逐点比较法圆弧插补原理
逐点比较法圆弧插补算法
二、 逐点比较法圆弧插补加工一个圆弧，很容易联想到把加工点到圆心的距离和该圆的名义半径相比较来反映加工偏差。
这里，我们以第Ⅰ象限逆圆弧为例导出其偏差计算公式。
设要加工图2—3所示第Ⅰ象限逆时针走向的圆弧，半径为R ，以原点为圆心，起点坐标为A(00x ,y )，对于圆弧上任一加工点的坐标设为P( i j x ,y )，P 点与圆心的距离 P R 的平方为 222Pi j R =x +y ，现在讨论这一加工点的加工偏差。
图 2 - 2 圆 弧 差 补 过 程图2-3 圆弧插补过程点击进入动画观看逐点比较法圆弧插补若点P(i j x ,y )正好落在圆弧上，则下式成立：22222i j 00x +y =x +y =R若加工点P(i j x ,y )在圆弧外侧，则P R >R ，即：2222i j 00x +y >x +y若加工点P(i j x ,y )在圆弧内侧，则P R <R ，即：2222i j 00x +y >x +y将上面各式分别改写为下列形式：2222i 0j 0(x -x )+(y -y )=0(加工点在圆弧上) 2222i 0j 0(x -x )+(y -y )>0(加工点在圆弧外侧)2222i 0j 0(x -x )+(y -y )<0(加工点在圆弧内侧)取加工偏差判别式为：2222ij i 0j 0F =(x -x )+(y -y )运用上述法则，利用偏差判别式，即获得图2—2折线所示的近似圆弧。
若P(i j x ,y )在圆弧外或圆弧上，即满足 ij F ≥0的条件时，应向x 轴发出一个负向运动的进给脉冲(—Δx)，即向圆内走一步。
若P(i j x ,y )在圆弧内侧，即满足ij F <0的条件，则向y 轴发出一个正向运动的进给脉冲(+Δy)，即向圆弧外走一步。
为了简化偏差判别式的运算，仍用递推法来推算下一步新的加工偏差。
设加工点P(i j x ,y )在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差为2222ij i 0j 0F =(x -x )+(y -y )0≥x 坐标需向负方向进给一步(—Δx)，移到新的加工点P(i+1j x ,y )位置，此时新加工点的x 坐标值为i x -1，y 坐标值仍为 i y ，新加工点P( i+1j x ,y )的加工偏差为：22222i+1,j i 0j 0F =(x -1)-x +y -y经展开并整理，得：i +1,j i j F =F 21i x -+(2-3)设加工点P(i j x ,y )在圆弧的内侧，则：ij F <0那么，y 坐标需向正方向进给一步(+Δy)，移到新加工点P( i j+1x ,y )，此时新加工点的x 坐标值仍为i x ，y 坐标值则改为 j y 1+，新加工点P( i j+1x ,y )的加工偏差为:2222i,j+1i 0j 0F =x -x +(y +1)y -，展开上式，并整理得:i,j+1ij F =F 21i y ++综上所述可知：当ij F ≥0时，应走—Δx ，新偏差为 i+1,j ij F =F 21i x -+，动点(加工点)坐标为i+1i x =x -1， j j y y =；当 ij F <0时，应走+Δy ，新偏差为 i,j+1ij F =F 21i y ++，动点坐标为 j j y y =, i+1i =y +1y 。
实验一 逐点比较法圆弧和直线插补实验
Y B(xe,ye)
M(xm,ym)
Rm R
A(x0,y0)
O 图3 圆弧插补原理图 X
圆弧插补原理参见上图，对于第一象限逆圆，设圆弧的起点为 A(x0,y0)，终点为 B(xe,ye)， 圆弧半径为 R。加工点为 M(xm,ym)，它与圆心的距离为 Rm，则
（1）偏差计算
Fm
=
Rm2
− R2
=
xm2
p102=p102-p104 p101=p101+1 x-0.1 else p102=p102+p103 p101=p101+1 y0.1
；计算新的偏差值（Fi+1=Fi－ya） ；步数计数器加一 ；X方向进分别是（-0.1 -0.5 -1.0） ；偏差判别（若P102小于0表示刀具在直线下方） ；计算新的偏差值（Fi+1=Fi＋xa） ；步数计数器加一 ；Y方向进给分别是（0.1 0.5 1.0）
endif
endwhile
close
（3）根据直线插补编成格式，编写所给圆弧插补程序。 各组的圆弧的插补任务是： u 第一组：圆弧半径 50，第二象限顺圆；
第二组：圆弧半径 50，第二象限逆圆； 第三组：圆弧半径 60，第三象限顺圆； 第四组：圆弧半径 60，第三象限逆圆； 第五组：圆弧半径 70，第四象限顺圆； 第六组：圆弧半径 70，第四象限逆圆； open prog7 clear linear inc p101=0 p102=0 p103=0 p104=50 while(p101!>100) if(p102!<0) y0.5 p101=p101+1 p102=p102-2*p104+1 p104=p104-1 else -x0.5 p101=p101+1 p102=p102-2*p103+1 p103=103-1 endif endwhile close
