最新导数与微分练习题 (2)
高等数学测试题二(导数、微分)答案及解析
高等数学测试题（二）导数、微分部分答案及解析一、选择题（每小题4分，共20分）1、设函数0()102x f x x ≠=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（ B ）A 不连续B 连续但不可导C 二阶可导D 仅一阶可导 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ C ） A 1 B12 C 12eD 2e 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ B ） A 1 B2e C 2eD e 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()limx f a x f a x x→+--等于（ C ）A 0B ()f a 'C 2()f a 'D (2)f a '5、设函数()f x 可微，则当0x ∆→时，y dy ∆-与x ∆相比是（ ） A 等价无穷小 B 同阶非等价无穷小 C 低阶无穷小 D 高阶无穷小二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '= 02、 设函数()xf x xe =，则(0)f ''= 23、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01l i m()n n f x n→∞+= 4、 曲线228y x x =-+上点 处的切线平行于x 轴，点_____处的切线与x 轴正向的交角为4π。
x=1 23=x5、 d = x e dx - xe --三、解答题1、（7分）设函数()()(),()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续，求()f a ')()(')(')()()(')(')()()('a x )()()()(a a f a a a a a f x a x x x f x x a x x f ϕϕϕϕϕϕϕ=-+=-+==-=连续在又2、（7分）设函数()a a xa x a f x x a a=++，求()f x '设aa m = a x n = xat =aa a a aaxa xa x f t a a n a a mx x f a a x x f x a a x a at n m tn m xaa ln *ln ln )(')'(ln )'(ln )(')(111+++=++=++=---x a a x a aa a a aaxa xa x f xaa *ln ln )('211+++=--3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩ 在 6t π= 处的切线方程和法线方程∵sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩ ∴122+-=x y 6π=t 时 x=21 21=y14203242y'21x x4-y'=+-=-+-===y x y x 法线方程所以切线方程时当4、（7分）求由方程 1sin 02x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d ydx对x 求导0*cos 211=+-dxdyy dx dy y dxdy dxdy y cos 21111)1cos 21(-=-=- 在对x 求导3222)cos 211(sin 21)cos 211(sin 21y yy dx dy y dxy d --=--=6、（10分）设函数212()12x x f x ax b x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，适当选择,a b 的值，使得()f x 在12x =处可导 ∵()f x 在12x =处可导 ∴41221lim =→x xb a b ax x +=+→21lim21 4121=+b a 。
导数与微分练习题及解析
导数与微分练习题及解析在微积分学中，导数和微分是最基本的概念之一。
它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质，广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。
为了帮助你更好地理解导数和微分的概念，以下是一些练习题及其解析。
练习题1：求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
使用求导法则，对于多项式函数来说，可以将每一项的指数与系数相乘，并将指数减一，得到函数的导数。
f'(x) = 2x + 3接下来，我们计算x = 2处的导数值。
f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。
根据导数的定义，导数即为切线的斜率。
所以切线的斜率为m = 7。
将切点的坐标代入切线方程，我们可以得到b的值。
2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。
练习题2：求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。
解析：考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积，我们可以使用乘积法则来求导。
乘积法则的公式为：(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数，它们的导数分别为e^x和cos(x)。
根据乘积法则，我们可以将这两个导数与原函数进行组合，得到最终的导数为：f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3：求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
根据链式法则，可以分别计算外函数和内函数的导数。
