2020年九年级数学中考几何探究型问题：线段最值问题——“费马点”问题(含答案)

几何探究型问题(针对第25题)

线段最值问题

“费马点”问题

【问题背景】“费马点”——就是到三角形三个顶点的距离之和最小的点．“费马点”问题在中考考查时主要隐藏在求PA＋PB＋PC的最小值问题，通常将某三角形绕点旋转一定的角度，从而将三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题．

【模型分析】对于一个各角不超过120°的三角形，“费马点”是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．费马点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC最小，这就是所谓的“费马”问题．

如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP′C′，则可以构造出等边三角形APP′，从而得到AP＝PP′，CP＝C′P′，所以将PA＋PB＋PC的值转化为PP′

＋PB＋P′C′的值，则线段BC′的长即为所求的最小值．

例题

1．如图，已知点P为等边三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点，求

证：PB＋PC＝PA．

证明：如答图，在P A上截取PM＝PC，连接CM.

∵△ABC 是等边三角形，

∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，BC ＝AC ．

∵∠ABC ＝∠APC ，∴∠MPC ＝60°，

∴△MPC 是等边三角形，

∴∠MCP ＝60°，MC ＝PC ，∴∠ACM ＝∠BCP .

在△BPC 和△AMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧ BC ＝AC ，

∠BCP ＝∠ACM ，PC ＝MC ，

∴△BPC ≌△AMC (SAS)，

∴BP ＝AM ，∴PB ＋PC ＝AM ＋PM ＝P A ．

2．已知三个村庄A ，B ，C 构成了如图所示的△ABC(其中∠A ，∠B ，∠C 均小于120°)，现选取一点P 作为打水井，使水井P 到三个村庄A ，B ，C 所铺设的

输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．

解：如答图，以BC 为边在△ABC 的外部作等边三角形BCD ，

连接AD ．

∴AD 的长就是△ABC 的费马距

离．

易得∠ABD ＝90°，

∴AD ＝AB 2＋BD 2＝5(km)．

答：输水管总长度的最小值为5 km.

练习

(2019·陕师大附中六模)问题提出

(1)如图1，在△ABC 中，BC ＝2，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A ′

BC ′，则CC ′＝______.

【解答】

由旋转的性质可知∠CBC ′＝60°，BC ′＝BC ，则∠△BCC ′是等边三角形，故CC ′＝BC ＝2.

问题探究

(2)如图2，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，

连接PA，PB，PC，求PA＋PB＋PC的最小值，并说明理由．

解题思路

将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，连接PF，EC．易证PA

＋PB＋PC＝EF＋PF＋PC；由PC＋PF＋EF≥EC，推出当点P，F在直线EC

上时，PA＋PB＋PC的值最小，即为EC的长，求出EC的长即可解决问题．

【解答】

如答图1，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，连接PF，EC．

由旋转的性质可知△PBF是等边三角形，

∴PB＝PF.

∵P A＝EF，∴P A＋PB＋PC＝EF＋PF＋PC．

∵PC＋PF＋EF≥EC，

∴当点P，F在直线EC上时，P A＋PB＋PC的值最小，

易得BC＝BE＝BA＝3，∠CBE＝90°，

∴EC＝2BC＝32，∴P A＋PB＋PC的最小值为3 2.

问题解决

(3)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°.在四边形ABCD内部有一点P，满足∠APD＝120°，连接BP，CP，点Q为△BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ＋BQ＋CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

解题思路

将△PBQ绕点B逆时针旋转60°得到△EBG，则PQ＝EG，△BQG是

等边三角形，易知PQ＋BQ＋CQ＝EG＋GQ＋QC≥EC，推出当EC取得最小

值时，PQ ＋BQ ＋CQ 的值最小．延长BA 交CD 的延长线于点S ，作△ADS 的外接圆⊙O ，将线段BO ，BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO ′，BE ，连接EO ′，OB ，OP .易证△BEO ′

≌△BPO(SAS)，推出EO ′＝OP ＝433，故点E 在以点O ′为圆心，433为半径的圆上，则当

点E 在线段CO ′上时，EC 的值最小，最小值为CO ′－EO ′的长．

【解答】

如答图2，将△PBQ 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBG ，连接GQ ，EC ，则PQ ＝EG ，△BQG 是等边三角形，∴BQ ＝QG ，∴PQ ＋BQ ＋CQ ＝EG ＋GQ ＋QC ≥EC ，

∴当EC 取得最小值时，PQ ＋BQ ＋CQ 的值最小．

如答图3，延长BA 交CD 的延长线于点S ，作△ADS 的外接圆⊙O ，连接OB ．将线段BO ，BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO ′，BE ，连接EO ′，OP.易证△BEO ′≌△BPO (SAS)，∴EO ′＝PO .

∵∠APD ＋∠ASD ＝180°，

∴A ，P ，D ，S 四点共圆，

∴OP ＝433，∴EO ′＝433

， ∴点E 在以点O ′为圆心，433

为半径的圆上， ∴当点E 在线段CO ′上时，EC 的值最小，最小值为CO ′－EO ′的长，

连接OO ′，延长OO ′到点R ，使得O ′R ＝OO ′，连接BR ，则∠OBR ＝90°，作RH ⊥CB 交CB 的延长线于点H ，O ′T ⊥CH 于点T ，OM ⊥BC 于点M .

易知在Rt △OBM 中，BM ＝5，OM ＝1133

， ∴OB ＝OM 2＋BM 2＝1433

， ∴BR ＝3OB ＝14.

易知△BHR ∽△OMB ，∴

RH BM ＝BR OB

，∴RH ＝5 3.