最新全国数学微积分-泰勒公式

2010年全国数学微积分-泰勒公式
泰勒公式及其应用
[摘要]文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问
题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,
求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.
[关键词]泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式.
１引言
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.
２预备知识
定义2.1«Skip Record If...»若函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»存在«Skip Record If...»阶导数,则有
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»（1）
这里«Skip Record If...»为佩亚诺型余项,称(1)f在点«Skip Record If...»的泰勒公式.
当«Skip Record If...»=0时,（1）式变成«Skip Record If...»,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
定义2.2«Skip Record If...»若函数 «Skip Record If...»在«Skip Record If...»某邻域内为存在直至 «Skip Record If...»阶的连续导数,则«Skip Record If...» , （2）这里«Skip Record If...»为拉格朗日余项«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»在«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间,称（2）为«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的泰勒公式.
当«Skip Record If...»=0时,（2）式变成«Skip Record If...»
称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.
常见函数的展开式：
«Skip Record If...».
«Skip Record If...».
«Skip Record If...».
«Skip Record If...».
«Skip Record If...»
«Skip Record If...».
定理2.1«Skip Record If...»(介值定理) 设函数«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»上连续,且«Skip Record If...»,若«Skip Record If...»为介于«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间的任何实数,则至少存在一点«Sk ip Record If...»«Skip Record If...»,使得
«Skip Record If...».
3泰勒公式的应用
3.1 利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限
转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.
例3.1 求极限«Skip Record If...».
分析：此为«Skip Record If...»型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将
«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
解由«Skip Record If...»,«Skip Record If...»得
«Skip Record If...»,
于是
«Skip Record If...».
3.2 利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用
泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.
例3.2 当«Skip Record If...»时,证明«Skip Record If...».
证明取«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则
«Skip Record If...»
带入泰勒公式,其中«Skip Record If...»=3,得
«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».
故
当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...».
3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性
当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.
例3.3 讨论级数«Skip Record If...»的敛散性.
分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到«Skip Record If...»,若将其泰勒展开为«Skip Record If...»的幂的形式,开二次方后恰与«Skip Record If...»相呼应,会使判敛容易进行.
解因为
«Skip Record If...»,
所以
«Skip Record If...»,
所以
«Skip Record If...»
故该级数是正向级数.
又因为
«Skip Record If...»,
所以
«Skip Record If...».
因为«Skip Record If...»收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.
3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性
例3.4 设f(x)在«Skip Record If...»上二阶可导,且«Skip Record If...»,对«Skip Record If...»,证明：«Skip Record If...»在«Skip Record
If...»内存在唯一实根.
分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论«Skip Record If...»的根有困难,由题设f(x)在«Skip Record If...»上二阶可导且«Skip Record If...»,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.
证明因为«Skip Record If...»,所以«Skip Record If...»单调减少,又«Skip Record If...»,因此x>a时,«Skip Record If...»,故f(x)在«Skip Record If...»上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有
«Skip Record If...»
由题设«Skip Record If...»,于是有«Skip Record If...»,从而必存在«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»,又因为«Skip Record If...»,在«Skip Record If...»上应用连续函数的介值定理,存在«Skip Record If...»,使«Ski p Record
If...»,由f(x)的严格单调性知«Skip Record If...»唯一,因此方程«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内存在唯一实根.
3.5 利用泰勒公式判断函数的极值
例3.5«Skip Record If...»(极值的第二充分条件)设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的某邻域«Skip Record If...»内一阶可导,在«Skip Record If...»处二阶可导,且«Skip Record If...»,«Skip Record If...».
(i)若«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»取得极大值.
(ii) 若«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»取得极小值.
证明由条件，可得f在«Skip Record If...»处的二阶泰勒公式
«Skip Record If...».
由于«Skip Record If...»,因此
«Skip Record If...».(*)
又因«Skip Record If...»,故存在正数«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»与«Skip Record If...»同号.所以,当«Skip Record If...»时,(*)式取负值,从而对任意«Skip Record If...»有
«Skip Record If...»,
即«Skip Record If...»在«Skip Record If...»取得极大值.同样对«Skip Record If...»,可得«Skip Record If...»在«Skip Record If...»取得极小值.
3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式
利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.
例3.6求«Skip Record If...»的幂级数展开式.
解利用泰勒公式
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
3.7 利用泰勒公式进行近似计算
利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用«Skip Record If...»麦克劳林展开得到函数的近似计算式为
«Skip Record If...»,
其误差是余项«Skip Record If...».
例3.7计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001
解先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：
«Skip Record If...»,
其中«Skip Record If...»（«Skip Record If...»在0与x之间）.
令«Skip Record If...»,要使
«Skip Record If...»
则取«Skip Record If...»即可.
因此
«Skip Record If...»
当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.
例3.8 求«Skip Record If...»的近似值,精确到«Skip Record If...».
解因为«Skip Record If...»中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求«Skip Record If...»的近似值.
在«Skip Record If...»的展开式中以«Skip Record If...»代替 x得«Skip Record If...»
逐项积分,得
«Skip Record If...»
上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项«Skip Record If...»的估计式知
«Skip Record If...»
3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值
如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项«Skip Record If...»的系数正是«Skip Record If...»,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.
例3.9 求函数«Skip Record If...»在x=1处的高阶导数«Skip Record If...».
解设x=u+1,则
«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,
«Skip Record If...»在u=0的泰勒公式为
«Skip Record If...»,
从而
«Skip Record If...»,
而g(u)中的泰勒展开式中含«Skip Record If...»的项应为«Skip Record If...»,从
g(u)的展开式知«Skip Record If...»的项为«Skip Record If...»,因此
«Skip Record If...»,
«Skip Record If...».
3.9 利用泰勒公式求行列式的值
若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处«Skip Record If...»展开,用这一方法可求得一些行列式的值.
例 3.10求n阶行列式
D=«Skip Record If...»
（1）
解记«Skip Record If...»,按泰勒公式在z处展开：
«Skip Record If...», （2）
易知
«Skip Record If...»«Skip Record If...»（3）
由（3）得,«Skip Record If...».
根据行列式求导的规则,有
«Skip Record If...»
于是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的各阶导数为
«Skip Record If...»,
«Skip Record If...»,
…………
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
把以上各导数代入（2）式中,有
«Skip Record If...»
若«Skip Record If...»,有«Skip Record If...»,
若«Skip Record If...»,有«Skip Record If...».
4总结
本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.
参考文献
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[9]Visual Basic程序设计【M】中央广播电视大学出版社,2001
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Some Equivalent Definitions and Applications of Convex Function
Wang Cuina
（Grade06,Class4, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of
Mathematics,
Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi) Tutor:Li Jinlong
[Abstract]This paper briefly introduces the Taylor formula and the expansion of several common functions, for the Taylor formula discussed nine issues that limit application of Taylor's formula of seeking to prove that inequality, determine convergence and divergence of series, that the root The only existence, determine the function of the extreme value, find the primary function of the power series expansion, to approximate calculation, find the higher derivative value at some point, find the value of determinant.
[Key words]Taylor formula; limit; inequality; Convergence; root of the only existence; extreme; expansion; approximate calculation; determinant.。