设内函数为u = x^2 + 1，则内函数的导数为du/dx = 2x。
外函数为f(u) = ln(u)，则外函数的导数为df/du = 1/u。
根据链式法则，函数f(x)的导数为：f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来，我们计算函数f(x)的微分。
导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。
掌握函数的导数与微分练习题
掌握函数的导数与微分练习题函数的导数与微分是微积分的重要内容，对于学习者而言，掌握这一部分知识对于提高解题能力和理解数学概念非常重要。
本文将通过练习题的方式，帮助读者巩固对函数的导数与微分的理解，并培养解题的思维能力。
1. 求解下列函数的导数：(1) f(x) = 3x² - 2x + 1解答：f'(x) = 6x - 2(2) g(x) = 5sin(x) + 2cos(x)解答：g'(x) = 5cos(x) - 2sin(x)2. 对下列函数进行微分：(1) h(x) = x³ - 4x² + 2x解答：dh(x) = 3x² - 8x + 2(2) k(x) = 2e^x + 3ln(x)解答：dk(x) = 2e^x + 3/x3. 求解给定函数在指定点的导数：(1) y = 2x³，求导数在x=2处的值。
解答：y' = 6x²y'(2) = 6(2)² = 24(2) y = x^4 - 2x²，求导数在x=-1处的值。
解答：y' = 4x³ - 4xy'(-1) = 4(-1)³ - 4(-1) = -44. 求解给定函数的极值点：(1) y = x³ - 12x² + 36x解答：为求取极值点，先求导数：y' = 3x² - 24x + 36令y' = 0，求解方程得：x = 2 或 x = 6将以上两个x值代入原函数求y值得到极值点：当x=2时，y = 2³ - 12(2)² + 36(2) = 16 - 48 + 72 = 40当x=6时，y = 6³ - 12(6)² + 36(6) = 216 - 432 + 216 = 0因此，函数y = x³ - 12x² + 36x在x = 2处有极小值，极小值为40，在x = 6处有极大值，极大值为0。
高等数学第二章导数与微分习题
h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2
导数与微分(含答案)
第二单元 导数与微分一、基本题1、设()23f '=，则()()232limh f h f h h→--+=2、()cos x y e -=，则()0y '=3、3sin y x =，则dy =4、y =1|x dy ==5、()3ln f x x x =，则()1f ''=6、设()62ln 3x y e =+，则()8y =7、设()23sin 7n y x e -=+，则()n y =8、设210cos 2x y e x x =++，则()10y = ；()12y =9、设()()22f x x y ef e =+，则dy dx=10、曲线2x y e -=+在点0x =处的切线方程为 法线方程为 11、()()()()()123......10f x x x x x x =----，则()1f '= 12、()22,43f x y x xy y =-+，则()()1,1,limh f y h f y h→+-=13、ln 2y z x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,0z x ∂=∂ ；()1,0y f '=14、()zu xy =，则du = 15、2ln xz y=，则12x y dz ===16、yz x=在点()2,1处当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的z ∆= ；dz = 17、设233z x xy y =-+，则22z x∂=∂ ；22z y ∂=∂ ；2zy x ∂=∂∂18、22,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则x f '= ；y f '=19、一元函数可微、可导、连续、极限之间关系：可微可导是连续的 条件； 连续是极限存在的 条件 极限存在是连续的 条件； 连续是可微可导的 条件20、多元函数可微、可导（偏导数存在）、连续之间关系：（1）(),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点连续的 条件； (),f x y 在点(),x y 处连续是在该点可微分的 条件（2）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在是在该点处可微分的 条件； (),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点处两偏导数存在的 条件 （3）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在且连续是在该点处可微分的 条件（4）(),f x y 在点(),x y 处两二阶混合偏导22,z zx y y x∂∂∂∂∂∂连续 是该两混合偏导相等的 条件二、计算题1、xaaa x e y e e x =++ ()0,1a a >≠，求y ' 2、()3ln 32cos 2sin 332x x y e x x +=+-+，求(0)y '3、()2sin 2x y x =，求y ' 4、sin x y x =y '5、y =y ' 6、设ln tan x y arc t ⎧⎪=⎨=⎪⎩，求dy dx7、设sin cos t tx e ty e t⎧=⎨=⎩，求0t dy =8、设()ln(2)111x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，求()2f '-，()f x '9、设函数()22111x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在点1x =处可导，求,a