逐点比较法圆弧插补
逐点比较法圆弧插补逐点比较法圆弧插补过程与直线插补过程类似，每进给一步也都要完成四个工作节拍：偏差判别、坐标进给、偏差计算、终点判别。
但是，逐点比较法圆弧插补以加工点距圆心的距离大于还是小于圆弧半径来作为偏差判别的依据。
如图5-7所示的圆弧AB，其圆心位于原点O（0，0），半径为R，令加工点的坐标为P（xi，yj），则逐点比较法圆弧插补的偏差判别函数为当F＝0时，加工点在圆弧上；当F＞0时，加工点在圆弧外；当F＜0时，加工点在圆弧内。
同插补直线时一样，将Fi，j=0同Fi，j＞0归于一类。
下面以第一象限圆弧为例，分别介绍顺时针圆弧和逆时针圆弧插补时的偏差计算和坐标进给情况。
1．插补第一象限逆圆弧1）当Fi，j≥0时，加工点P（xi，yj）在圆弧上或圆弧外，－X方向进给一个脉冲当量，即向趋近圆弧的圆内方向进给，到达新的加工点Pi－1,j，此时xi －1=xi－1，则新加工点Pi－1,j的偏差判别函数Fi－1，j为（2）当Fi，j＜0时，加工点P（xi，yj）在圆弧内，＋Y方向进给一个脉冲当量，即向趋近圆弧的圆外方向进给，到达新的加工点Pi,j＋1，此时yj+1=yj＋1，则新加工点Pi,j＋1的偏差判别函数Fi，j+12．插补第一象限顺圆弧1）当Fi，j≥0时，加工点P（xi，yj）在圆弧上或圆弧外，－Y方向进给一个脉冲当量，即向趋近圆弧的圆内方向进给，到达新的加工点Pi，,j－1，此时yj－1=yj－1，则新加工点Pi，j－1的偏差判别函数Fi，j－1为2）当Fi，j＜0时，加工点P（xi，yj）在圆弧内，＋X方向进给一个脉冲当量，即向趋近圆弧的圆外方向进给，到达新的加工点Pi＋1,j，此时xi＋1=xi ＋1，则新加工点Pi＋1,j的偏差判别函数为Fi+1，j由以上分析可知，新加工点的偏差是由前一个加工点的偏差Fi，j及前一点的坐标值xi、yj递推出来的，如果按式（5-6）、（5-7）、（5-8）、（5-9）计算偏差，则计算大为简化。
插补的基本概念脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别逐点比较法的基本原理直线插补和圆弧插补
插补的基本概念脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别逐点比较法的基本原理直线插补和圆弧插补
脉冲增量插补和数据采样插补是实现插补的两种不同方法。
脉冲增量插补是将连续的运动轨迹离散化，以一定的脉冲数来表示，通过控制脉冲信号的频率和方向来控制机床的运动方向和速度。
而数据采样插补则是将预先生成的轨迹数据存储在内存中，通过对数据进行采样来得到机床的控制指令。
脉冲增量插补的特点是运算简单，系统响应速度较快，适合于高速运动控制；但由于其离散化的特点，可能会引入累积误差。
数据采样插补的特点是能够精确控制机床的运动轨迹，减小累积误差，但需要占用较大的内存空间。
逐点比较法是一种用于校正控制系统误差的方法。
其基本原理是通过对实际运动轨迹数据和预期轨迹数据进行逐点比较，根据比较结果来调整机床的控制指令，使实际运动轨迹尽可能地与预期轨迹一致。
逐点比较法的关键是选择合适的比较误差补偿算法，以实现高效准确的校正。
直线插补是指在机床坐标系下，按照直线轨迹进行插补运动。
直线插补的计算相对简单，只需要对坐标进行线性插值即可。
圆弧插补是指在机床坐标系下，按照圆弧轨迹进行插补运动。
圆弧插补的计算相对复杂，需要考虑起点、终点和半径等参数，通过数学运算得出插补指令。
总之，插补是机床运动控制的基础，脉冲增量插补和数据采样插补是两种常见的实现方式，逐点比较法是一种用于校正误差的方法，直线插补和圆弧插补则是两种常见的插补方式。
(二)逐点比较法圆弧插补PPT课件
同理，对于第一象限顺圆加工时，即B→A，当Fi≥0时， 应向－Y方向进给一步，当Fi＜0时，应向+X方向进给 一步。
Y
B(Xe,Ye)
Pi(Xi,Yi)
A(Xo,Yo)
O
X
6
当Fi≥0时，向－Y方向进给一步，动点由Pi(Xi,Yi) 移动到 Pi+1(Xi,Yi +1)，则新动点的坐标为 Yi+1=Yi －１
偏差计算
终点判别
0
F0=0,Xo=5,Yo=0 ∑=10
1 F0=0 －X F1=F0-2Xo+1= -9,X1=4,Y1=0∑=9
2 F1=－9 +Y F2=F1+2Y1+1= -8,X2=4,Y2=∑1=8
3 F2=-8 +Y F3=F2+2Y2+1= -5,X3=4,Y3=∑2=7
4 F3= -5 +Y F4=F3 +2Y3+1 =0, X4=4,Y4=3∑=6
2 F1=－5 +Y F2=F1+2Y1+1= -4,X2=2,Y2=∑1=4
3 F2=-4 +Y 4 F3= -1 +Y 5 F4=4 -X
F3=F2+2Y2+1= -1,X3=2,Y3=∑2=3 F4=F3 +2Y3+1 =4, X4=2,Y4=3∑=2 F5=F4-2X4+1 =1, X5=1,Y5=3∑=1
