MathExp2010-08

检验：基可行解的最优性
x (0)
(0) 1 xB AB b (0) xN 0
cB c c N
T ( 0) ( 0) T 1 z (0) cT x(0) cB xB cT x c N N B AB b
可行解 x x B 0 xN
实例1: 食谱问题
决策 变量 目标 函数 约束 条件 5种食品数量： x1, x2, x3, x4, x5
费用 x = (x1, x2, x3, x4, x5)T c = (10, 15, 5, 60, 8)T b = (50, 4000, 1000)T
Min z 10x1 15x2 5x3 60x4 8x5
求解线性规划(LP)的基本原理
基 本 模 型
max(or min) z c x, x R
T
n
s.t.
Ax b, x 0
c R n , A R m n , b R m
• • • • • 二维线性规划的图解法 一般线性规划的单纯形算法 线性规划的敏感性分析 线性规划的对偶问题 线性规划的其他算法
本实验基本内容
1. 实例及其数学模型 2. 基本原理和算法 3. MATLAB实现 4. LINGO实现
实例1: 食谱问题
背景
食物 苹果 香蕉 枣汁 鸡蛋
营养需求／人／天
单位 个（138g） 个（118g） 杯（178g） 个（44g） 蛋白质(g) 0.3 1.2 0.7 3.5 5.5 维生素A (IU) 73 96 20253 890 279
1 1 1 0 0 AB可逆 A [ AB , AN ]， A 1 2 0 1 0 xT [ xB , xN ]T 3 2 0 0 1 Ax AB xB AN xN b
[ p1 p2 p3 p4 p5 ] x 0 x A1b N B B
大学数学实验
实验8
线性规划
清 华 大 学 数 学 科 学 系
优化问题的一般形式
优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件
min s.t.
决策变量
f ( x) hi ( x) 0, i 1,...,m g j ( x ) 0, j 1,...,l xD
n
目标函数 约 束 条 件
LP
0.7 3.5 5.5 0.3 1.2 A 73 96 20253 890 279 9.6 7 19 57 22
min s.t.
z cT x Ax b x0
实例2: 奶制品生产销售计划
1桶 牛奶 或 3千克A1 12小时 1千克
2小时,1.5元
• r ≥０
x(0)最优
1 T 1 rk ck ( AB pk )T cB ck cB AB pk
• 否则， x(0)不是最优
Reduced cost; 检验数
旋转：确定出基变量
x (0)
(0) 1 xB AB b (0) xN 0
,mn
先求可行解
x1 x2 x3 2 x1 2 x2 x4 2, 3x1 2 x2 x5 14, x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
满足 Ax b, x 0
再在有限个可行解中寻找最优解
x1 x2 x3 2 x1 2 x2 x4 2 3x1 2 x2 x5 14
获利12元/千克
0.8千克B1
获利8元/千克 0.75千克B2
获利22元/千克
50桶牛奶, 480小时
至多100公斤A1
8小时 4千克A2 1千克
2小时,1.5元
获利16元/千克
制订生产计划，使每天净利润最大
• 15元可增加1桶牛奶，应否投资？
• 聘用临时工人增加劳动时间，工资最多每小时几元？
• B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？
L2
起作用约束：L2;L3
x1
z5=13
最优解（4，1），最优值zmax=13
LP的约束和目标函数均为线性函数 2维 可行域 线段组成的凸多边形 目标函数 等值线为直线 n维 超平面组成的凸多面体 等值线是超平面
最优解 凸多边形的某个顶点
求解LP的基本思想
凸多面体的某个顶点
从可行域的某一顶点开始，只需在有限多个顶点中 一个一个找下去，一定能得到最优解。
3x1 2x2 14 ~ L3
x2 L1 x2 L2
无 L3
L1 L2 0 x1
3x1 x2 14 ~ L3
x2
L1 L3 L2 x1
z=c
0
L3
0 x1
无可行解
无最优解(无界)
最优解不唯一
线性规划的标准形和基本性质
m ax z 3 x1 x 2
x1x x2x 2 s.t. 2 1 2
当最优解在可行域边界上取得时 不能用无约束优化方法求解
约束优化的分类 min
s.t.
f ( x) hi ( x) 0, i 1,...,m g j ( x ) 0, j 1,...,l xD
n
连 续 优 化 离 散 优 化
• 线性规划(LP) 目标和约束均为线性函数 • 非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数 二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性 • 整数规划(IP) 决策变量(部分)为整数 整数线性规划(ILP) 整数非线性规划(INLP) 0-1规划 整数决策变量只取０或１
xB: 基变量
AB: 基(矩阵)
x2
x: 基 ( 本 )解
xN: 非基变量 AB [ p3 p4 p5 ] x (0,0,2,2,14)TO点
T
P Q
O R
AB [ p1 p3 p5 ] x (2,0,4,0,8) Q点
AB [ p2 p3 p5 ] x (0,1,3,0,16)T R点
最优解只需在有限个可行解（基本可行解）中寻找
