ch2 例题与习题

第二章例题与思考题
1. 氧化镁（MgO）与氯化钠（NaCl）具有相同的结构。

已知Mg的离子半径为0.066nm，氧的离子半径为0.140nm。

（1）试求氧化镁的晶格常数。

（2）试求氧化镁的密度。

2. 某一原子的配位数（CN）为此原子之邻接原子的数目。

以共价键结合的原子其最大的配位数是由其原子所具有的价电子数来决定；而离子键结合的原子其最大的配位数是受其离子半径比所限制。

试证明当配位数为6时，其最小半径比为0.41。

3. 假设在高压时可将NaCl强迫变成CsCl，试问体积改变的百分比是多少？（已知CN=6时，Na的离子半径为0.097nm，氯的离子半径为0.181nm）
4. 已知Cu的原子直径为2.56A，求Cu的晶格常数，并计算1mm3Cu的原子数。

5. 已知Al相对原子质量Ar（Al）=2
6.97，原子半径γ=0.143nm，求Al晶体的密度。

6. bcc铁的单位晶胞体积，在912℃时是0.02464nm3；fcc铁在相同温度时其单位晶胞体积是0.0486nm3。

当铁由bcc转变为fcc时，其密度改变的百分比为多少？
7. （1）计算fcc结构的（111）面的面间距（用点阵常数表示）；（2）以几何关系上验证所得结果；（3）欲确定一成分为18%Cr，18%Ni的不锈钢晶体在室温下的可能结构是fcc还是bcc，由x射线测得此晶体的（111）面间距为0.21nm，已知bcc铁的a=0.286nm，fcc铁的a=0.363nm，试问此晶体属何结构？
8. 在面心立方晶胞中画出[012]和[123]晶向。

在面心立方晶胞中画出（012）和（123）晶面。

9. 设晶面（152）和（034）属六方晶系的正交坐标表述，试给出其四轴坐标的表示。

反之，求（3
1）
2
1
及（2112）的正交坐标的表示。

（练习），上题中均改为相应晶向指数，求相互转换后结果。

10.在一个立方晶胞中确定6个表面面心位置的坐标，6个面心构成一个正八面体，指出这个八面体各个表面的晶面指数，各个棱边和对角线的晶向指数。

11.离子键、共价键、分子键和金属键的特点，并解释金属键结合的固体材料的密度比离子键或共价键固体高的原因？
12写出立方晶系的{110}、{100}、{111}、{112}晶面族包括的等价晶面，请分别画出。

13. 在立方晶系中的一个晶胞内画出（111）和（112）晶面，并写出两晶面交线的晶向指数。

14 在六方晶系晶胞中画出[1120]，[1101]晶向和（1012）晶面，并确定（1012）晶面与六方晶胞交线的晶向指数。

15.在立方晶系的一个晶胞内同时画出位于（101），（011）和（112）晶面上的[111]晶向。

16. 在1000℃，有W C为1.7%的碳溶于fcc铁的固溶体，求100个单位晶胞中有多少个碳原子？（已知：Ar(Fe)=55.85，Ar(C)=12.01）
17. 试证明密排六方的晶格常数之间关系：c/a=1.633
18. r-Fe在略高于912℃时点阵常数a=0.3633nm，α-Fe在略低于912℃时a=0.2892nm，求：（1）上述温度时γ-Fe和α-Fe的原子半径R；（2）γ-Fe→α-Fe转变时的体积变化率；（3）设γ-Fe→α-Fe转变时原子半径不发生变化，求此转变时的体积变化率，与（2）的结果相比较并加以说明。

19．比较三种典型晶体结构的特征。

（Al、α-Fe、Mg三种材料属何种晶体结构？描述它们的晶体结构特征并比较它们塑性的好坏并解释。

）
第二章 例题
1. 氧化镁（MgO ）与氯化钠（NaCl ）具有相同的结构。

已知Mg 的离子半径为0.066nm ，氧的离子半径为0.140nm 。

（1）试求氧化镁的晶格常数。

（2）试求氧化镁的密度。

2. 某一原子的配位数（CN ）为此原子之邻接原子的数目。

以共价键结合的原子其最大的配位数是由其原子所具有的价电子数来决定；而离子键结合的原子其最大的配位数是受其离子半径比所限制。

试证明当配位数为6时，其最小半径比为0.41。

例3. 假设在高压时可将NaCl 强迫变成CsCl ，试问体积改变的百分比是多少？（已知CN=6时，Na 的离子半径为0.097nm ，氯的离子半径为0.181nm ）
例4. 已知Cu 的原子直径为2.56A ，求Cu 的晶格常数，并计算1mm 3Cu 的原子数。