Y
Fi＜0
Fi≥0
Fi≥0 Fi＜0
Fi＜0
O Fi≥0
X
Fi＜0 Fi≥0
17
2、圆弧插补的象限处理
前面的圆弧插补（顺圆、逆圆）只限于第一象限，其他 情况如图所示： Y
(完整版)圆弧插补
Fi＜0
O Fi≥0
X Fi＜0 Fi≥0
2、圆弧插补的象限处理
前面的圆弧插补（顺圆、逆圆）只限于第一象限，其他 情况如图所示： Y
O
X
代入偏差函数，得Pi+1点的偏差为： Fi+1 = Fi－2Xi + 1
当Fi＜0时，向+Y方向进给一步。动点由Pi(Xi,Yi) 移动到 Pi+1(Xi,Yi +1)则新动点的坐标为 Yi+1=Yi +１
代入偏差函数，得Pi+1点的偏差为：
Fi+1 = Fi + 2Yi + 1
所以，第一象限逆时针圆弧插补加工时偏差加工的递推 公式为：
6 F5= -7 +Y F6=F5+2Y5+1 =0, X6=3,Y6=4 ∑=4
7 F6=0 -X F7=F6-2X6+1 = -5, X7=2,Y7=4 ∑=3 8 F7= -5 +Y F8=F7+2Y7+1 =4, X8=2,Y8=5 ∑=2
9 F8=4 -X F9=F8-2X8+1 = 1, X9=1,Y9=5 ∑=1
若P点在圆弧上，则有 (Xi2 +Yi2 ) — (Xo2 +Yo2) = 0，我们定义偏差函数Fi为 Fi = (Xi2 +Yi2 ) — (Xo2 +Yo2 )
Y
B(Xe,Ye)
Pi(Xi,Yi)
A(Xo,Yo) O
X
可见，若Fi=0，表示动点位于圆弧上；若Fi＞0，表示动 点位于圆弧外；Fi＜0，表示动点位于圆弧内。
（2）进给控制
把Fi=0和若Fi＞0合在一起考虑，当Fi≥0时，向－X方向进 给一步；当Fi＜0时，向+Y方向进给一步。
数控机床逐点比较法圆弧插补
3数控机床逐点比较法圆弧插补:与直线初步相似，圆弧插补加工是将加工点到圆心距离与被加工圆弧的名 义半径相比较，并根据偏差大小确定坐标进给方向，以 逼近被加工圆弧。
下面 以 第一象限逆圆弧为例，讨论圆弧的插补方法。
如图8-4所示，设要加工圆弧为第一象限逆圆弧 AB ，原点为圆心0,起点 y o )，终点为B (X e , y e )半径R ,瞬时加工点为P (X i ,y i )，点P 到圆<0 -<0‘—开始—若点P 正好在圆弧上，则有2 2 2 2X i +y j =R p =R即X i 2+y j 2-R 2=0若点P 在圆弧外则，则有2 2 2 2X i +y j =R p >R即X i 2+y j 2-R 2 > 0若点 P 在圆弧内则，则有2 2 2 2x i +y j =R p <R心距离为Rp------ X >0]+△*为 A (xo , <0* <7 F>0 ?*+X 走 一步 |] -y 走一y f1 FT -Ye ||FJF -Xe图8-2第一象限一象限直线插补轨迹图图8-3第一象限直线插补程序框图图初始化Xe ， Ye ，JJ J J-1J =0 ?结束即x i2+y j2-R2 < 0显然，若令F i,j = x i2+y j2-R2( 8-4) 图8-4 逆圆弧插补则有：(1)F i,j= F i,j=0,则点P在圆弧上( 2 )F i,j >0 则点P 在圆弧外则( 3 )F i,j<0 则点P 在圆弧不则常将8-4称为圆弧插补偏差判别式。
当F i,j>时，为逼近圆弧，应向-x方向进给一步；当F i,j<0时，应向+y方向走一步。
这样就可以获得逼近圆弧的折线图。
与直线插补偏差计算相似，圆弧插补的偏差的计算也采用递推的方法以简化计算。
若加工点P (X i, y i)在圆弧外或者圆弧上，则有：F i,j=x i2+y j2-R2> 0为逼近该圆沿-X方向进给一步，移动到新加工点P( X i=1,y i)，此时新加工点的坐标值为x i+1=x i-1 ，y i=y i新加工点的偏差为：F i+1,j= (x i-1) 2+y i2-R2=x i2-2x i+1+ y i2-R22 2 2= x i + y i -R +1F i+I,j= F i,j-2x i+1(8-5)若加工P （X i, y i）在圆弧内，则有F i,j=x i2+y j2-R2<0若逼近该圆需沿+y方向进给一步，移到新加工点P （X i, y i）,此时新加工点的坐标值图8-5第一象限圆弧插补程序框图为新加工点的偏为：F i,j+i =X i2+（y i+1）2-R2=X i2+ y i2+1 -R22 2 2=X i + y i -R +1+2y iF i,j+i = F i,j -2y i+1 （8-6）从（8-5）和式（8-6）两式可知，递推偏差计算仅为加法（或者减法）运算，大大降低了计算的复杂程度。
基于FPGA的逐点比较圆弧插补算法设计
基于FPGA的逐点比较圆弧插补算法设计摘要：随着数字化控制技术的发展，FPGA作为可编程逻辑设备，被广泛应用于了工业控制系统中。
