电磁场的矢势和标势

横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立
偏振。
洛仑兹规范的优点是：它的标势 构成的势方程具有对称性。它的矢势
A的纵和向矢部势A
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分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余
的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变 性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
项对应库仑场
E库
，
A t
对应着感应
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场E感 。
b) 洛仑兹规范(Lorentz gauge)
洛仑兹规范条件为
1
AC2
0
t
，即规
定 A是一个有旋有源场（即 A包含横场和纵场两
部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为
特别简单的对称形式。
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3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
有
kAkA 横 0
从而得到：
c2
k
A
0
因此有：
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E B AikA tA A tiki A横 A iA 横
其中： (kA0)
如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变
为
2 0
2Ac12
2A 1 t2 c2
t
0
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当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势
，
则只有 0
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D0E
EA BA
t
出发推导2A矢势c12A 和2t2A标势(所A满c足12 的t方)程，0得j 到：
2A
t
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a) 采用库仑规范 (A0)
上述方程化为
22Ac1202tA2 c12
t
()
0 j
此时b，) 标采势用所洛满仑足兹的规方范程(与静A电1场相同0。)
t
变换，则仍可使 E保持不变。
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设为任意的标量函数，即(x ,t)，作下
述变换式：
A A A
t
于是我们得到了一组新的 A. ，很容易证明：
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A (A ) A ( )
A
A
(
B
)
(A
)
t
t t
( ) A ( )
第五章 电磁波的辐射
Electromagnetic Wave Radiation
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本章所研究的问题是电磁波的辐射。方 法和稳恒场情况一样，当考虑由电荷、电 流分布激发电磁场的问题时，引入势的概 念来描述电磁场比较方便。
本章首先把势的概念推广到一般变化电 磁场情况，然后通过势来解辐射问题。
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本章主要内容
电磁场的矢势和标势 推迟势 电偶极辐射 电磁波的干涉和衍射 电磁场的动量
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§5. 1 电磁场的矢势和标势
Vector and Scalar Potential of Electromagnetic
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1、用势 A,描述电磁场
为简单起见，讨论真空中的电磁场：
D
2Ac12
2tA 2 0
其解的形式为
A A 0ei(kxt)
由库仑规范条件得到
即保证了 A只有 横向A 分 i量k，A 即 0 AA横 ，从而得到
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E B A ikA t A A tik i A横 A iA 横
(A0)
通过例子可看到：
用，库可仑直规接范由的电优荷点分是布：它求的出标，势它的矢描势述库A仑只作有
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BAikAik(A横A纵)
ikA横ikA纵
E
ikA横 A
0（对于单色平面波而言）
ik i A
t
c2 ik (
k
A)
i A
i c 2
பைடு நூலகம்
k (k A) k 2 A
c2
i k (k A)
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c2
kB
c nˆ
B
如果取 A A横 ，即只取 A具有横向分量，那么
E B ( A ) A
t t
t
EAt0
EA
t
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是标势不 是静电势
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即
EA
t
电磁场和势之间的关系如下
B
E
A
A t
注意： a) 当 A与时间无关，即
这时 就直接归结为电势；
A t
0
时,且
E
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b) 绝对不要把 EA 中的标势
t
与电势 (E ) 混为一谈。因为在非稳恒情
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2、规范变换和规范不变性
种等虽价然的方E式和，B但，由以于及EA、和B和是描A、述电之磁间场是的微两分
方程的关系，所以它 们之间的关系不是一一对应 的，这是因为矢势 A可 以加上一个任意标量函数
的的将梯梯E度度，在结E果不影A响中B的At，而与中这此对个融E任合要意也发标作生量相影函应响数的，但
况下， E 不再是保守力场，不存在势能的概念，
这就是说现在的 ，在数值上不等于把单位正电
荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为
了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势
（Scalar potential)。
整体c，) 必在须时把变矢场势中A，和磁标场势和电场作是为相一互个作整用体着来的描
述电磁场。
c2 t
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上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0
0
j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
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4、举例讨论
试求单色平面电磁波的势
Solution:
单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自 由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下）变为波动方程：
2
2A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0 0
其解的形式为：
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A
i(k xt )
e0
i(kxt) A e0
由Lorentz规范条件
A
1
0，即得
ik A
1
c2 t
(i ) 0
c2
c2
k
A
这表明，只要给定了 A ，就可以确定单色平面电 磁波，这是因为：
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E
B t
D 0 E , B 0 H .
B 0
H
j
D t
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针对磁场
B0
引入
BA
A的物理意义可由下式看出：
LAdl
Bds
S
即在任一时刻，矢量 A沿任一闭合回路L的线积
分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量。
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对于电场 E不能像静电场那样直接引入电势。由 Faraday电磁感应定律可得：
t A
E
t t
t
由此可见，(A. ) 和 (A. ) 描述同一电磁场。
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a) 库仑规范(Coulomb gauge)
库仑规范条件为A0，即规定 A是一个
有旋无源场（横场）。这个规范的特点是 E的纵
场场部部分分完 由全A描由述（描即述（ A 即具有无具源有性无）旋。性由)，横
Et A
t
可见，