2020届吉林省示范高中(四平一中、梅河口五中、白城一中等)高三第四次模拟考试数学(文)试题(解析版)
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故选：D.
【点睛】
本题主要考查求古典概型的概率，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.
7．已知二次函数 在 上单调递减，则 ， 应满足的约束条件为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由二次函数在 上单调递减，得开口向下，对称轴小于等于1，可得答案.
【详解】
解：因为 在 上单调递减，
所以 ，且 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查正四棱锥的体积的计算，关键就是根据题意得出该正四棱锥的底面边长和高，考查计算能力，属于基础题.
三、双空题
16．已知函数 为偶函数，函数 ，则 ______；若 对 恒成立，则 的取值范围为______.
【答案】1
【解析】由已知条件，利用函数奇偶性的性质可得 为奇函数，进而根据奇函数的定义求得 ；将题中不等式分离参数为 ，构造函数 ，利用导数求得其最小值，根据不等式恒成立的意义得到 的取值范围为 .
设 ， ，∵ ，∴ ，
联立 ，可得 ，
∴ ，∴ ，即 的斜率为定值.
（2）解：设直线 的方程为 ， ， .
由（1）知， ，即 .
【点睛】
此题考查算法和程序框图的循环结构，考查计算能力，属于基础题.
10． ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边.已知 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据正弦定理，先得到 ，再由基本不等式，即可求出结果.
【详解】
∵ ，
∴ ，∴ ，即 .
∵ ，∴ ，
当且仅当 时，等号成立，∴ ，故 的最小值为 .
【详解】
（1）因为 在 内的频率为 ，
所以 在 内的 ，
故频率分布直方图补充完整如图所示.
（2）这100天中空气质量等级为优的天数为 ，
空气质量等级为良的天数为 .
（3）依题意，可得 在 的频率等于 在 的频率，
因为 在 内的频率为0.6， 在 内的频率为0.4，
所以 ，
则 ，
解得 .
【点睛】
本题考查频率直方图，涉及频率直方图的性质，频率和频数的计算，属基础题.
A．①③B．①③④
C．②④D．①②③④
【答案】B
【解析】利用线面垂直的性质定理可判断①；求出四面体 的外接球的球心 为线段 的中点，利用球的表面积公式可判断②；利用面面垂直的判定定理以及线面垂直的性质定理可判断③；利用锥体的体积公式即可判断④.
【详解】
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，且 ，又 ，所以四边形 为直角梯形.
15．《九章算术》中有这样一个问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？”其意思是：今有一个正四棱锥，其下底边长为 丈 尺（ 丈 尺），高为 丈 尺，则其体积为______立方尺.
【答案】
【解析】根据题意得出该正四棱锥的高与底面边长，然后利用锥体的体积公式可计算得出结果.
【详解】
因为该正四棱锥的底边长为 尺，高为 尺，所以其体积为 立方尺.
【点睛】
本题考查了线面垂直的性质定理、面面垂直的判定定理、球的表面积公式、锥体的体积公式，属于中档题.
二、填空题
13．设向量 ， ，若 ， ， 三点共线，则 ______.
【答案】-4
【解析】由 ， ， 三点共线，可得 ，从而由共线向量的性质列方程可求出 的值.
【详解】
解：因为 ， ， 三点共线，
所以 ，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查正弦定理解三角形，熟记正弦定理以及基本不等式即可，属于常考题型.
11．已知椭圆 的焦点为 ， ，其中 ， 的长轴长为 ，过 的直线与 交于 ， 两点.若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，利用椭圆的定义进行转化求解.
【详解】
依题意可设椭圆 的方程为 ，连接 ，如图所示.
【点睛】
本题考查利用双曲线的离心率求参数，同时也考查了双曲线虚轴长的求解，考查计算能力，属于基础题.
4．已知函数 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】
因为 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查求对数函数值，以及对数的运算，熟记对数运算法则即可，属于基础题型.
2020届吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）高三第四次模拟考试数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先化简集合 ，再求交集，即可得出结果.
【详解】
因为 ， ,
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.
由题意， ，则 ，又 ，得 ，由椭圆定义得 ，则 ，所以 ，故 .
【点睛】
本题考查椭圆的定义和标准方程，属基础题，关键是利用椭圆的定义进行转化.
12．已知 平面 ， 平面 ， ， ， ， ，现有下述四个结论：①四边形 为直角梯形；②四面体 的外接球的表面积为 ；③平面 平面 ；④四面体 与四面体 的公共部分的体积为 .其中所有正确结论的编号是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，确定总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数之比即为所求概率.