例5. 已知Al 相对原子质量Ar （Al ）=26.97，原子半径γ=0.143nm ，求Al 晶体的密度。

（刘P3）
例6. bcc 铁的单位晶胞体积，在912℃时是0.02464nm 3；fcc 铁在相同温度时其单位晶胞体积是0.0486nm 3。

当铁由bcc 转变为fcc 时，其密度改变的百分比为多少？
例7. （1）计算fcc 结构的（111）面的面间距（用点阵常数表示）；（2）以几何关系上验证所得结果；（3）欲确定一成分为18%Cr ，18%Ni 的不锈钢晶体在室温下的可能结构是fcc 还是bcc ，由x 射线测得此晶体的（111）面间距为0.21nm ，已知bcc 铁的a=0.286nm ，fcc 铁的a=0.363nm ，试问此晶体属何结构？（上1—18 P5－78）
例8. 在面心立方晶胞中画出[012]和[123]晶向。

（石P36）。

在面心立方晶胞中画出（012）和（123）晶面。

（石P36）
例9. 设晶面（152）和（034）属六方晶系的正交坐标表述，试给出其四轴坐标的表示。

反之，求（3121）及（2112）的正交坐标的表示。

（练习），上题中均改为相应晶向指数，求相互转换后结果。

例10.在一个立方晶胞中确定6个表面面心位置的坐标，6个面心构成一个正八面体，指出这个八面体各个表面的晶面指数，各个棱边和对角线的晶向指数。

（刘P5·11）
第一、二章 例题
例1. 氧化镁（MgO ）与氯化钠（NaCl ）具有相同的结构。

已知Mg 的离子半径为0.066nm ，氧的离子半径为0.140nm 。

（1）试求氧化镁的晶格常数。

（2）试求氧化镁的密度。

解答：氧化镁为离子化合物，计算时必须使用离子半径而不能使用原子半径 (1) 氯化钠（NaCl ）晶体的结构如图2.52（P53）
nm a Mg 412.0140.0066.0(2)(22
01
=+=+=-+）γγ
(2) 氧化镁（MgO ）与氯化钠（NaCl ）具有相同的结构。

每一晶胞中含有4个Mg 2+及4个O 2-；1mol 的Mg 2+具有24.31g 的质量，1mol 的O 2-具有16.00g 的质量，则密度为
3
23
37
3
23
/83.310
02.6)412.010
()00.1631.24(41002.600.1631.244cm g a
=⨯⨯⨯+=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+=
-ρ
例2. 某一原子的配位数（CN ）为此原子之邻接原子的数目。

以共价键结合的原子其最大
的配位数是由其原子所具有的价电子数来决定；而离子键结合的原子其最大的配位数是受其离子半径比所限制。

试证明当配位数为6时，其最小半径比为0.41。

解答：当配位数为6时，其可能的最小 半径值如图（a ），第五和第六个离子正好位 于中心原子的正上方和正下方如图（b ）；一 个Mg 2+最多被六个O 2-包围。

由图（a ） 2（r ＋R ）2 =（2R ）2
（r ＋R ）2 =2R 2
R
)12(
-=⇒γ
41.0/=⇒R r
CN =6时的r 和R 之比为0.41。

例 3. 假设在高压时可将NaCl 强迫变成CsCl ，试问体积改变的百分比是多少？（已知CN=6时，Na 的离子半径为0.097nm ，氯的离子半径为0.181nm ）
解答： NaCl 和CsCl 晶体的结构如图2.51、2.52（P53） CN =6时，NaCl 点阵常数
nm a Cl Na
556.0)181.0097.0(2)(2=+⨯=+=-
+γγ a 3=0.172nm 3，其中含有4个NaCl 。

CN=8时，由Ahrens 的模型得到不同配位数时离子半径之间的关系式如下：
4681.197.0===≈≈CN CN CN γγγ
此时，nm
Na
10.097
.0097.0==+
γ，nm
r Cl 187.097
.0181.0==
-
nm
a a Cl
Na
331.0)187.010.0(3
32)(23=+=
⇒+=-
+
γ
γ
a 3=0.036nm 3，其中仅有1个NaCl ，
故
%16172.0172.04036.03
3
3
-=-⨯=
∆nm
nm
nm V
V （收缩）
例4. 已知Cu 的原子直径为2.56A ，求Cu 的晶格常数，并计算1mm 3Cu 的原子数。