本文通过分析圆弧插补算法的原理和特点，设计了一种基于FPGA的逐点比较圆弧插补算法，并进行了硬件实现。
通过实验验证，该算法可以准确地实现圆弧插补功能，并具有较高的计算速度和运行效率。
关键词：FPGA；圆弧插补；逐点比较算法1.引言在数控系统中，圆弧插补是一种常见的运动控制方式。
圆弧插补可以实现工件在空间中沿着预定的曲线轨迹移动，从而实现复杂的形状加工。
目前，圆弧插补算法主要有计算细分点的数学法和逐点比较法两种。
其中，逐点比较法是一种基于离散点的插值方式，具有较高的计算速度和运行效率。
本文将基于FPGA的逐点比较圆弧插补算法进行设计与实现。
2.圆弧插补算法原理圆弧插补是通过计算圆弧上一系列离散点的坐标，从而实现工件的平滑运动。
在逐点比较法中，圆弧插补算法主要包括以下几个步骤：（1）确定圆弧的起点、终点和中心点，并计算圆弧的半径；（2）根据离散点的间距，计算出圆弧的总点数；（3）计算圆弧上每个离散点的坐标，并保存在一个数据缓存区中；（4）将数据缓存区中的坐标输出。
3.算法设计（1）数据输入模块：接收圆弧的起点、终点和中心点坐标，并计算圆弧的半径；（2）总点数计算模块：根据离散点的间距，计算出圆弧的总点数；（3）坐标计算模块：根据圆弧的起点、终点、中心点和总点数，计算出每个离散点的坐标，并保存在一个数据缓存区中；（4）数据输出模块：将数据缓存区中的坐标输出。
4.硬件实现本文采用Xilinx FPGA作为硬件开发平台，Verilog HDL作为硬件描述语言。
根据设计的算法原理和模块设计，完成了逐点比较圆弧插补算法的硬件实现。
5.实验结果与分析通过对比实验，验证了基于FPGA的逐点比较圆弧插补算法的正确性和有效性。
与传统的数学法相比，该算法具有更高的计算速度和运行效率，适用于高性能的工业控制系统。
2--插补象限、圆弧走向处理以及逐点比较法合成进给速度
于是，X轴方向和Y轴方向的进给速度为
vx 60 f X
v
y
60
fY
刀具的合成进给速度为
v vx2 vy2 60 f X 2 fY 2
当刀具沿着平行于坐标轴的方向进行切削时，其进给速度最大，该速度 称为脉冲源进给速度。
vMF 60 fMF 60 ( f X fY ) vx vy
② |Y|=|Y|-1
② |X|=|X|-1 ② |Y|=|Y|+ 1
② |X|=|X|+1
Y SR3、NR4
N +Y -Y
Y SR2、NR3
N
+X
-X
Y SR2、NR1
N +Y -Y
Y SR1、NR4
N
+X
-X
∑= ∑-1
∑= 0
N
Y
结束
（三）圆弧过象限 直线只可能处于一个象限中，因此不存在过象限问题。但是圆弧有可能 跨越几个象限，这时需要在两象限的交接处做相应的处理，此即圆弧过象限 问题。 当圆弧过象限时，具有如下特点： ① 在过象限前后，动点坐标的符号会发生改变； ② 在过象限后，圆弧的走向不变。 逆圆弧过象限的顺序为：NR1 → NR2 → NR3 → NR4 → NR1 →• • • 顺圆弧过象限的顺序为：SR1 → SR4 → SR3 → SR2 → SR1 →• • • ③ 过象限圆弧与坐标轴必有交点，当动点处在坐标轴上时必有一个坐 标值为零。此点可以作为过象限的标志。 ④ 终点判别不能简单地直接使用前述的三种方法，否则将丢失一部分 圆弧轮廓。
Y （0，5）
（3，4） （4，3）
X （5，0）
第一象限顺圆弧的插补问题可转换为第一象限逆圆弧的插补问题，转换方 法如下。
(二)逐点比较法圆弧插补
(二)逐点比较法圆弧插补
逐点比较法圆弧插补是数控加工中常用的一种圆弧插补方法，其原理是通过逐点比较给定的圆弧路径与机床实际移动轨迹的差异，不断调整目标点的加工速度和轨迹实现精细的加工。
1.将给定的圆弧路径分割成若干个目标点，通常每隔一定距离取一个目标点。
2.根据目标点之间的距离和已知的转速，计算每个目标点的加工速度。
3.将目标点逐个输入数控系统，根据当前位置和目标点的位置计算运动轨迹和加工速度。
4.在运动过程中不断比较实际轨迹和目标轨迹之间的误差，根据误差大小调整加工速度，保证加工精度。
5.重复步骤3和4，直到完成整个圆弧的加工。
逐点比较法圆弧插补的优点是在加工过程中能够动态地调整加工速度，避免加工误差的累积。
同时，它对系统精度要求不高，能够适应各种数控系统。
不过，逐点比较法圆弧插补的缺点也是比较明显的。
由于每个目标点的加工速度独立计算，导致加工过程中产生了较大的速度变化，容易引起加工表面的纹路和不良的表面质量。
因此，在实际应用中，需要根据加工要求和机床精度选择合适的加工方法，并进行适当的加工优化。
逐点比较法课程设计--逐点比较法第一二象限的顺圆插补
****学院课程设计说明书设计题目：逐点比较法第一二象限的顺圆插补系部：机电工程系专业：自动化（数控技术）班级：姓名：学号：指导老师：起止时间：年月日至年月日共周年月日目录一、课程设计的目的 (3)二、课程设计的任务 (3)三、逐点比较法基本原理 (4)四、逐点比较法插补软件流程图 (8)五、算法描述（在VB中的具体实现） (9)六、编写算法程序清单 (9)七、软件运行仿真效果 (12)八、参考文献 (15)九、设计小结 (15)逐点比较法第一二象限的顺圆插补一、课程设计的目的1)了解连续轨迹控制数控系统的组成原理。
2) 掌握逐点比较法插补的基本原理。
