自动控制原理课件6第六节脉冲响应函数

第六节 脉冲响应函数
Sunday, April 15, 2012
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脉冲函数
脉冲响应函数表示零初始条件时，线性系统对理想单位脉 冲输入信号的响应。它也是线性系统的数学模型。 ① 理想单位脉冲函数： ∞ 0, t ≠ 0 [定义]：δ (t ) = ，且 ∫ δ (t )dt = 1，其积分面积为1。 −∞ ∞, t = 0 出现在 t = τ 时刻，积分面积为A的理想脉冲函数定义如下： ∞ 0, t ≠ τ Aδ (t − τ )dt = A δ (t) δ (t −τ ) Aδ (t − τ ) = 且 ∫−∞ ∞, t = τ 0 τ 实际单位脉冲函数：
以下讨论线性控制系统在单位脉冲δ (t ) 作用下的输出响 应g(t)，称为脉冲响应函数。
Q L[δ (t )] = 1,∴Y ( s ) = 1× G ( s ),
y (t ) = L−1[Y ( s )] = L−1[G ( s )] = g (t ) 故：
从上式可以看出，g(t)是系统的脉冲响应函数，它等于 系统传递函数的拉氏反变换。g(t)与G(s)有一一对应的关系。 g(t)也是线性控制系统的数学模型。 [例2-16]：设系统的脉冲响应函数是 g (t ) = 4e 1 − t 4 8 2 [解]： ( s ) = L[ g (t )] = L[4e ] = G = 1 2s + 1 s+ 2
1 − t 2
，求G(s)。
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用脉冲响应函数表示输出
我们还可以不证明地表示出：利用脉冲响应函数，可以 求出在任何输入x(t)下的输出y(t)。
y (t ) = ∫ x(τ ) g (t − τ )dτ 或 y (t ) = ∫0 g (τ ) x(t − τ )dτ 0
∴ h(t ) = ∫ g (t )dt
0
∞
& 或g (t ) = h(t )
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小结
脉冲响应函数； 脉冲响应函数与传递函数之间的关系； 单位阶跃函数； 脉冲响应函数和单位阶跃函数之间的关系。
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作业： 2-1(d), 2-2(a), 2-4, 2-6, 2-9, 2-10, 2-11, 2-13, 2-14(d)(e)
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② 单位阶跃响应函数：
单位阶跃响应函数也是线性控制系统的一种数学模型。 它是在单位阶跃函数1(t)的作用下的输出响应h(t).
1 X ( s ) = L[ x ( t )] = L[1( t )] = s 1 y 则输出： ( s ) = G ( s ), s −1 −1 1 单位阶跃响应函数： (t ) = L [Y ( s )] = L [ G ( s )] h s
式中，g(t)是脉冲响应函数，上述两式称为卷积。
∞
∞
y 表示为： (t ) = x (t ) * g (t ) = g (t ) * x(t )
回忆拉氏变换的卷积定理，有L[y(t)]=L[x(t)*g(t)]，所以： Y(s)=X(s)G(s)
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单位阶跃响应函数
0, t < 0 x(t ) = 1(t ) = 1, t ≥ 0
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③ 脉冲响应函数和单位阶跃响应函数 之间的关系：
g (t ) = L−1[G ( s )], h(t ) = L−1[G ( s ) / s ]
根据积分定理：当零初值时，有
G ( s) -1 G(s) L[ ∫ g (t )dt ] = , 即L [ ] = ∫ g (t )dt s s
0, t < 0 和 t > ∆ δ ∆ (t ) = 1 , , 0<t <∆ ∆
1 δ ∆(t )dt = ∆ × = 1, ∆ ∫− ∞ ∆
0
∞
1
δ ∆ (t )
δ 当∆ → 0时， ∆ (t ) = δ (t )
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