解答：D （γ）为Cu 的原子直（半）径，n 为1mm 3Cu 的原子数， 晶胞体积a 3，致密度为0.74。

. ⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪
⎨⎧⨯=⇒⎪⎪
⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎭⎫ ⎝⎛==
=⨯===⇒=个19
3
31043.8 23474.0)
2(462
.356.22222 42 .Cu.fcc n D n D V n D a a πγγ
例5. 已知Al 相对原子质量Ar （Al ）=26.97，原子半径γ=0.143nm ，求Al 晶体的密度。

解答
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⨯⨯⨯⨯==
=⨯==-3
3
372330/696.2)10405.0(10023.64197.2641)(405.0143.02222 fcc Al.cm
g cm g
a N Al Ar nm nm a ργ
例6. bcc 铁的单位晶胞体积，在912℃时是0.02464nm 3；fcc 铁在相同温度时其单位晶胞体积是0.0486nm 3。

当铁由bcc 转变为fcc 时，其密度改变的百分比为多少？
解答 .
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨
⎧=⨯-=∆=⨯⨯⨯==⨯⨯⨯==--%4.1%10053.753
.7636.7/636.7100486.041002.6/85.55/53.71002464.021002.6/85.5585
.55)Ar(Fe Fe 3
32123
3
3
2123ρρρρcm g cm
g cm g cm g fcc
bcc
例7. （1）计算fcc 结构的（111）面的面间距（用点阵常数表示）；（2）以几何关系上验证所得结果；（3）欲确定一成分为18%Cr ，18%Ni 的不锈钢晶体在室温下的可能结构是fcc 还是bcc ，由x 射线测得此晶体的（111）面间距为0.21nm ，已知bcc 铁的a=0.286nm ，fcc 铁的a=0.363nm ，试问此晶体属何结构？
解答 由立方晶系的面间距公式
3
1
112
2
2
111a a d =
++=
（2） 先在一单位晶胞中作出垂直于（101）面的两个（111）面，如图所以，两个（111）
面与（101）的交线如图2所示。

交线长度 a
a
a l 2
62
2
2
=
+
=
，由相似三角形
可知：3
3
162
22
a d a a
a
d
=
⇒==
（3）bcc 铁，nm d 165.03286.0111==
fcc 铁，nm d 21.03
363.0111==
故，待定结构为fcc .
例8. 在面心立方晶胞中画出[012]和[123]晶向。

在面心立方晶胞中画出（012）和（123）晶面。

解答：略
例9. 设晶面（152）和（034）属六方晶系的正交坐标表述，试给出其四轴坐标的表示。

反之，求（3121）及（2112）的正交坐标的表示。

解答 （参考P21～22）
（152） )2615(6)51()(⇒-=+-=+-=k h i （034） )4303(3)30()(⇒-=+-=+-=h k i （1213） ⇒ （123）
（2112） ⇒ （212）
（练习），上题中均改为相应晶向指数，求相互转换后结果。

解答：[152]
]2231[22)51(3
1
)(313)152(3
1
)2(311)512(3
1
)2(31
⇒⎪
⎪
⎪⎭
⎪
⎪⎪
⎬⎫
==-=+-=+-==-⨯=-=-=-⨯=-=
W w V U t U V v V U u [034]
]4121[41)30(3
1
)(312)032(3
1
)2(311)302(3
1
)2(31
⇒⎪
⎪
⎪⎭
⎪
⎪⎪
⎬⎫
==-=+-=+-==-⨯=-=-=-⨯=-=
W w V U t U V v V U u ]3121[
]033[33)1(20)1(1⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
===--=-==---=-=w W t v V t u U
[2112]
]302[20)1(13)1(2⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫===---=-==--=-=w W t v V t u U
例10、在一个立方晶胞中确定6个表面面心位置的坐标，6个面心构成一个正八面体，指
出这个八面体各个表面的晶面指数，各个棱边和对角线的晶向指数。

（刘P5·11）
解答： 面 ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧)
111( //)1(11 //)111( //)111( //BCF ADE BCE ADF CDF ABE
CDE ABF
棱 ⎪⎩
⎪
⎨⎧[101] 1]1[0 //[011] 01]1[ //10]
1[ [110] // DF //EB CF EA EC //AF ED BF BC //AD DC AB
对角线 DB [100] AC [010] EF [001]
1.离子键、共价键、分子键和金属键的特点，并解释金属键结合的固体材 料的密度比离子键或共价键固体高的原因？（刘P2·1）
作业答案 参考：（刘P2—例1.2.2）
2写出立方晶系的{110}、{100}、{111}、{112}晶面族包括的等价晶面，请分别画出。