3）掌握逐点比较法插补的软件实现方法。
二、课程设计的任务逐点比较法插补是最简单的脉冲增量式插补算法之一，其过程清晰，速度平稳，但一般只用于一个平面内两个坐标轴的插补运算。
其基本原理是在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小偏差的方向进给，且只有一个方向的进给。
也就是说，逐点比较法每一步均要比较加工点瞬时坐标与规定零件轮廓之间的距离，依此决定下一步的走向。
如果加工点走到轮廓外面去了，则下一步要朝着轮廓内部走；如果加工点处在轮廓的内部，则下一步要向轮廓外面走，以缩小偏差，这样周而复始，直至全部结束，从而获得一个非常接近于数控加工程序规定轮廓的轨迹。
逐点比较法插补过程中的每进给一步都要经过偏差判别、坐标进给、偏差计算和终点判别四个节拍的处理，其工作流程图如图所示。
三、基本原理（1）逐点比较法I 象限顺圆插补基本原理在加工圆弧过程中，人们很容易联想到使用动点到圆心的距离与该圆弧的名义半径进行比较来反映加工偏差。
假设被加工零件的轮廓为第Ⅰ象限顺走向圆弧SE ，，圆心在O （0，0），半径为R ，起点为S （X S ，Y S ），终点为E （X e ，Y e ），圆弧上任意加工动点为N （X i ，Y i ）。
逐点比较法圆弧插补原理PPT课件
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2）闭环数控系统 3）半闭环数控系统
全闭环数控系统的位置采样点如图的虚线所示 半闭环数控系统的位置采样点如图的实线所示
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2. 按照刀具的运动轨迹分类 1)点位控制数控系统 2）直线切削数控系统 3）轮廓控制数控系统
3. 按功能水平分类 1）高级型数控系统 3)经济型数控系统
(11)字符图形显示功能
(12)通信与通信协议
(13)自诊断功能
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2.2 CNC系统的构成及工作原理
2.2.1 数控系统的组成
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1.微机部分 2.速度控制单元和位置检测单元 3.机床逻辑控制部分 4.机床控制I/O接口 5.外部设备 6.程序即软件
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2.2.2 数控系统的硬件结构
单微处理器CNC的结构特点： （1）CNC装置内只有一个主微处理器，对信息存储、 插补运算、I/O控制、CRT显示等功能的实行集中控制分 时处理的原则 ； （2）微处理器与存储器、I/O等接口电路相连是 通过总线进行连接的。
（3）结构简单，实现容易。
（4）CNC装置一般是专用型的，不具备通用性。
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其原理是：计算机在控制加工过程中，每次仅向一个坐 标轴输出一个进给脉冲，控制该坐标轴进给一步，每走一步 都要将加工点的瞬时坐标与理论的加工轨迹相比较，从而控 制下一步的坐标进给方向，按规定图形加工出所需工件。其 进给是步进式的，每走一步要完成四个节拍：
（1）偏差判别
（2）坐标进给
（3）新偏差计算
（4）终点判别
总之，CNC系统由软件和硬件组成，硬件为软件的运 行提供了支持环境。
逐点比较法第一象限直线圆弧插补
逐点比较法第一象限直线，圆弧插补编程逐点比较法是以折线来逼近给定的轨迹，就是每走一步控制系统都要将加工点与给定的图形轨迹相比较，以决定下一步进给的方向，使之逼近加工轨迹。
逐点比较法以折线来逼近直线或圆弧，其最大的偏差不超过一个最小设定单位。
只要将脉冲当量取得足够小，就可以达到精度要求。
逐点比较插补法在脉冲当量为0.01mm，系统进给速度小于3000mm/min时，能很好的满足要求。
一、逐点比较法直线插补如下图所示设直线 oA 为第一象限的直线，起点为坐标原点o (0 ， 0) ，终点坐标为， A( ) ， P() 为加工点。
若 P 点正好处在直线 oA 上，由相似三角形关系则有即点在直线 oA 上方 ( 严格为直线 oA 与 y 轴正向所包围的区域 ) ，则有即若 P 点在直线 oA 下方 ( 严格为直线 oA 与 x 轴正向所包围的区域 ) ，则有图 3 — 1 逐点比较法第一象限直线插补即令则有：①如，则点 P 在直线 oA 上，既可向 +x 方向进给一步，也可向 +y 方向进给一步；②如，则点 P 在直线 oA 上方，应向 +x 方向进给一步，以逼近oA 直线；③如，则点 P 在直线 oA 下方，应向 +y 方向进给一步，以逼近 oA 直线一般将及视为一类情况，即时，都向 +x 方向进给一步。