b10、设()2135f x x x -=++，求()f x '11、设()3sin 2sin 3cos24f x x x =+-，求()f x '12、设()2cos 2z x x y =-，求22z x∂∂；22z y ∂∂；2zx y ∂∂∂13、设(),,sin u v z e u xy v x y +===+，求zx ∂∂；z y∂∂ 14、设()223x z x y =-，求zx ∂∂；z y∂∂ 15、设()2,cos 2,ln 32x y z e x t y t -===+，求dz dt16、函数()y y x =由方程：()1cos x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dy dx=17、设方程22220x z y z y ++=确定函数(),z z x y =，求zx ∂∂；z y∂∂ 18、设函数(),z z x y =由方程22xy z e z e -+-=所确定，求212x y dz==-19、设()22,y z xf xy g x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂；z y ∂∂三、证明题1、设()2arcsin 3y z xy x =+，证明：220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂ 2、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-，证明：1z zx y∂∂+=∂∂导数与微分答案二、基本题1、设()23f '=，则()()232limh f h f h h →--+=()4212f '-=-2、设()12f '=-，则()()11limh f f h h→-+=()12f '-=3、()cos x y e -=，则()0y '=sin14、3sin y x =，则233cos dy x x dx =5、()3ln f x x x =，则()15f ''=6、设()62ln 3x y e =+，则()824x y e =7、设()2sin 7n y x -=，则()49sin 7ny x =-8、设210cos 2x y e x x =++，则()10102101021022cos 21010!22cos 210!2x x y e x e x π⎛⎫=++⋅+=-+ ⎪⎝⎭ ；()12122121221222cos 21222cos 22x x y e x e x π⎛⎫=++⋅=+ ⎪⎝⎭9、设()()22f x x y e f e =+，则()()()222222f x x x dy xe f x xf e e dx''=⋅+⋅10、曲线2x y e -=+在点0x =处的切线方程为3y x =- 法线方程为3y x =+11、()()()()()123......10f x x x x x x =----，则()19!f '=-()()()()()123......10f x x x x x x =----⇒⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()123......10123......10f x x x x x x x x x x x '''=----+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()23......10123......10x x x x x x x x x '=---+----⇒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()11121311009!f '=⋅-⋅-⋅⋅⋅-+=-12、一元函数可微、可导、连续、极限之间关系：可微可导是连续的 充分 条件； 连续是极限存在的 充分 条件 极限存在是连续的 必要 条件； 连续是可微可导的必要 条件 13、()212y x x x x =-+-不可导点2x =-14、ln 2y z x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,01z x ∂=∂ ；()11,02y f '=15、()22,43f x y x xy y =-+，则()()()01,1,lim1,46y h f y h f y f y y h→+-'==-+16、2lnxz y=，则1212x y dz dx dy ===-17、设233z x xy y =-+，则222z x∂=∂ ；226z y y ∂=∂ ；23zy x ∂=-∂∂ 18、()z u xy =，则()()()()11ln z z zdu yz xy dx xz xy dy xy xy dz --=++19、yz x =在点()2,1处当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的()()2.1,1.22,10.0714z f f ∆=-= 21110.10.20.07542y dz dx dy dz x x =-+⇒=-⋅+⋅=20、22,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1212x f f xf y '''=+ ；1222y xf f yf y '''=--21、（1）(),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点连续的 充分 条件； (),f x y 在点(),x y 处连续是在该点可微分的 必要 条件（2）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在是在该点处可微分的 必要 条件； (),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点处两偏导数存在的 充分 条件 （3）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在且连续是在该点处可微分的 充分条件（4）(),f x y 在点(),x y 处两二阶混合偏导22,z