中考专题：圆与二次函数结合题

中考专题： 圆与函数综合题

1、如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与轴交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式．

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2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线23y x bx c =-++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB 若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；

（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．

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3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0），（1a,16

）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2），

(1)求a,b,c 的值；

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(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；

（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()21

2x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心

P 的纵坐标。

|

4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.

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（1）求这条抛物线的解析式；

（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；

（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.

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5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，在⊙O 中，MN 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°，AB =3，CD =4，则BD = 。 ⑴尝试探究：如图2，在⊙O 中，M N 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，点E 在MN 上，∠AEC =90°，AB =3，BD =8，BE ：DE =1:3，则CD = （试写出解答过程）。

⑵类比延伸：利用图3，再探究，当A 、C 两点分别在直径MN 两侧，且AB ≠CD ，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°时，则线段AB 、CD 、BD 满足的数量关系为 。

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⑶拓展迁移：如图4，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （m ，6），B （n ，1）两点（其中0＜m ＜3），且以y 轴为对称轴，且∠AOB =90°，①求mn 的值；②当S △AOB =10时，求抛物线的解析式。

\ 6、如图，设抛物线2113424

y x x =--交x 轴于A,B 两点，顶点为D ．以BA 为直径作半圆，圆心为M ，半圆交y 轴负半轴于C ．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）将△ACB 绕圆心M 顺时针旋转180°，得到△APB ，如图．求点P 的坐标；

（3）有一动点Q 在线段AB 上运动，△QCD 的周长在不断变化时是否存在最小值若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．

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7、如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c经过点A（1,0），B（－3,0）两点，且与y轴交于点C.

(1) 求b，c的值。

（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若不存在，请说明理由.

(3) 如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B,C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．

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8、如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD 分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连结AC、FC．

(1)求证：∠ACF=∠ADB;

(2)若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；

(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，DE

AO

的值

是否发生变化若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．

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9、如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为25的圆C与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，且点C在x轴的上方．

（1）求圆心C的坐标；

}

（2）已知一个二次函数的图像经过点A、B、C，求这二次函数的解析式；

（3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标.

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10、如图，在⊙M中，弦AB所对的圆心角为120°，已知圆的半径为1cm，并建立如图所示的直角坐标系．

（1）求圆心M的坐标；

（2）求经过A,B,C三点的抛物线的解析式；

（3）点P是⊙M上的一个动点，当△PAB为Rt△时，求点p的坐标。

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11、如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合）OD ⊥BC,OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．

（1）当BC=1时，求线段OD 的长；

（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

（3）设BD=x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 、

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12、已知抛物线23y ax bx =++经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y 轴交于点C ．

（1）求抛物线2

3y ax bx =++的函数关系式及点C 的坐标；

（2）如图（1）,连接AB ，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图（2）,连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标．

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