当两方向所走的步数与终点坐标相等时，停止插补。
这即逐点比较法直线插补的原理。
对第一象限直线 oA 从起点 ( 即坐标原点 ) 出发，当 F 时， +x 向走一步；当 F<0 时，y 向走一步。
特点：每一步都需计算偏差，这样的计算比较麻烦。
递推的方法计算偏差：每走一步后新的加工点的偏差用前一点的加工偏差递推出来。
采用递推方法，必须知道开始加工点的偏差，而开始加工点正是直线的起点，故。
下面推导其递推公式。
设在加工点 P( ) 处，，则应沿 +x 方向进给一步，此时新加工点的坐标值为新加工点的偏差为即若在加工点 P( ) 处，，则应沿 +y 方向进给一步，此时新加工点的坐标值为，新加工点的偏差为即综上所述，逐点比较法直线插补每走一步都要完成四个步骤 ( 节拍 ) ，即：(1) 位置判别根据偏差值大于零、等于零、小于零确定当前加工点的位置。
01-3.逐点比较法圆弧插补
O
如此走一步，算一步，直至 终点。
A F≥0 SR1
F<0 B X
图5-11 顺圆弧插补
机电工程学院
下面推导第一象限顺圆SR1偏差计算递推公式
当Fi≥0，动点Pi(Xi，Yi)应向－Y向进给，新的动点坐 标为(Xi＋1,Yi＋1)，且Xi＋1＝Xi，Yi＋1＝Yi－1，则新点的 偏差值为：
Fi1 X i12 Yi12 R 2 ＝(Xi 1 )2 Yi 2 R2
经整理得偏差计算递推公式：
Fi1 Fi 2Ｘi 1
机电工程学院
进给后新点的偏差计算公式除与前一点偏差 值有关外，还与动点坐标有关，动点坐标值随着 插补的进行是变化的，所以在圆弧插补的同时， 还必须修正新的动点坐标。
N←N -1
N N＝0
Y 结束
机电工程学院
例: 现欲加工第一象限顺圆弧AB，如下图所示，起点A（0，4），终 点B（4，0），试用逐点比较法进行插补。
Y
4 A(0,4) 3
2
1
B(4,0)
O 1 2 34
X
图5-12 圆弧插补实例
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步数 起点
1 2 3 4 5 6 7 8
偏差判别
F 0=0 F 1<0 F 2<0 F 3<0 F 4>0 F 5<0 F 6>0 F 7>0
机电工程学院
步数
起点
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
偏差判别
F0，0=0 F1，0＜0 F1，1＜0 F1，2＜0 F1，3＜0 F1，4＞0 F2，4＜0 F2，5＞0 F3，5＜0 F3，6＞0 F4，6＞0 F5，6＞0
逐点比较法圆弧插补原理
逐点比较法圆弧插补原理逐点比较法的基本原理是，在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小偏差的方向进给（始终只有一个方向）。
一般地，逐点比较法插补过程有四个处理节拍，如图４－１：（１）偏差判别。
判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏差状况；（２）坐标进给。
根据偏差状况，控制相应坐标轴进给一步，使加工点向被加工轮廓靠拢；（３）重新计算偏差。
刀具进给一步后，坐标点位置发生了变化，应按偏差计算公式计算新位置的偏差值；（４）终点判别。
若已经插补到终点，则返回监控，否则重复以上过程。
图4-1处理节拍圆弧插补图4-4为第一象限逆圆，现分析其插补规律。
刀尖点位置不外乎３种情况：轮廓线外面（点Ａ），轮廓线上（Ｂ点），轮廓线里面（点Ｃ）。
显然，在点Ａ处，为使刀尖点向轮廓圆弧靠拢，应－Ｘ向走一步；Ｃ点处，应＋Ｙ向走一步；至于Ｂ点，看来两个方向均可以，但考虑汇编编程时的方便，现规定往－Ｘ向走一步。
Ａ（Ｘ，Ｙ）点处有：Ｘ2 2 Ｘ2＋Y2－R2＞0Ｂ（Ｘ，Ｙ）点处有：Ｘ2 2 Ｘ2＋Y2－R2＝0Ｃ（Ｘ，Ｙ）点处有：Ｘ2＋Y2＜Ｘ2＋Y2－R2＜0原始的偏差计算公式为：Ｆ＝Ｘ2＋Y2－R2（Ｘ，Ｙ为当前插补点动态坐标）。
图4-4第一象限逆圆插补规律图4-5逐点比较法第一象限逆圆插补软件框图显然，Ｆ＜0时，须＋Y向走一步；Ｆ≥0时，须－Ｘ向走一步。
为方便汇编编程和提高计算速度，对偏差Ｆ的计算公式加以简化：插补点位于Ａ、Ｂ点时，走完下一步（－Ｘ）：动态坐标变为（Ｘ＝Ｘ－１，Ｙ＝Ｙ），新偏差变为Ｆ＝（Ｘ－１）2＋Y2－R2＝Ｆ－２Ｘ＋１。
它比公式Ｆ＝Ｘ2＋Y2－R2计算要方便很多。
插补点位于Ｃ点时，走完下一步（＋Ｙ）：动态坐标变为（Ｘ＝Ｘ，Ｙ＝Ｙ＋１），新偏差变为Ｆ＝Ｘ2＋(Y+1)2－R2=Ｆ＋２Ｙ＋１。
因此，走完－Ｘ后：偏差计算公式为Ｆ＝Ｆ－２Ｘ＋１，动态坐标修正为Ｘ＝Ｘ－１；走完＋Ｙ后：偏差计算公式为Ｆ＝Ｆ＋２Ｙ＋１，动态坐标修正为Ｙ＝Ｙ＋１。
第三章插补原理及控制方法
及
控
终点判别
N
终点？
制
方
法
结束
25
二、逐点比较法圆弧插补---其它象限
y
F>0
y
F>0
第
F<0
F<0
三 章
o
x
o
