肯定，即使错了，也是同样对待，因为这个学生已经参入到我的教学中来了。这样，他

的自信心就建立起来了，对于后续课的开展是大有益处的。课堂中，探究出的每一个结论，都要经过学生的不断思考，才可能得出结果来。当然，这个过程不可能是一帆风顺的，和谐的氛围是探究成功的基础。