LP的通常解法是单纯形法(G. B. Dantzig, 1947)
单纯形法的基本思路
用迭代法从一个顶点（基可行解）转换到另一个顶 点（称为一次旋转），每一步转换只将一个非基变 量（指一个分量）变为基变量，称为进基，同时将 一个基变量变为非基变量，称为出基，进基和出基 的确定需要使目标函数下降（至少不增加）。 • • • • 选取初始基可行解（顶点） ； 检验：判断当前解是否最优； 旋转：选择进基和出基变量； 防止迭代过程出现循环 。
二维线性规划的图解法
m ax z 3 x1 x 2
x1x x2x 2 s.t. 2 ~L1 1 2 x1 2 x 2 2 ~L2
3 x1 2 x 2 14 ~L3 x1 , x 2 0
x2
L1
L3
grad z
*
0源自文库
z2=2 z3=6 z1=0
z4=10
x*
Max z 12x1 8x2 22x3 16x4 1.5x5 1.5x6
x1 x5 x 2 x6 加工能力 x1 x5 100 50 3 4 x3 0.8x5 附加约束 4( x1 x5 ) 2( x2 x6 ) x4 0.75x6 2 x5 2 x6 480 非负约束 x1 , x6 0
Ax AB xB AN x N b
1 1 xB AB b AB AN x N
T 1 1 T z c [ A b A A x ] c 0 B B B N N N xN r T 1 T T 1 1 T c A b [ c c B B N B AB AN ] x N cN ( AB AN ) cB ( 0) T z r x 只与A,c有关, 与b无关
0.3x1 1.2x2 0.7 x3 3.5x4 5.5x5 50 73x1 96x2 20253 x3 890x4 279x5 4000 9.6x1 7 x2 19x3 57x4 22x5 1000
满足 需求
非负约束
x1 ,, x5 0
50g蛋白质 4000IU维生素A 1000mg钙
钙(mg) 9.6 7 19 57 22 价格(美分) 10 15 5 60 8
胡萝卜 个（72g）
确定每种食物的用量，以最小费用满足营养需求 • A的需求增加1单位，是否改变食谱？成本增加多少？ • 胡萝卜价格增1美分，是否改变食谱？成本增加多少？
1桶 牛奶 或
12小时
获利12元/千克 3千克 A1 1千克 获利22元/千克 0.8千克 B1 2小时,1.5元 获利8元/千克
0.75千克 B2 1千克 2小时,1.5元
8小时 4千克 A2
获利16元/千克
决策 变量 目标 函数 约束 条件
出售x1 千克 A1, x2 千克 A2， x3千克 B1, x4千克 B2 x5千克 A1加工B1， x6千克 A2加工B2 利润 LP
现有 2 料场，位于 A (5, 1), B (2, 7), 记(xj,yj),j=1,2, 日储量 ej 各有 20 吨。
假设：料场和工地之间有直线道路
目标：制定每天的供应计划，即从 A,
B 两料场分别 向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。
决策变量： ci j (料场j到工 地i的运量） ~12维
标 准 形
min z c x s.t. Ax b, x 0 A R
mn
加入松弛变量/剩余变量将不等式变为等式 T 假设：A行满秩 b非负
,mn
对标准形求解
min z c x s.t. Ax b, x 0 A R
mn T
min z 3x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 s.t. x1 x2 x3 2 x1 2 x2 x4 2, 3x1 2 x2 x5 14, x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
cB c c N
1 T 1 rq cq ( AB pq )T cB cq cB AB pq 0
原料 供应
劳动 时间
实例3：供应与选址
某公司有6个建筑工地，位置坐标为(ai, bi) (单位：公里), 水泥日用量di (单位：吨）
i a b d １ 1.25 1.25 3 ２ 8.75 0.75 5 ３ 0.5 4.75 4 ４ 5.75 5 7 ５ 3 6.5 6 ６ 7.25 7.75 11
算法：怎样从一点转到下一点，尽快找到最优解。
求解LP的特殊情形
x2 L1 L3 L2 0 x1
m ax z 3 x1 x 2
x1x x2x 2 s.t. 2 ~L1 1 2 x1 2 x 2 2 ~L2
3 x1 2 x 2 14 ~L3 x1 , x 2 0
x1 2 x 2 2 3 x1 2 x 2 14 x1 , x 2 0
min z 3x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5
s. t. x1 x2 x3 2, x3 0
x1 2 x2 x4 2, x4 0 3x1 2 x2 x5 14, x5 0 x1 , x2 0
min s.t.
c [(x
j 1 i 1 ij
2
6
j
ai ) ( y j bi ) ]
2
2 1/ 2

j 1 6
2
cij d i , i 1,...,6 cij e j , j 1,2

i 1
cij 0, i 1,...,6; j 1,2
线性规划(LP)模型
x1
AB [ p1 p2 p3 ] x (4,1,5,0,0) P点
T
基(本)可行解x ：Ax=b, x 0 (xB0，xN=0)
LP基本性质
可行域存在时，必是凸多面体； 最优解存在时，必在可行域的顶点取得； 基本可行解对应于可行域的顶点。
基本解数量不超过
n n! m m!(n m)!