zx y y x∂∂∂∂∂∂连续是该两混合偏导相等的 充分 条件22、曲线2cos 2sin 3x t y t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩上对应于6t π=处的切线方程213z x π-==- ， 法平面方程：()1302x y z π⎛⎫--+-+-= ⎪⎝⎭23、曲面27z e z xy -+=在点()2,3,0处的切平面方程()()()322310032120x y z x y z -+---=⇒+--= ， 法线方程 ：230231x y z ---==-二、计算题1、x a aa x e y e e x =++ ()0,1a a >≠，求y '【解】：()()111ln x a a x a a a x x a a e a x x a a e y e a e x e x e a a e ax e x ---'''=⋅+⋅+=⋅+⋅+2、()3ln 32cos 2sin 332xx y e x x +=+-+，求y ' 【解】：()()()33213323ln 32323cos 22sin 2032x xx x x y e x e x x ⋅⋅+-++'=-+-+ ()()33233ln 323cos 22sin 232x x x e x e x x -+=-++3、sin x y x =y ' 【解】：()1sin sin ln 223xx xy xex x ==++⇒()()1s i n l n22s i n 1c o s l n 3232x x x y e x x x x x x -⎛⎫'=⋅+++⋅+ ⎪⎝⎭4、()2sin 2x y x =，求y ' 【解】：()222lnsin 2lnsin 22cos 2sin 22ln sin 22sin 2x x xxxx y x e y e x x x x ⎛⎫'==⇒=+⋅⋅⎪⎝⎭ ()2l n s i n 222l n s i n 22c ot 2xx e x xx x =+⋅5、y =y ' 【解】：1）()()()()()21ln ln 1ln 13ln 5ln 1ln 212y x x x x x =+--++--+ 2）等式两边同时对x 求导()()212135211221221x y y x x xx x --'=-++-⇒+--+ ()()2213511122121x y y x xx x x ⎡⎤'=++--⎢⎥+--+⎣⎦()()2213511122121x x xx x x ⎡⎤=++--⎢⎥+--+⎣⎦6、函数()y y x =由方程：()1cos x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dydx =【解】：1）0x =时0y =2）()()()1cos sin x y x y e e xy e e y xy y xy ''''-+=⇒-⋅=-⋅+⎡⎤⎣⎦ ()0,0sin sin 01sin sin x x x y yy e y xy e y xyy y e x xy e x xy==++''=⇒==--7、求由方程：()()cos sin xyy x =所确定的函数()y y x =的导数dydx【解】：1）等式两边同时取对数()()ln cos ln sin x y y x = 2）等式两边同时对x 求导数：()()sin cos ln cos ln sin cos sin y xy x y y x y y x-''+⋅⋅=+⋅⇒ ()()ln cos cot ln sin tan y y xdy dx x x y -=+8、设ln tan x y arc t⎧⎪=⎨=⎪⎩，求dy dx【解】：1）()()2222121ln 12tan 1tan 1t t t x t x t x y arc t y arc t y t ⎧'=⎧⎪⎧+=+⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎩=⎩'=⎪+⎩2）1t t y dy dx x t'==' 9、设2323sin 10y x t t e t y ⎧=++⎨-+=⎩，求t dy dx =【解】：1）0t =时，1y =2) 6262cos sin cos 01sin t t y y yt t t y x t x t e t e y t e t y y e t '=+⎧'=+⎧⎪⇒⇒⎨⎨⋅''⋅+⋅-='=⎩⎪-⎩3）0,1cos cos 1sin 1sin 62622y y y yt t t y t e te ty dy dy e e t e t dx x t dxt ===⋅⋅'--==⇒=='++ 10、设()ln 111x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，求()2f '，()f x '【解】：1）()()()2212ln 2x x f f x x =='''===2）()()11ln x f x x f x x'>⇒=⇒=， ()()111x f x x f x '<⇒=-⇒= 1x =为分段点，且()1=ln1=0f ()()()111101lim lim 111x x f x f x f x x ---→→---'===--， ()()()()()()11111ln 01lim lim lim 11111111x x x f x f x x f f f f x x ++++-+→→→--''''====⇒=⇒=-- ()1111x f x xx ⎧>⎪'=⎨⎪≤⎩11、设函数()22111x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在点1x =处可导，求,a b【解】：1）可导必连续，故()()()()211112lim lim 1lim lim 11x x x x f x f x f ax b x -+-+→→→→==⇒=+=+ 即11a b b a +=⇒-=-2）因为可导，故()()()()()()111111lim lim 11x x f x f f x f f f x x -+-+→→--''=⇒=-- ()()()()221111211111lim