【详解】
甲下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站，关东店站，东大桥路口西站、神路街站，乙下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站、关东店站、东大桥路口西站.
所以甲、乙下车的所有情况共有 种，
依题意可得，四面体 的外接球的球心 为线段 的中点，
因为 ， ，所以 ，
所以球 的表面积为 .
由 平面 ，则 ， ，且
可证 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 .
设 ，则四面体 与四面体 的公共部分为四面体 .
过 作 于 ，则 ，所以 ，
所以四面体 的体积为 .
故所有正确结论的编号是①③④.
故选：B
（3）若这100天中， 在 的天数与 在 的天数相等，估计 的值.
【答案】（1）直方图见解析；（2）20，40；（3）75.
【解析】（1）根据总频率和为1求得 在 内的频率，进而计算 的值，即可将直方图补充完整；（2）先求得相关频率，即可得到所求天数；（3）依题意，可得 在 的频率等于 在 的频率，可得到 ，从而列式求得 的值.
所以 .
故选：D
【点睛】
此题考查二次函数的性质，属于基础题.
8．设函数 在 上的值域为 ，则 的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据 范围得到 ，结合余弦函数图像可得 的范围，进而得出结果.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，解得 .
故选：A
【点睛】
本题考查根据余弦函数在某一区间的值域求解参数范围问题，关键是能够结合余弦函数图像确定角的范围.
5．若通过10组数据 得到 关于 的线性回归方程为 ，且 ， ，则 （）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】根据回归直线方程必过样本中心点即可求出参数的值.
【详解】
解：因为 ， ，
因为回归直线方程 必过样本中心点
所以 ，即 .
故选：C
【点睛】
本题考查回归直线方程的性质的应用，属于基础题.
6．北京公交101路是北京最早的无轨电车之一，最早可追溯至1957年.游客甲与乙同时从红庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的101路公交车，甲将在朝阳门外站之前的任意一站下车，乙将在神路街站之前的任意一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（）
【详解】
（1）由 ，得 ，
则 或 .
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 .
（2）因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，
所以 的取值范围为 .
【点睛】
此题考查了等差数列的基本量计算，考查分类思想，考查了等比数列的前 项和公式，考查了计算能力，属于基础题.
19．如图，在正三棱柱 中， 为 的中点， 为棱 上一点，且 .
故 .
【点睛】
此题考查了证明线面垂直和求三棱锥的体积，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.
20．直线 过点 且与抛物线 交于 ， （ ， 都在 轴同侧）两点，过 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， .
（1）若 ， ，证明： 的斜率为定值.
（2）若 ，设 的面积为 ，梯形 的面积为 ，是否存在正整数 ，使 成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
因为 ， ，
所以 .
故答案为：-4
【点睛】
此题考查共线向量的性质，属于基础题.
14．若 ，则 ______.
【答案】2
【解析】根据两角和的正切公式，代入已知条件，即可求解.
【详解】
由 ，
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要两角和的正切函数公式的应用，其中解答中熟记两角和的正切公式，正确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1.
【解析】（1）设出直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，消去x,根据已知条件，利用韦达定理求得k的值为定值；（2）设直线 的方程为 ，利用判别式大于零得到 ，利用点到直线的距离和两点间距离公式，求得 ，得到取值范围，进而求得整数 的值.
【详解】
（1）证明：依题意可设直线 的方程为 ，
9．执行如图所示的程序框图，则输出的 （）
A． B． C．3D．-3
【答案】A
【解析】由算法和程序框图的循环结构依次计算即可得答案.
【详解】
解：第1次， ， 成立，则 ， ；
第2次， 成立，则 ， ；
第3次， 成立，则 ， ；
第4次， 成立，则 ， ，
第5次， 成立， ， .
不成立，所以输出的 .
故选：A
【详解】
因为 为奇函数， 为偶函数，
所以 为奇函数，
∴ ，所以 ，则 .
因为 对 恒成立，
所以 对 恒成立.
设函数 ，则 ，
显然 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ；当 时， .
从而可得 ，
故 的取值范围为 .
故答案为：1； .
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，利用导数求不等式恒成立中的参数取值范围问题，难度中等，关键是分离参数，构造函数并利用导数求函数的最值.
2．若 ， ，则（）
A． 的实部为1B．
C． 的虚部为1D．
【答案】B
【解析】利用已知条件分别计算 和 可得答案.
