贵州大学2017年高等代数考研真题

一、填空题：（每空3分，共24分. 请将答案写在答题纸上 )

1．设()f x 为有理数域上的一元多项式，()()1g x f x =-，则()f x 与()g x 的首项系数

为1的最大公因式((),())f x g x = ○

1 2.已知向量123=(1,2,0),=(1,0,-2),=(0,2,1)ααα线性无关，则向量1=(1,2,0,15)w ，

23=(1,0,-2,16),=(0,2,1,17)w w 的线性相关性为 ○

2 3．设3阶方阵A 的3个特征值为-2,1,5，则A 的行列式||A E += ○

3 4．设线性空间2

2⨯=F

V , 子空间,,0a

c W a b c F b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬

⎪

⎝⎭⎪⎪⎩⎭

的一个基是 ○4 5．设线性空间V 的一个基为123,,εεε，它的另外一个基是112223,,βεεβεε=-=-

33,βε= 则从123,,εεε到123,,βββ的过渡矩阵为 ○5 6．线性方程组0s t A X ⨯=有唯一解的充分必要条件是 ○6 7．设()A m x 为2017阶矩阵A 的最小多项式，则()A m A = ○

7 8．已知实二次型222Q(,,)x y z ax y z xy xz yz =+++++正定，则实数a 的取值范围为 ○

8 二、判断下列命题正确与否，正确的给出证明，错误的举出反例：(每小题4

分，共16分)

1．设,A B 为n 阶方阵，并且0AB =，则0A =或0B =. 2．设,,A B C D ，为n 阶方阵，则

||||||||A B A D B C C D

=-.

3．设,A B 为n 阶方阵，并且A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值.

4．设W 为数域F 上的线性空间，1V 与2V 为W 的子空间，则12V V ⋃也为W 的子空间.

三、计算题(55分)

1．（10分）计算下列行列式的值

1231

231231

2

3

=

n n n n x m x x x x x m x x D x x x m x x x x x m

----

2．(10分)在实数域上的n 维列向量空间n R 中，定义内积为(,),T αβαβ= 从而n R 成

为欧几里得空间. 设矩阵

1

3

522

1311794A --⎛⎫

⎪

=-- ⎪ ⎪---⎝

⎭ 求齐次线性方程组0AX =的解空间的一个正交基.

3．（15分）设102=0-11010A ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

, 1187542()2283174f x x x x x x x =+-+++-为实数域上

的多项式，求1(())f A -.

4．(20分)设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,3. 矩阵属于特征值1,2的特征向量分别是12(1,1,1),(1,2,1)T T ηη=--=--.

(1) 求A 的属于特征值3的特征向量3η; (2)求A .

四、解答题(55分)

1. (10分) 证明：实二次型12(,,,)n f x x x 是半正定的充要条件是, 它的正惯性指数与

秩相等.

2．(10分) n 阶矩阵A 满足2A A =，证明A E +可逆，并求出其逆矩阵.

3．(10分) 设,A B 为n 阶方阵，且22=,,A A B B E A B =--可逆，证明：()().r A r B =（这里()r A 表示A 的秩）.

4．(10分) 设A 是数域 P 上的n 阶幂等矩阵，即2A A =，1{|0},W X AX ==

2{|}W X AX X ==，证明：12n P W W =⊕.

5．(15分) 设n R []x 表示次数不超过n 的实系数多项式构成的实向量空间，其上定义

的加法和数乘，是通常的多项式加法和数乘，以

d

D

dx

=表示求多项式导数的求导算子，

则D为

n

R[]x上的线性变换.

(1) 试证2

{1,,,,}n

x x x是

n

R[]x的一个基；

(2) 求D在上述基下的矩阵；

(3) 试证：n1

≥时，D不能对角化.