关键路径.

a10=5
a11=5
9 a13=2 8
对于l（i）-e（i）=x，当x为0时，即没 有 时间余量，而这时活动 ai恰为关键路径上 的关键活动。 亦即满足条件： l（i）=e（i） 例如：上述AOE网中 A：a3 e（i）=5， l（i）=10，x=5 B：a10 e（i）=17，l（i）=17，x=0 其中B项的a10为关键活动，但A不是。
2 4 4 5 7 9 9 9
3 5 6 8
stack top 1
2
7 v4 v2 v6 v3 v5 v1
bottom
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 4 5 7 9 9 9
3 5 6 8
stack top 1
2
7 v4 v2 v6 v3 v5 v1
bottom
13
13 17 17 19 17 22
16
15 17 17 19 20 22
3
2 0 0 0 3 0 √ √ √ √
由上表选出ai=0活动序列
• a2，a4，a6，a9，a10，a11，a13
该活动序列决定的路径即为上 述AOE网的关键路径。
Βιβλιοθήκη Baidu
该工程AEO网的关键路径
4 1 a2=7 3
a4=6 a6=4 7 a9=2 5
（2）求得各活动的e（），l（）表
j a1 a2 a3 1 1 2 k 2 3 4 e 0 0 5 l 5 0 10 l-e 5 0 5 √
a4
a5 a6
3
3 4
4
5 5
7
7 13
14
14 13
7
7 0 √
a7
a8 a9 a10 a11 a12 a13
4
4 5 5 7 6 8
6
7 7 8 9 9 9
（3）关键活动：关键路径上的所有活动。 例如： 上述AOE网中，v1为源点，v9为汇点； 〈v1，v3，v4，v5，v7，v9〉为一条关键 路径（不唯一但长度一定）； a1，a3，a4为关键活动。 （4）最早发生时间：AOE网中，从源点v1 到任意vi的最长路径长度，叫事件vi的最 早发生时间。由该时间决定了所有以vi为 尾的弧所表示的活动的最早开始时间。
• 求ve（i）的公式：
ve（1）=0
ve（j）=max{ve（i）+dut（〈i，j〉）}
i
j
• 求vl（i）的公式：
vl（n）=vl（n） vl（j）=min{vl（j）-dut（〈i，j〉）} i
j
由以上工作可求得ve（i），vl（i）
Ve（i） 0
7 5 V1 V3 V2 0 7 10
13
三、求关键路径的步骤
1、从源点 v1开始，计算各事件的ve（i） ，令 ve（1）=0，按拓扑有序求其余各顶点的ve（i） （2≤i ≤ n）。如果得到的拓扑有序序列中 顶点个数小于网中顶点数 n ，则说明该网中存 在回路，不能求关键路径，算法终止；否则继 续执行步骤（2）
2、 、从汇点vn开始，计算各事件的vl（i） ，令 vl（n）=ve（n），按拓扑逆序求其余各顶点的 vl（i）（1 ≤ i≤ n-1）。
^
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4 4 5
3
^
stack top
1
2
5 6
^ 7 ^
5
6
5
6
7
9 ^
8
^
7
8
7
8
9
9
^
^
9
9
^
bottom
V1
其中stack 1用于拓扑排序，2用于拓扑逆序
1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 7 6 7 8 9 ^
2 4 4 5 8 9 9 9
17 17 22 19
V4
V6 V5 V8 V7
13
20 17 22 19
Vl（i）
24
v9
24
3、据ve，vl的值求活动的e（s）、l （s），找e（s）=l（s）的活动
（1）可由公式 e（i）=ve（j） ai的 l（i）=vl（k）-dut（〈j，k〉） 求得 。 示意图： ai=？ j k
（5）在不推迟整个工程完成的前提下，ai 的最迟必须开始进行的时间，称活动ai的 最迟开始时间。 ================================= 对（4），（5）的变量描述设为： e（i）：活动ai的最早开始时间 l（i） ：活动ai的最迟开始时间 l（i）-e（i）：活动ai的时间余量
AOE网的相关术语
（1）AOE网：在带权的有向图中，用顶点 表示事件，弧表示活动，权表示活动持 续的时间，这样组成的网。（又称边表 示活动的网） （2）关键路径： 一工程中某些子活动并 行进行的情况下，从源点到汇点最长路 径的长度，即该路径上所有活动持续时 间之和，就是完成整个工程所需最少时 间。称从源点到汇点具有最大长度的路 径为关键路径。
2
7
v7 v8 v5 v6 v4 v2 v3 bottom v9 v1
经过拓扑排序（借助stack 1）得到如下拓扑 序列： v1，v3，v2，v4，v6，v5，v8，v7，v9
而拓扑逆序（借助stack 2）为： v9，v7，v8，v5，v6，v4，v2，v3，v1
2、按拓扑有序求其余各顶点的ve（i）
3、根据各事件的ve和 vl值，求每个活动的e（s） 和l（s），满足e（s）=l（s）条件的所有活动 即关键活动。
四、上述AOE网求关键路径的 算法演示
1、根据三中的步骤建立如下邻接表： 1 1 2 3 ^ 2 2 4 ^ 3 3 4 5 ^ 4 4 5 6 7 5 5 7 8 ^ 6 6 9 ^ 7 7 9 ^ 8 8 9 ^ 9 9 ^
l（i）=vl（k）-dut（〈j，k〉
例如：上述AOE网中
活动a3由弧〈2，4〉表示，a3的e（3），l（3） 计算如下 e（3）=ve（2）=5 l（3）=vl（4）-dut（〈2，4〉）=13-3=10
2）其中ve（j）与vl（j）采用递推方法求得： （a）ve（1）=0 ve（j）=max{ve（i）+dut（〈i，j〉）} 〈i，j〉∈T，2≤j ≤ n 其中T是所有以j为弧头的弧的集合。 （b）vl（n）=ve（n） vl（i）=min{vl（j）-dut（〈i，j〉）} 〈i，j〉 ∈S，1 ≤ i ≤ n-1 其中S是所有以i为弧尾的弧的集合。
二、在AOE网中求关键活动
1、方法： 1）计算AOE网中各活动的e（i），l（i） 2）找出e（i）=l（i）的活动。 2、为求所做如下工作： 1）设活动ai由弧〈j，k〉表示，持续时间 dut（〈j，k〉）事件的最早开始时间为 ve（j），最迟开始时间为vl（j）：则有
e（i）=ve（j） ai 的
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 4 5 7 9 9 9 3 5 6 8 stack top
2
7
bottom
v5 v6 v4 v2 v8 v3 v7 v1
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 4 5 7 9 9 9 3 5 6 8 stack top
3 ^ 5 ^ 6 ^ ^ ^ ^
top
7 ^
v3 bottom v2 v1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 4 5 7 9 9 9
3 5 6 8
stack top
1
2
7
v2 v3 bottom v4 v1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
关 键 路 径
内容梗概
一、AOE网及其基本术语； 二、在AOE网中求关键活动； 三、求关键路径的基本步骤； 四、算法演示。
一、一个工程的AOE网
a3=3
2 4
a7=4
6
a1=5 1 a2=7
3
a4=6 a8=4 a11=5 a12=4 a6=4 7 9 a9=2 a13=2 5 8 a5=3 a10=5