matlab常微分方程和常微分方程组求解方法

dx1 x2 , x1 (0) 1 dt dx2 7(1 x 2 ) x x , x (0) 0 1 2 1 2 dt
接着，编写 vdp.m 如下： function fy=vdp(t,x) fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]; 再编写 m 文件 sy12_6.m 如下： y0=[1;0] [t,x]=ode45(@vdp,[0,40],y0); y=x(:,1);dy=x(:,2); plot(t,y,t,dy)
dy 1 例 1： 求解常微分方程 dx x y 的 MATLAB 程序为： dsolve('Dy=1/(x+y)','x')，
注意，系统缺省的自变量为 t，因此这里要把自变量写明。 结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1 其中：Y=lambertw(X)表示函数关系 Y*exp(Y)=X。
[X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy- x-3*y=exp(2*t)','t')
dy dx 2x 10 cos t , x t 0 2 dt dt dx dy 2 y 4e2t , y 0 t 0 dt dt 例 4： 求常微分方程组 通解的 MATLAB 程序
结果为： x= 0,0.0400,0.0900,0.1400,0.1900,0.2400,0.2900,0.3400,0.3900,0.4400,0.4900,0.5000 y= 1.0000,0.9247,0.8434,0.7754,0.7199,0.6764,0.6440,0.6222,0.6105,0.6084,0.6154,0.6 179
常微分方程和常微分方程组的求解
一、实验目的： 熟悉 Matlab 软件中关于求解常微分方程和常微分方程组的各种命令，掌握 利用 Matlab 软件进行常微分方程和常微分方程组的求解。 二、相关知识 在 MATLAB 中，由函数 dsolve()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体 格式如下： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数 dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通 解，如果有初始条件，则求出特解。
3
说明 大部分场合的首选算 法 使用于精度较低的情 形 计算时间比 ode45 短 适度刚性情形 若 ode45 失效时， 可尝试使用 当精度较低时， 计算时间比 ode15s 短
一步算法， 2,3 阶 Runge-Kutta ode23 非刚性 方法累积截断误差 (x)
3
多步法， Adams 算法， 高低精 ode113 ode23t ode15s ode23s 非刚性 适度刚性 刚性 刚性
d2y dy (1 y 2 ) y 0, y(0) 1, y '(0) 0 2 dt 例 6：求解常微分方程 dt 的解，并画
出解的图形。 分析：这是一个二阶非线性方程，用现成的方法均不能求解，但我们可以通 过下面的变换，将二阶方程化为一阶方程组，即可求解。
dy x2 x y dt ， 7 ，则得到： 令： 1 ，
y ' f (t , y) 。
solver 为命令 ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb 之 一，这些命令各有特点。我们列表说明如下： 求解 器 ode45 ODE 类型 特点 一步算法， 4,5 阶 Runge-Kutta 非刚性 方法累积截断误差 (x)
为：
[X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2','y(0)=0' ) 以上这些都是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解。但是， 我们知道，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法 求出其解析解， 此时， 我们需要寻求方程的数值解， 在求常微分方程数值解方面， MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为 solver，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 该函数表示在区间 tspan=[t0,tf]上，用初始条件 y0 求解显式常微分方程
3 6 度均可达到 10 ~ 10
采用梯形算法 多步法，Gear’s 反向 数值积分，精度中等 一步法， 2 阶 Rosebrock 算法， 低精度。
odefun 为显式常微分方程 y ' f (t , y) 中的 f (t , y) tspan 为求解区间，要获得问题在其他指定点 t0 , t1 , t2 ,
并做出解函数的曲线图。 6．完成实验报告。
三、实验内容
dy 3y 8 y 1．利用 MATLAB 求常微分方程的初值问题 dx ， x 0 2 的解。
2 2． 利用 MATLAB 求常微分方程的初值问题 (1 x ) y '' 2 xy ' ，y x 0 1 ，y ' x 0 3
的解。
(4) 3．利用 MATLAB 求常微分方程 y 2 y ''' y '' 0 的解。
dy dx 2 4 x y et , dt dt dx 3x y 0, dt 4．利用 MATLAB 求常微分方程组
x t 0
3 2
y t 0 0
的特解。
Leabharlann Baidu
2 5． 求解常微分方程 y '' 2(1 y ) y ' y 0 ，0 x 30 ， y(0) 1 ，y '(0) 0 的特解，
tspan [t0 , t1 , t2 , , t f ] （要求 ti 单调），
上的解，则令
y0 初始条件。
2 例 5：求解常微分方程 y ' 2 y 2 x 2 x ，0 x 0.5 ， y(0) 1 的 MATLAB
程序如下：fun=inline('-2*y+2*x*x+2*x')；[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1)
2 例 2：求解常微分方程 yy '' y ' 0 的 MATLAB 程序为：
Y2=dsolve('y*D2y- Dy^2=0’,’x’) 结果为： Y2 =[ exp((x+C2)/C1)] [ C2] 我们看到有两个解，其中一个是常数。
dx 5 x y et dt dy x 3 y e 2t dt 例 3：求常微分方程组 通解的 MATLAB 程序为：