x
插
补
原
理
逆圆
顺圆
及 控
各象限插补进给方向， 各象限插补进给方向，远
制
远离原点坐标值加一接 离原点坐标值加一，接近
方
近原点坐标值减一。
原点坐标值减一。
法
26
作业
试推导逐点比较法第一象限顺圆弧 第 插补的递推公式，并画出程序流程图。
逐点比较插补计算法（简称逐点比较法）
第
三 章
数字积分插补计算法（简称数字积分法）
插 时间分割插补计算法（简称时间分割法）
补
原
理 及
样条插补计算方法等。
控
制
方
法
2
3-1 逐点比较法插补
逐点比较插补计算法（简称逐点比
第 较法）又称区域判别法。
三
章
其原理是：计算机在控制加工轨迹过
插 程中逐点计算和判断加工偏差以控制坐
章
当M点在直线上时， + Δ X
y
插 补
(αi= α)
原
M (x i y j )
A
理
及 控
tg αi= tg α
制
方 法
αi
oα
x
6
其中 tg αi= y j / xi
tgα= y e / x e
tg αi -tgα= y j / xi - y e / x e
逐点比较法圆弧插补
数控技术课程讲课方案 / 讲稿逐点比较法圆弧插补教师姓名：杨丽梅学院（部、中心）：机电工程学院教研室∕实验室：机电教研室联系电话：2009年7月长春工业大学课程教案∕讲稿用纸讲授内容讲课方案∕备注逐点比较法圆弧插补重点内容：掌握什么是逐点比较法及逐点比较法在圆弧插补中的应用。
难点内容：逐点比较法插补在顺圆弧和逆圆弧插补中的差异。
讲课内容共分为四部分：一、逐点比较法1、逐点比较法的基根源理：每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步都要经过误差函数计算，判断误差点的瞬时坐标同规定加工轨迹之间的误差，今后决定下一步的进给方向。
逐点比较法又称为代数运算法或醉步法，是我国早期数控机床中广泛采用的一种方法。
2、逐点比较法的应用：可用于直线插补、圆弧插补和其他曲线的插补。
3、逐点比较法的特点：运算直观、插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出均匀，调治方便。
二、逐点比较法圆弧插补1、加工点与圆弧之间的关系（1）点在圆弧上；（2）点位于圆弧外；（3）点位于圆弧内。
图 1 加工点与圆弧的关系加工点与圆弧的关系如图 1 所示。
2、误差函数构造如图 1 所示，若加工半径为R 的圆弧 AB ，将坐标原点定在圆心上，如右图所示。
对于任意加工点P i ( X i ,Y i ) ，其误差函数 F i可表示为：F i X i2Y i2R2（1）（1）若F i0 ，表示加工点位于圆上；（2）若（3）若F i0 ，表示加工点位于圆内；F i0 ，表示加工点位于圆外；3、误差函数的递推计算为了对（ 1）式进行简化计算，需采用递推式（或迭代式）。
以第一象限圆弧为例，对误差函数进行推导。
第一象限的圆弧分为顺圆弧和逆圆弧，即有顺圆弧和逆圆弧插补两种方式。
（1）逆圆弧插补若 F i0 ，规定向X 方向走一步，有X i1X i1（2）F i 1 ( X i 1) 2Y i2R2F i 2 X i 1若 F i 0，规定向Y方向走一步，有Y i 1 Y i1（3）Fi 1X2(Y 1)2R2Fi2Y 1i i i（2）顺圆弧插补若 F i0 ，规定向Y 方向走一步，有Y i1Y i 1（4）F i 1 X i2(Y i1)2R2F i 2Y i 1若 F i 0，规定向X方向走一步，有X i1X i1（5）Fi 1( Xi1) 2Y2R2Fi2 Xi1i4、终点鉴识终点鉴识可采用以下两种方法：（1）判断插补或进给的总步数：N X a X b Y a Y b（6）（2）分别判断各坐标轴的进給步数：N x X a X b（7）N Y Y a Y b三、逐点比较法圆弧插补举例已知第一象限内的圆弧AB ，起点 A(4,0) ，终点 B(0,4) ，如图2所示。
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2.2 CNC系统的构成及工作原理
2.2.1 数控系统的组成
1.微机部分 2.速度控制单元和位置检测单元 3.机床逻辑控制部分 4.机床控制I/O接口 5.外部设备 6.程序即软件
2.2.2 数控系统的硬件结构
1.根据组成CNC系统的电路板常见的结构特点来分： 大板式结构和模块化结构 1）大板式结构。主CPU和各轴的位置控制电路集成 到一块大的印刷电路板上 ，如图2-4所示。
需要注意的是，某些CNC装置虽然有两个以上的微 处理器，但其中只有一个微处理器能够控制系统总线， 与其他微处理器组成主从结构，故它们也归于单微处理 器结构中， 单微处理器CNC的结构特点： （1）CNC装置内只有一个主微处理器，对信息存储、 插补运算、I/O控制、CRT显示等功能的实行பைடு நூலகம்中控制分 时处理的原则 ； （2）微处理器与存储器、I/O等接口电路相连是 通过总线进行连接的。 （3）结构简单，实现容易。 （4）CNC装置一般是专用型的，不具备通用性。