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ，所以 的实部与虚部分别为5，-1，所以A,C选项错误
因为 ，所以 ，所以B正确，
故选：B
【点睛】
此题考查复数的加法、乘法运算，复数的有关概率，属于基础题.
【详解】
（1）证明：因为 为 的中点， ，所以 .
在正三棱柱 中， 底面 ，则 ，
因为 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
又 ， ，所以 平面 .
（2）解：由（1）知， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 ∽ ，则 ，
所以 .
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
其中甲比乙后下车的情况有：
乙在小庄路口东站下车，甲可以在呼家楼西站，关东店站，东大桥路口西站、神路街站下车；
乙在呼家楼西站下车，甲可以在关东店站，东大桥路口西站、神路街站下车；
乙在关东店站下车，甲可以在东大桥路口西站、神路街站下车；
乙在东大桥路口西站下车，甲可以在神路街站下车；
共有10种.
故甲比乙后下车的概率为 .
3．若双曲线 的离心率为 ，则 的虚轴长为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据双曲线的标准方程得出 、 、 ，结合双曲线的离心率公式可得出关于 的等式，进而可得出双曲线 的虚轴长.
【详解】
由题意可知，双曲线 的焦点在 轴上，则 ， ， ，
因为 ，所以 ，则 ，故双曲线 的虚轴长为 .
故选：B.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）由等腰三角形三线合一的性质可得 ，由正三棱柱的性质可得 ，从而可得 平面 ，则 ，而 ，所以由线垂直的判定定理可得 平面 ；
（2）先利用 ∽ ，求ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ，由 平面 ，得 到平面 的距离等于 到平面 的距离，所以 ，从而可求得结果.
18．已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 .
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ， ，求数列 的前10项和 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由 ，得 ，可求出 的值，再结公差 可求出 ，进而可求出数列 的通项公式；
（2）由 结合（1）中求出的 ，可得 ，由 可求出 ，利用等比数列的前 项和公式求出 ，从而可求出其范围.
四、解答题
17．世界各国越来越关注环境保护问题，某检测点连续100天监视空气质量指数（ ），将这100天的 数据分为五组，各组对应的区间分别为 ， ， ， ， ，并绘制出如图所示的不完整的频率分布直方图.
（1）请将频率分布直方图补充完整；
（2）已知空气质量指数 在 内的空气质量等级为优，在 内的空气质量等级为良，分别求这100天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数；
【点睛】
本题主要考查求古典概型的概率，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.
7．已知二次函数 在 上单调递减，则 ， 应满足的约束条件为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由二次函数在 上单调递减，得开口向下，对称轴小于等于1，可得答案.
【详解】
解：因为 在 上单调递减，
所以 ，且 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查正四棱锥的体积的计算，关键就是根据题意得出该正四棱锥的底面边长和高，考查计算能力，属于基础题.
三、双空题
16．已知函数 为偶函数，函数 ，则 ______；若 对 恒成立，则 的取值范围为______.
【答案】1
【解析】由已知条件，利用函数奇偶性的性质可得 为奇函数，进而根据奇函数的定义求得 ；将题中不等式分离参数为 ，构造函数 ，利用导数求得其最小值，根据不等式恒成立的意义得到 的取值范围为 .
设 ， ，∵ ，∴ ，
联立 ，可得 ，
∴ ，∴ ，即 的斜率为定值.
（2）解：设直线 的方程为 ， ， .
由（1）知， ，即 .
【点睛】
此题考查算法和程序框图的循环结构，考查计算能力，属于基础题.
10． ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边.已知 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据正弦定理，先得到 ，再由基本不等式，即可求出结果.
【详解】
∵ ，
∴ ，∴ ，即 .
∵ ，∴ ，
当且仅当 时，等号成立，∴ ，故 的最小值为 .
【详解】
（1）因为 在 内的频率为 ，
所以 在 内的 ，
故频率分布直方图补充完整如图所示.
（2）这100天中空气质量等级为优的天数为 ，
空气质量等级为良的天数为 .
（3）依题意，可得 在 的频率等于 在 的频率，
因为 在 内的频率为0.6， 在 内的频率为0.4，
所以 ，
则 ，
解得 .
【点睛】
本题考查频率直方图，涉及频率直方图的性质，频率和频数的计算，属基础题.
A．①③B．①③④
C．②④D．①②③④
【答案】B
【解析】利用线面垂直的性质定理可判断①；求出四面体 的外接球的球心 为线段 的中点，利用球的表面积公式可判断②；利用面面垂直的判定定理以及线面垂直的性质定理可判断③；利用锥体的体积公式即可判断④.
