概率论与数理统计习题及答案第二章.doc

习题 2-2

1. 设 A 为任一随机事件 , 且 P ( A )= p (0< p <1). 定义随机变量

1, 发生 ,

X

A

0, 不发生 .

A

写出随机变量 X 的分布律 .

解 { =1}= ,

{ =0}=1- p .

P X p P X

或者

X 0 1

P

1- p

p

2. 已知随机变量

X 只能取 -1,0,1,2 四个值 , 且取这四个值的相应概率依次为

1 , 3 , 5 , 7

. 试确定常数 c ,

并计算条件概率 P{ X

1 | X

0} .

2c 4c 8c 16c

解 由离散型随机变量的分布律的性质知，

1 3 5

7

1,

2c

4c

8c 16c

37

所以 c .

16

1

P{ X

1}

8

所求概率为

{ <1|

X

0 }=

2c

.

P X

P{ X 0}

1 5 7

25

2c 8c 16c

3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分

布 ,

若

P{X ≥

1}

5

, 求P{Y ≥1}.

9

解 注意 p{x=k}=

C n k p k q n k , 由题设 5

P{ X ≥1}

1 P{ X

0} 1 q 2 ,

9

故 q

1 p

2 从而

.

3

P{Y ≥1} 1 P{ Y 0}

1 (

2 )

3 19 .

3 27

4. 在三次独立 的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功一次的概率

19

为, 求每次试验成功的概率 .

27

解

设每次试验成功的概率为

p , 由题意知至少成功一次的概率是

19

，那么一次都

27

没有成功的概率是

8 . 即 (1 p)3

8 ,

故

p = 1 .

27

27

3

5. 若 X 服从参数为

的泊松分布 ,

且

P{X

1} P{ X 3}, 求参数 .

解 由泊松分布的分布律可知 6 .

6. 一袋中装有 5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5.

在袋中同时取 3 只球, 以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码 , 写出随机变量 X 的分布律 .

解 从 1，2，3，4，5 中随机取 3 个，以 X 表示 3 个数中的最大值， X 的可能取值是 3，

4，5，在 5 个数中取 3 个共有

C 53

10 种取法 .

{ =3} 表示取出的 3 个数以 3 为最大值， P{

=3}=

C 2

2

= 1

;

C 53 10

{ =4} 表示取出的 3 个数以 4 为最大值， P{

=4}=

C 3

2

3 ;

C 53 10 { =5} 表示取出的 3 个数以 5 为最大值， P{

=5}=

C 4

2

3 .

5 C 53

X 的分布律是

X 3 4

5

P

1

3

3

10

10

5

习题 2-3

1. 设 X 的分布律为

X -1

1

P

求分布函数

( ), 并计算概率 { <0},

{ <2},

{-2 ≤ <1}.

F x

PXPX

PX

0, x 1, 解 (1)

0.15, 1≤ x 0,

F ( x )=

0≤ x 1,

0.35, 1,

x ≥1.

(2) P { X <0}= P { X =-1}=; (3) P { X <2}= P { X =-1}+ P { X =0}+P { X =1}=1; (4) P {-2 ≤ x <1}= P { X =-1}+ P { X =0}=.

2. 设随机变量 X 的分布 函数为

( ) = + arctan x - ∞< <+∞.

F x

A B

x

试求 : (1) 常数 A 与 B ; (2)

X 落在 (-1, 1] 内的概率 .

解 (1) 由于 (- ∞)=0,

(+∞)=1, 可知

F F

A B(

)

1 1

2

A

, B

.

A B( )

1

2

2

于是

F ( x) 1 1

arctan x, x .

2

(2) P{ 1

X ≤1} F (1) F ( 1)

1 1 1 1

arctan( 1))

( arctan1) (

2 2

1 1 1 1 (

) 1 .

2

4

2

4 2

3. 设随机变量 X 的分布函数为

F ( x )=

0,

x 0, x

,

0≤x 1,

1,

x ≥1,

求 P { X ≤ -1}, P { < X <}, P {0< X ≤ 2}.

解 P {X ≤ 1} F( 1) 0,

P {< X <}= F - F {}- P { X =}=, P {0< X ≤2}= F (2)- F (0)=1.

5.

X 的绝对值不大于

1;

P{ X

1}

1 1}

1 假设随机变量 ,P{X

; 在事件

{ 1 X 1} 出现的条件下 ,

8

4

X 在 (-1,1) 内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度

成正比 . (1) 求 X 的分布函数 F ( x) P{ X ≤ x }; (2)

求 X 取负值的概率 p .

解 (1) 由条件可知 ,

当 x

1

时,

F ( x) 0 ;

当 x 1 时 , F ( 1) 1

;

当 x 1时 , 8

F (1)= P { X ≤ 1}= P ( S )=1.

所以

P{ 1 X

1} F (1) F ( 1)

P{X 1}

1 1 5

1

4

.

8

8

易见 , 在 X 的值属于 (

1,1) 的条件下 , 事件 { 1 X x} 的条件概率为

P{ 1 X ≤ x | 1

X 1} k[ x

( 1)],