每一个硬软件模块形成一个特定的功能单元，称为 功能模块。 模块化结构的特点是：其是一种基于总线的开放性 系统，CNC系统可以如堆积木式地组成，设计简单， 柔性好，有良好的适应性和扩展性，试制周期短、调 整维护方便、效率高。
2.根据所采用的处理器结构形式分为单处理器结构和 多处理器结构 1）单处理器结构
2.1.4
数控系统主要技术指标
(1)控制轴数和联动轴数 (2)插补功能 (3) 脉冲当量（分辨率)、定位精度和重复精度 (4)行程和插补范围 (5) 主轴转速、进给速度 (6)准备功能(G功能) (7)辅助功能(M功能） (8)刀具管理和刀具补偿 (9)自动加减速控制 (10)机床顺序控制接口 (11)字符图形显示功能 (12)通信与通信协议 (13)自诊断功能
经济型数控机床一般都采用开环数控系统。
2）闭环数控系统
3）半闭环数控系统
全闭环数控系统的位置采样点如图的虚线所示 半闭环数控系统的位置采样点如图的实线所示
2. 按照刀具的运动轨迹分类 1)点位控制数控系统 3）轮廓控制数控系统 3. 按功能水平分类 1）高级型数控系统 3)经济型数控系统 2)普及型数控系统 2）直线切削数控系统
第 2章
数控机床控制系统
数控系统： 将利用数控技术进行信息处理并用以控 制机床完成机床动作和零件加工过程的系统称为数控
系统。
2.1 2.2 2.3 2.4 数控系统概述 CNC系统的构成及工作原理 数控系统的插补原理 数控系统的可编程控制器（PLC）
2.5 数控机床常用的数控系统
2.1 数控系统概述
2）多处理器结构
该种结构的CNC装置中有两个或两个以上的微处理 器，且各微处理器之间互不隶属。多微处理器结构的 CNC装置多为模块化结构，通常采用共享总线和共享存 储器两种典型结构实现模块间的互联与通信
微处理器CNC装置的基本功能模块一般由六种功 能模块组成，通过增加相应的功能模块，可实现一些特 殊功能。这六种基本功能模块为：
（1）微处理器。微处理器CPU是CNC装置的核心。
（2）总线。总线是由赋予了一定信号意义的一组物 理导线。按信号的物理意义，可分为数据总线、地址总 线、控制总线三组。
（3）存储器。存储器的作用是用于存放数据、参数和 程序等。 （4）MDI/CRT接口。 （5）位置控制模块。 （6）可编程控制器。替代传统机床强电继电器逻辑 控制，利用逻辑运算实现各种开关量的控制。 （7）I/O (输入/输出)接口 （8）通信接口。
大板式结构的特点是：结构紧凑、体积小、 可靠性高、价格低、有很高的性能/价格比， 也便于机床的一体化设计。缺点是硬件功能不 易变动，不利于组织生产。
2）模块化结构
模块化结构就是将微处理机、存储器、输入输出控 制分别做成插件板或将微处理机、存储器、输入、输 出控制组成独立微计算机级的硬件模块，相应的软件 也是模块结构，固化在硬件模块中。
2.1.1 数控系统的发展历程
2.1.2 数控系统的发展趋势
1. 向高速高精度方向发展 5. 小型化
2. 向多轴联动和功能复合方向发展 6. 向网络化方向发展 3. 智能化 4. 提高可靠性 7. 向开放式系统发展 8. 重视标准化工作
2.1.3
数控系统的分类
1. 按照所用进给伺服系统的类型分类
1）开环数控系统
3.预处理程序。 预处理程序有三个任务，即刀具半径补偿，速度计算 （即根据合成速度算出各轴的分速度）以及辅助功能的处 理等。 4.插补程序 插补计算是CNC系统中最重要的计算工作之一。 5.位置（伺服）控制软件位置（伺服）控制软件的主要 功能是对插补值进行处理（取全值或取其半值），计算出 位置的命令值，同时读一次实际的反馈值，然后对命令值 与反馈值间进行比较，从而得出的差值，进而在对运动部 件的速度进行控制。
6．输出程序 其功能主要是：进行位置伺服控制。M，S，T辅助功能 的输出；进行丝杠螺距误差补偿；反向间隙补偿处理 。
7．管理程序 管理程序主要为数据输入、处理及切削加工过程服务的 各个程序均由管理程序进行调度。 8.诊断程序 完善的诊断程序可以迅速查明故障的类型和部位，减少 故障停机时间 总之，CNC系统由软件和硬件组成，硬件为软件的运 行提供了支持环境。
（1）CNC管理模块。 （3）位置控制模块。 （2）CNC插补模块。 （4）PLC模块。
（6）存储器模块。 （5）操作面板监控和显示模块。 多微处理器的结构特点：采用模块化结构，有良好 的适应性和扩展性；可靠性高；硬件易于组织规模生产； 性能价格比高。
2.2.3 数控系统的软件构成 管理软件：零件程序的输入、CNC输出、显示、诊 断和通信功能软件 控制软件：译码、刀具补偿、速度处理、插补运算 和位置控制等 1.输入程序。其功能有两个： 一是把零件程序从阅读机或键盘经相应的缓冲器 输入 到零件程序存储器； 二是将零件程序从零件程序存储器取出送入缓冲器。 2.译码程序 译码也就是从数控加工程序缓冲器或MDI缓冲器中 逐个读入字符，先识别出其中的文字码和数字码，然后 根据文字码所代表的功能，将后续数字码送到相应译码 结果缓冲器单元中。