（刘P19·3）
{110}=（110）+（101）+（011）+（110）+（101）+（011）
作业答案 参考：（刘P19—1.3.3）（答案在P129） ※ 应分开画，在同一图上时应标出各面
3. 在立方晶系中的一个晶胞内画出（111）和（112）晶面，并写出两晶面交线的晶向指数。

（石P51·1）
作业答案
交线的晶向指数为：[110]
4 在六方晶系晶胞中画出[1120]，[1101]晶向和（1012）晶面，并确定（1012）晶面与六方晶胞交线的晶向指数。

（石P51·4）
作业答案
可参考（刘P2—例1.2.12）
交线的晶向指数为：[1210]、[1210]、[2241]、[-4221]
5.在立方晶系的一个晶胞内同时画出位于（101），（011）和（112）晶面上的[111]晶向。

（石P51·1） 作业答案
6. 在1000℃，有W C 为1.7%的碳溶于fcc 铁的固溶体，求100个单位晶胞中有多少个碳
原子？（已知：Ar(Fe)=55.85，Ar(C)=12.01）
作业答案
100克fcc 铁的固溶体中含有：
C 原子个数为 n 1=1.7/12.01 × N A =
Fe 原子个数为 n 2=（100-1.7）/55.85 ×N A =
fcc 铁的固溶体中每个晶胞含有Fe 原子个数为4，可求Fe 的晶胞数：
n 2/4=
100个单位晶胞中含有C 原子个数为 n 1/（n 2/4） ×100 = 32.17
7. 在一个立方晶胞中确定6个表面面心位置的坐标，6个面心构成一个正八面体，指出这个八面体各个表面的晶面指数，各个棱边和对角线的晶向指数。

（刘P5·11）
作业答案
参考：（刘P5—例1.2.11）
面 ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧)
111( //)1(11 //)111( //)111( //BCF ADE BCE ADF CDF ABE CDE ABF
棱 ⎪⎩
⎪
⎨⎧[101] 1]1[0 //[011] 01]1[ //10]1[ [110] // DF //EB CF EA EC //AF ED BF BC //AD DC AB
对角线 DB [100] AC [010] EF [001]
8. 试证明密排六方的晶格常数之间关系。

c /a =1.633 作业答案
作图分析图形中内部三个原子与底面原子之间的几何关系可求得
9. r-Fe 在略高于912℃时点阵常数a =0.3633nm ，α-Fe 在略低于912℃时a=0.2892nm ，求： （1）上述温度时γ-Fe 和α-Fe 的原子半径R ； （2）γ-Fe →α-Fe 转变时的体积变化率；
（3）设γ-Fe →α-Fe 转变时原子半径不发生变化，求此转变时的体积变化率，与（2）的结果相比较并加以说明。

（上P5—77）
作业答案
(1)应掌握 fcc 和bcc 结构的特征，R 与a 之间的关系
fcc. nm
a R Fe 1284.04
2 .==
-γ
bcc. nm
a R Fe 1252.04
3 .==
-α
(2) %
87.04
3633
.04
3633
.02
2892
.0%3
3
3
=-
=
∆→αγV
(3) 33
22642
4R a V R a fcc fcc fcc =
=⇒=
单胞
33
3
364
3
4
R a V R a bcc bcc bcc =
=⇒=
单胞
%87.82
264
4
1
2
2644
13
3642
1
%3
3
3
=⨯⨯-⨯
=
∆→R
R
R V αγ
从上述结果可知，在发生Fe Fe -→-αγ转变时，配位数与致密度的减少将和原子半径
的收缩同时产生，以减少晶体体积的变化。

另 %87.8%10074
.01
74
.0168
.01
=⨯-=∆→αγV
[ 表示相同体积的原子所占体积时的晶胞的体积]
10．比较三种典型晶体结构的特征。

作业答案
参考教材表、应丛以下几方面：
原子位置、 晶格常数、 原子半径、
每个晶胞含有的原子个数、 配位数、 致密度、
间隙数及大小、 滑移系。

Al
Al 塑性最好（滑移系12，方向3），α-Fe 次之（滑移系12，方向2）, Mg 最差（滑移系3，方向3）（ 分）。