立体几何存在性问题

立体几何中的存在性问题

1、如图,已知直三棱柱111ABC A B C -,90ACB ∠=o ,E 就是棱1CC 上动点,F 就是AB 中点 ,2==BC AC ,41=AA 、

(Ⅰ)求证:CF ⊥平面1ABB ;

(Ⅱ)当E 就是棱1CC 中点时,求证:CF ∥平面1AEB ;

(Ⅲ)在棱1CC 上就是否存在点E ,使得二面角1A EB B --

的大小就是45o ,若存在,求CE 的长,若不存在,请 说明理由、

2、如图,在底面就是正方形的四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥面ABCD,BD 交AC 于点E,F 就

是PC 中点,G 为AC 上一点。 (Ⅰ)求证:BD ⊥FG;

(Ⅱ)确定点G 在线段AC 上的位置,使FG//平面PBD,并说明理由;

(Ⅲ)当二面角B-PC-D 的大小为

23

π

时,求PC 与底面ABCD 所成角的正切值。 3、在四棱锥P ABCD -中,侧面PCD ⊥底面

ABCD ,PD CD ⊥,E 为PC 中点,底面ABCD 就是直角梯

形,//AB CD ,90ADC ∠=o ,1AB AD PD ===,2CD =、

(Ⅰ)求证://BE 平面PAD ; (Ⅱ)求证:BC ⊥平面PBD ;

(Ⅲ)设Q 为侧棱PC 上一点,PQ PC λ=u u u r u u u r ,试确定λ的值,使得二面角Q BD P

--为45o

4、如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA C C ⊥底面

ABC ,11

2,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点、 (Ⅰ)证明:1A O ⊥平面ABC ;

G

F

E A

A

B

C

D E

P

(Ⅱ)求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值;

(Ⅲ)在1BC 上就是否存在一点E ,使得//OE 平面1A AB ,若不存在,说明理由;若存在,确

定点E 的位置、

5、如图,棱锥P —ABCD 的底面ABCD 就是矩形,PA ⊥平面ABCD ,PA =AD =2,BD =22、 (Ⅰ)求证:BD PAC ⊥平面; (Ⅱ)求二面角B PD C --的余弦值; (III)在线段PD 上就是否存在一点Q ,使

CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为

9

6

2,若存在,指出点Q 的位置,若不存在,说明理由、

6、如图,四棱锥

,,P ABCD AB AD CD AD PA ABCD -⊥⊥⊥中,底面,

22PA AD CD AB ====,M PC 为的中点、

(1)求证:BM PAD 平面P ;

(2)在侧面PAD 内找一点N

,使MN PBD ⊥平面

7、如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1⊥面ABC,BC ⊥AC,BC=AC=2,AA 1=3,D 为AC 的中点、 (Ⅰ)求证:AB 1//面BDC 1;

(Ⅱ)在侧棱AA 1上就是否存在点P,使得

CP ⊥面BDC 1？并证明您的结论、

8、 如图,四棱锥P —ABCD 中,AB ⊥AD ,CD ⊥AD ,PA ⊥底面ABCD ,PA = AD = CD = 2AB = 2,M 为PC 的中点、 (1)求证:BM ∥平面PAD ;

1

A B

C

O A 1

B 1

C D

P

A

B

C

A C 1

B C 1

(2)平面PAD 内就是否存在一点N ,使MN ⊥平面PBD ？ 若存在,确定N 的位置,若不存在,说明理由;

9、直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的三视图如图所示,D 、E 分别为棱CC 1与B 1C 1的中点。 (1)求点B 到平面A 1C 1CA 的距离;

(2)在AC 上就是否存在一点F,使EF ⊥平面A 1BD,若存在确定其位置,若不存在,说明理

由、

10、如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,且

//AD BC ,90ABC PAD ∠=∠=︒,侧面PAD ⊥底面ABCD 、 若

1

2

PA AB BC AD ===、

(Ⅰ)求证:CD ⊥平面PAC ;

(Ⅱ)侧棱PA 上就是否存在点E ,使得//BE 平面PCD 明,若不存在,请说明理由;

11、如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,4,5,4,31====AA AB BC AC 、

(Ⅰ)求证:1BC AC ⊥;(Ⅱ)在AB 上就是否存在点D ,使得1AC ∥平面1CDB ,若存在,试给出证明;若不存在,请说明理由、

12、如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA C C ⊥底面ABC ,

11

2,AA AC AC AB BC ====,且AB BC ⊥,O 为AC 中点、 ①

证明:1A O ⊥平面ABC ;

(2)在1BC 上就是否存在一点E ,使得//OE 平面1A AB 若不存

在,说明理由;若存在,确定点E 的位置、

A B

P

C

D

1

A 1

B 1

C

N

C 1

B 1

M C

B A

13、已知某几何体的直观图与三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形、 (I)证明:BN⊥平面C 1B 1N;

(II)M 为AB 中点,在线段CB 上就是否存在一点P,使得MP∥平面CNB 1,若存在,求出BP 的长;若不存在,请说明理由、

左视图

正视图

44

4

8

14、如图:在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 就是菱形,

60,ABC PA ∠=︒⊥平面ABCD,点,M N 分别为,BC PA 的中点,且2==AB PA 、

(1)证明:BC ⊥平面AMN ;(2)求三棱锥AMC N -的体积;

(3)在线段PD 上就是否存在一点E,使得//NM 平面ACE ;若存在,求出PE 的长;若不存在,说明理由、

15、已知菱形ABCD 中,AB =4,

60BAD ∠=o (如图1所示),将菱形ABCD

沿对角

线BD 翻折,使点C 翻折到点1C 的位置(如图2所

示),点E ,F ,M 分别就是AB ,DC 1,BC 1的中点. (Ⅰ)证明:BD //平面EMF ; (Ⅱ)证明:1AC BD ⊥;

(Ⅲ)当EF AB ⊥时,求线段AC 1 的长. N P A

D

A

B

C

D

图1

M F

E

A

B

C 1D

图2