【详解】
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，且 ，又 ，所以四边形 为直角梯形.
15．《九章算术》中有这样一个问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？”其意思是：今有一个正四棱锥，其下底边长为 丈 尺（ 丈 尺），高为 丈 尺，则其体积为______立方尺.
【答案】
【解析】根据题意得出该正四棱锥的高与底面边长，然后利用锥体的体积公式可计算得出结果.
【详解】
因为该正四棱锥的底边长为 尺，高为 尺，所以其体积为 立方尺.
【点睛】
本题考查了线面垂直的性质定理、面面垂直的判定定理、球的表面积公式、锥体的体积公式，属于中档题.
二、填空题
13．设向量 ， ，若 ， ， 三点共线，则 ______.
【答案】-4
【解析】由 ， ， 三点共线，可得 ，从而由共线向量的性质列方程可求出 的值.
【详解】
解：因为 ， ， 三点共线，
所以 ，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查正弦定理解三角形，熟记正弦定理以及基本不等式即可，属于常考题型.
11．已知椭圆 的焦点为 ， ，其中 ， 的长轴长为 ，过 的直线与 交于 ， 两点.若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，利用椭圆的定义进行转化求解.
【详解】
依题意可设椭圆 的方程为 ，连接 ，如图所示.
【点睛】
本题考查利用双曲线的离心率求参数，同时也考查了双曲线虚轴长的求解，考查计算能力，属于基础题.
4．已知函数 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】
因为 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查求对数函数值，以及对数的运算，熟记对数运算法则即可，属于基础题型.
2020届吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）高三第四次模拟考试数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先化简集合 ，再求交集，即可得出结果.
【详解】
因为 ， ,
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.
由题意， ，则 ，又 ，得 ，由椭圆定义得 ，则 ，所以 ，故 .
【点睛】
本题考查椭圆的定义和标准方程，属基础题，关键是利用椭圆的定义进行转化.
12．已知 平面 ， 平面 ， ， ， ， ，现有下述四个结论：①四边形 为直角梯形；②四面体 的外接球的表面积为 ；③平面 平面 ；④四面体 与四面体 的公共部分的体积为 .其中所有正确结论的编号是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，确定总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数之比即为所求概率.
【详解】
甲下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站，关东店站，东大桥路口西站、神路街站，乙下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站、关东店站、东大桥路口西站.
所以甲、乙下车的所有情况共有 种，
依题意可得，四面体 的外接球的球心 为线段 的中点，
因为 ， ，所以 ，
所以球 的表面积为 .
由 平面 ，则 ， ，且
可证 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 .
设 ，则四面体 与四面体 的公共部分为四面体 .
过 作 于 ，则 ，所以 ，
所以四面体 的体积为 .
故所有正确结论的编号是①③④.
故选：B
（3）若这100天中， 在 的天数与 在 的天数相等，估计 的值.
【答案】（1）直方图见解析；（2）20，40；（3）75.
【解析】（1）根据总频率和为1求得 在 内的频率，进而计算 的值，即可将直方图补充完整；（2）先求得相关频率，即可得到所求天数；（3）依题意，可得 在 的频率等于 在 的频率，可得到 ，从而列式求得 的值.
所以 .
故选：D
【点睛】
此题考查二次函数的性质，属于基础题.
8．设函数 在 上的值域为 ，则 的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据 范围得到 ，结合余弦函数图像可得 的范围，进而得出结果.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，解得 .
故选：A
【点睛】
本题考查根据余弦函数在某一区间的值域求解参数范围问题，关键是能够结合余弦函数图像确定角的范围.
5．若通过10组数据 得到 关于 的线性回归方程为 ，且 ， ，则 （）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】根据回归直线方程必过样本中心点即可求出参数的值.
【详解】
解：因为 ， ，
因为回归直线方程 必过样本中心点
所以 ，即 .
故选：C
【点睛】
本题考查回归直线方程的性质的应用，属于基础题.
6．北京公交101路是北京最早的无轨电车之一，最早可追溯至1957年.游客甲与乙同时从红庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的101路公交车，甲将在朝阳门外站之前的任意一站下车，乙将在神路街站之前的任意一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（）
【详解】
（1）由 ，得 ，
则 或 .
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 .
（2）因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，
所以 的取值范围为 .
【点睛】
此题考查了等差数列的基本量计算，考查分类思想，考查了等比数列的前 项和公式，考查了计算能力，属于基础题.
