最新全国数学微积分-泰勒公式
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2010年全国数学微积分-泰勒公式
泰勒公式及其应用
[摘要]文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问
题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,
求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.
[关键词]泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式.
１引言
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.
２预备知识
定义2.1«Skip Record If...»若函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»存在«Skip Record If...»阶导数,则有
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»（1）
这里«Skip Record If...»为佩亚诺型余项,称(1)f在点«Skip Record If...»的泰勒公式.
当«Skip Record If...»=0时,（1）式变成«Skip Record If...»,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
定义2.2«Skip Record If...»若函数 «Skip Record If...»在«Skip Record If...»某邻域内为存在直至 «Skip Record If...»阶的连续导数,则«Skip Record If...» , （2）这里«Skip Record If...»为拉格朗日余项«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»在«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间,称（2）为«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的泰勒公式.
当«Skip Record If...»=0时,（2）式变成«Skip Record If...»
称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.
常见函数的展开式：
«Skip Record If...».
«Skip Record If...».
«Skip Record If...».
«Skip Record If...».
«Skip Record If...»
«Skip Record If...».
定理2.1«Skip Record If...»(介值定理) 设函数«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»上连续,且«Skip Record If...»,若«Skip Record If...»为介于«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间的任何实数,则至少存在一点«Sk ip Record If...»«Skip Record If...»,使得
«Skip Record If...».
3泰勒公式的应用
3.1 利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限
转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.
例3.1 求极限«Skip Record If...».
分析：此为«Skip Record If...»型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将
«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
解由«Skip Record If...»,«Skip Record If...»得
«Skip Record If...»,
于是
«Skip Record If...».
3.2 利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用
泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.
例3.2 当«Skip Record If...»时,证明«Skip Record If...».
证明取«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则
«Skip Record If...»
带入泰勒公式,其中«Skip Record If...»=3,得
«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».
故
当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...».
3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性
当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.
例3.3 讨论级数«Skip Record If...»的敛散性.
分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到«Skip Record If...»,若将其泰勒展开为«Skip Record If...»的幂的形式,开二次方后恰与«Skip Record If...»相呼应,会使判敛容易进行.
解因为
«Skip Record If...»,
所以
«Skip Record If...»,
所以
«Skip Record If...»
故该级数是正向级数.