lim lim lim 11111x x x x x x ax b ax a x a x x x x x -+-+→→→→--++--+=⇒==----+ 1,2a b =-=12、设()2135f x x x -=++，求()f x '【解】：1）()()()()()()22135131521325f x x x f x x x f x x x '-=++⇒=++++⇒=++=+ 13、设()3sin 2sin 3cos24f x x x =+-，求()f x '【解】：()()()3232sin 2sin 312sin 4261f x x x f x x x =+--⇒=-- ()2612f x x x '⇒=-14、设()2cos 2z x x y =-，求22z x∂∂；22z y ∂∂；2zx y ∂∂∂【解】：1）()()()()22222322cos 22sin 26sin 24cos 2z z x y x x y x x y x x y x x∂∂=---⇒=----∂∂2）()()22222sin 24cos 2z z x x y x x y y y ∂∂=-⇒=--∂∂3）()()22222sin 24cos 2zx y x x y x y∂=-+-∂∂15、设(),,sin u v z e u xy v x y +===+，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：()()()()()sin u v u v x x u v z z u z ve xy e x y x u x v x++∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅+∂∂∂∂∂()()()sin cos cos xy x y u v u v ye e x y y x y e ++++=+⋅+=++⎡⎤⎣⎦()()()()()sin u v u v y y u v z z u z ve xy e x y y u y v y++∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅+∂∂∂∂∂()()()sin cos cos xy x y u v u v xe e x y x x y e++++=+⋅+=++⎡⎤⎣⎦16、设()223x z x y =-，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：()()22ln 2323x x x y z x y e-=-=()()22ln 2322ln 2323x x y z x e x x y x x y -⎛⎫∂=⋅-+ ⎪∂-⎝⎭()212323x z x x y y -∂=--∂ ，17、设()2,cos 2,ln 32x y z e x t y t -===+，求dzdt【解】：()()()22cos2ln 32cos2ln 326ln 322sin 232t t t t t dz z ee t dt t -+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎛⎫=⇒=⋅-- ⎪+⎝⎭ 18、设方程22220x z y z y ++=确定函数(),z z x y =，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：1）()222,,2F x y z x z y z y =++2222,41,4x y z F xz F yz F x y z '''==+=+2）2224x z F z xz x F x y z '∂=-=-'∂+， 222414y z F z yz y F x y z '∂+=-=-'∂+19、设方程()222sin xy e y x y +=+确定函数()y y x =，求dy dx【解1】：()()()()()()22222s i n 2c o s 22x y x y e y x y e y x y y x y x y '''''+=+⇒⋅++=+⋅+()()22222cos 22cos xyxy x x y ye y xe y y x y +-'⇒=+-+ 【解2】：1）()()222,sin xy F x y e y x y =+-+ ()()22222cos ,22cos xy xy x y F ye x x y F xe y y x y ''=-+=+-+2）()()()()222222222cos 2cos 2cos 2cos xy xy x xy xy y ye x x y x x y ye F dy dx F xe y x y xe y x y -++-'=-=-='-+-+ 20、设函数(),z z x y =由方程22xy z e z e -+-=所确定，求212x y dz ==-【解】：1）(),,22xy z F x y z e z e -=+--， 12,12x y z ==-⇒= ,,2xy xy z x y z F ye F xe F e --'''=-=-=- 12,,12224xy x z x y z z F z ye z e x F e xe -==-='∂∂=-=⇒='∂-∂-， 12,,12222xy y z x y z z F z xe z e y F e y e -==-='∂∂=-=⇒='∂-∂- 2）2122242x y e e dzdx dy e e==-=+-- 21、设()22,y z xf xy g x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂；z y ∂∂ 【解】：1）()()1222z y f xy xyf xy xg g x x ∂'''=++-∂2）()21212z x f xy yg g y x∂'''=++∂三、证明题1、设()2arcsin 3y z xy x =+，证明：220z z x xy y x y∂∂-+=∂∂ 2、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-，证明：1z z x y ∂∂+=∂∂ 设()(),,2sin 2323F x y z x y z x y z =+---+。