19．如图，在正三棱柱 中， 为 的中点， 为棱 上一点，且 .
故 .
【点睛】
此题考查了证明线面垂直和求三棱锥的体积，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.
20．直线 过点 且与抛物线 交于 ， （ ， 都在 轴同侧）两点，过 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， .
（1）若 ， ，证明： 的斜率为定值.
（2）若 ，设 的面积为 ，梯形 的面积为 ，是否存在正整数 ，使 成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
因为 ， ，
所以 .
故答案为：-4
【点睛】
此题考查共线向量的性质，属于基础题.
14．若 ，则 ______.
【答案】2
【解析】根据两角和的正切公式，代入已知条件，即可求解.
【详解】
由 ，
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要两角和的正切函数公式的应用，其中解答中熟记两角和的正切公式，正确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1.
【解析】（1）设出直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，消去x,根据已知条件，利用韦达定理求得k的值为定值；（2）设直线 的方程为 ，利用判别式大于零得到 ，利用点到直线的距离和两点间距离公式，求得 ，得到取值范围，进而求得整数 的值.
【详解】
（1）证明：依题意可设直线 的方程为 ，
9．执行如图所示的程序框图，则输出的 （）
A． B． C．3D．-3
【答案】A
【解析】由算法和程序框图的循环结构依次计算即可得答案.
【详解】
解：第1次， ， 成立，则 ， ；
第2次， 成立，则 ， ；
第3次， 成立，则 ， ；
第4次， 成立，则 ， ，
第5次， 成立， ， .
不成立，所以输出的 .
故选：A
【详解】
因为 为奇函数， 为偶函数，
所以 为奇函数，
∴ ，所以 ，则 .
因为 对 恒成立，
所以 对 恒成立.
设函数 ，则 ，
显然 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ；当 时， .
从而可得 ，
故 的取值范围为 .
故答案为：1； .
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，利用导数求不等式恒成立中的参数取值范围问题，难度中等，关键是分离参数，构造函数并利用导数求函数的最值.
2．若 ， ，则（）
A． 的实部为1B．
C． 的虚部为1D．
【答案】B
【解析】利用已知条件分别计算 和 可得答案.
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ，所以 的实部与虚部分别为5，-1，所以A,C选项错误
因为 ，所以 ，所以B正确，
故选：B
【点睛】
此题考查复数的加法、乘法运算，复数的有关概率，属于基础题.
【详解】
（1）证明：因为 为 的中点， ，所以 .
在正三棱柱 中， 底面 ，则 ，
因为 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
又 ， ，所以 平面 .
（2）解：由（1）知， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 ∽ ，则 ，
所以 .
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
其中甲比乙后下车的情况有：
乙在小庄路口东站下车，甲可以在呼家楼西站，关东店站，东大桥路口西站、神路街站下车；
乙在呼家楼西站下车，甲可以在关东店站，东大桥路口西站、神路街站下车；
乙在关东店站下车，甲可以在东大桥路口西站、神路街站下车；
乙在东大桥路口西站下车，甲可以在神路街站下车；
共有10种.
故甲比乙后下车的概率为 .
3．若双曲线 的离心率为 ，则 的虚轴长为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据双曲线的标准方程得出 、 、 ，结合双曲线的离心率公式可得出关于 的等式，进而可得出双曲线 的虚轴长.
【详解】
由题意可知，双曲线 的焦点在 轴上，则 ， ， ，
因为 ，所以 ，则 ，故双曲线 的虚轴长为 .
故选：B.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）由等腰三角形三线合一的性质可得 ，由正三棱柱的性质可得 ，从而可得 平面 ，则 ，而 ，所以由线垂直的判定定理可得 平面 ；
（2）先利用 ∽ ，求ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ，由 平面 ，得 到平面 的距离等于 到平面 的距离，所以 ，从而可求得结果.
18．已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 .
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ， ，求数列 的前10项和 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由 ，得 ，可求出 的值，再结公差 可求出 ，进而可求出数列 的通项公式；
（2）由 结合（1）中求出的 ，可得 ，由 可求出 ，利用等比数列的前 项和公式求出 ，从而可求出其范围.
四、解答题
17．世界各国越来越关注环境保护问题，某检测点连续100天监视空气质量指数（ ），将这100天的 数据分为五组，各组对应的区间分别为 ， ， ， ， ，并绘制出如图所示的不完整的频率分布直方图.
（1）请将频率分布直方图补充完整；
（2）已知空气质量指数 在 内的空气质量等级为优，在 内的空气质量等级为良，分别求这100天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数；