江苏省扬州市2018届高三第一次模拟考试数学

2018届高三年级第一次模拟考试(六)

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －x)

2，其中x ＝1n ∑n

i ＝1x i . 棱锥的体积V ＝1

3

Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1.若集合A ＝{x|1

2.若复数(a －2i )(1＋3i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．

3.若数据31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的标准差是________．

4.为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图．根据此图估计该校2 000名男生中体重在70～78(kg )的人数为________．

(第4题) (第5题)

5. 运行如图所示的流程图，输出的结果是________．

6. 已知从2名男生2名女生中任选2人，则恰有1男1女的概率为________．

7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π

3

的扇形，则此圆锥的体积为________．

8. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧x ≤4，y ≤3，3x ＋4y ≥12，

则x 2＋y 2的取值范围是________．

9.已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4，a 3，6a 5成等差数列，且

a 3＝3a 22，则S 3＝________．

10．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x 2＋y 2－6y

＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．

11．已知函数f(x)＝sin x －x ＋1－4x

2x ，则关于x 的不等式f(1－x 2)＋f(5x －7)<0的解集为

________．

12．已知正△ABC 的边长为2，点P 为线段AB 中垂线上任意一点，Q 为射线AP 上一点，且满足AP →·AQ →＝1，则|CQ →

|的最大值为________．

13．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 1

2（－x ＋1）－1，x ∈[－1，k]，－2|x －1|， x ∈（k ，a]，若存在实数k 使得该函数的值

域为[－2，0]，则实数a 的取值范围是________．

14．已知正实数x ，y 满足5x 2＋4xy －y 2＝1，则12x 2＋8xy －y 2的最小值为________． 二、 解答题：本大题共6小题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点． (1) 证明：B 1C 1∥平面A 1DE ；

(2) 若平面A 1DE ⊥平面ABB 1A 1，证明：AB ⊥DE.

16. (本小题满分14分)

已知在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，且△ABC 的面积为9. (1) 求AC 的长度；

(2) 当△ABC 为锐角三角形时，求cos ⎝

⎛⎭⎫2A ＋π

6的值．

如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P ，Q 分别在射线OA 和OB 上．经测量得，扇形OPQ 的圆心角(即∠POQ)为2π

3、半径为1

千米．为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA ，OB 交于M ，N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，设∠POS ＝α(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计．

(1) 试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围； (2) 试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值.

已知椭圆E 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，若椭圆E 2：x 2ma 2＋y 2

mb 2＝1(a>b>0，m>1)，则称椭圆E 2

与椭圆E 1“相似”．

(1) 求经过点(2，1)，且与椭圆E 1：x 22＋y 2

＝1“相似”的椭圆E 2的方程；

(2) 若m ＝4，椭圆E 1的离心率为2

2

，点P 在椭圆E 2上，过点P 的直线l 交椭圆E 1于A ，B 两点，且AP →＝λAB →

，

①若点B 的坐标为(0，2)，且λ＝2，求直线l 的方程； ②若直线OP ，OA 的斜率之积为－1

2

，求实数λ的值．

已知函数f(x)＝e x，g(x)＝ax＋b，a，b∈R.

(1) 若g(－1)＝0，且函数g(x)的图象是函数f(x)图象的一条切线，求实数a的值：

(2) 若不等式f(x)>x2＋m对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围；

(3) 若对任意实数a，函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点，求实数b的取值范围．

已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a 2n ＋a n ，数列{b n }满足b 1＝1

2，2b n ＋1＝b n ＋b n

a n

.

(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2) 设数列{c n }满足c n ＝b n ＋2

S n

，求c 1＋c 2＋…＋c n 的值；

(3) 是否存在正整数p ，q ，r(p