导数与微分习题及答案
第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。
C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。
高中数学导数与微分练习题及参考答案2023
高中数学导数与微分练习题及参考答案2023一、选择题1.设y=(x-2)^2, 则y的导数为A. 2(x-2)B. (x-2)^2C. 2(x-2)^2D. 1/(x-2)2.已知函数f(x)=2x^3+x^2-4x, 则f'(2) =A. 2B. 20C. -8D. 283. 设f(x)=3x^(1/3)+2x^(-1/3), 则f'(x)=A. (6/x)^(1/3)B. (9/x^(2/3))C. (1/x^(4/3))D. 3(x^2/3)-2(x^-4/3)4. 若y=log_2(x^2+1), 则y''=A. [2(x^2+1)]/[ln2(x^2+1)^3]B. [2(x^2-1)]/[ln2(x^2+1)^3]C. [2(x^2+1)]/[ln2(x^2+1)^2(x^2-1)]D. [2(x^2-1)]/[ln2(x^2+1)^2(x^2+1)]5. 已知f(x)=5^x-3x, 则f'(log_53)=A. 2ln5-3/ln5B. 2ln5+3/ln5C. 2ln5-1/ln5D. 2ln5+1/ln5二、计算题1. 求函数y=4x^3-6x^2+2x的导数。
2. 已知函数f(x)=e^x/(x^2-4), 求f'(x)。
3. 已知y=sinx/x, 求y'(0)。
4. 若f(x)=x^3-3x^2+2, 求f(x)在x=2处的切线方程。
5. 求函数y=xlnx的导函数。
6. 求函数y=ln(x^2+1)的导函数。
7. 求直线y=2x-5与函数y=x^2-x+2的交点坐标。
8. 已知f(x)=xlnx, 求f''(x)。
三、应用题1. 筒形的长为20cm，半径为5cm，求其外表面积变化率和体积变化率，当半径增加0.05cm时，长增加0.1cm。
2. 一枚铜币的半径为3cm，厚度为0.2cm，求其体积在半径扩大到4cm时的变化率。
微积分导数测试题
微积分导数测试题1. 已知函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，求 f(x) 的导数 f'(x)。
解析:首先，我们需要确定函数 f(x) 是否可导。
对于多项式函数而言，它在定义域内均可导。
所以，函数 f(x) 可导。
然后，我们可以根据导数的定义来求导。
根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h。
将 f(x) = x^2 - 3x + 2 代入上述公式，得到：f'(x) = lim(h→0) [(x+h)^2 - 3(x+h) + 2 - (x^2 - 3x + 2)]/h。
化简上式，得到：f'(x) = lim(h→0) [x^2 + 2xh + h^2 - 3x - 3h + 2 - x^2 + 3x - 2]/h。
合并相同项，得到：f'(x) = lim(h→0) [2xh + h^2 - 3h]/h。
通过消去 h，得到：f'(x) = lim(h→0) [2x + h - 3].当 h 趋向于 0 时，上式中的 2x + h - 3 没有 h 的项，因此：f'(x) = 2x - 3。
所以，函数 f(x) 的导数为 f'(x) = 2x - 3。
2. 已知函数 g(x) = e^x + 2sin(x)，求 g(x) 的导数 g'(x)。
解析:函数 g(x) 是由指数函数和三角函数的和构成，我们可以使用求和规则和函数导数的定义来求导。
首先，e^x 的导数为 e^x，sin(x) 的导数为 cos(x)。
根据求导规则，我们可以得到：g'(x) = (e^x)' + (2sin(x))'.对于 (e^x)'，由于指数函数的导数仍为指数函数本身，我们有：(e^x)' = e^x。
对于 (2sin(x))'，使用求积规则，我们有：(2sin(x))' = 2(cos(x))。
第二章导数与微分练习题无答案
第二章导数与微分一、选择题1、设函数y=/(x)，当自变量X由％改变到与+Δx时，相应函数的该变量Ay=()。
A/(⅞+-)A/U o)+∆x C./(x0+∆x)-∕(x o)D./(X0)ΔΛ^2、若函数F(X)在点与处可导，则Iim/(1-Ay)-/("二()oΔκ->O ∖χA-Γ(x0)B.f(-x0)Cr(Xo)D2f(x0)∖-x i,x<∖3、设∕*)=13 ,则/(x)在X=I处的( )。
[x2,x>∖A.左、右导数都存在B.左导数存在、右导数不存在C.左导数不存在、右导数存在D.左、右导数都不存在4、函数/(x)在点/连续，是/(外在点与可导的( )oA必要不充分条件 B.充分不必要条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5、曲线y=2x3-5X2+4%一5在点(2,-1)处切线的斜率是( )。
A8 8.12C.-6 D.6'e ax x<06、若/(%)=《' " 在X=O处可导，则a/的值应为( )。
Z?+sin2x,x≥0A.a=2,b=↑B.a=l,b=2C.a=-2,b=XD.a=2,b=-∖7、若/(L)=X，贝∣J∕'(x)=()oXA-B.-- C.∖ D.--VXXX X8、设函数)=/(〃)是可导的，且〃=/，则◎=()。
dxA∕,(X2) B.√,(X2) C.2xf∖X1) D.x2f,(x2)9、若y=cosx,则yW )。
A.cos(x -------- )B.COS(X+——)C.cos( ------- x)2 2 210、曲线卜二sm∕在/=工处的切线方程为( )。
y=cos2， 4A2^^x-y-2=0 B.√2x-4γ-l=0C.2√2x+y-2=0D.√2x+4y-l=011、设函数y=y(x)由方程孙-e'+"=O所确定，则y'(0)=(AO B.1C.2D312、函数/（幻在某一点。
最新高等数学(同济第五版)第二章导数与微分-练习题册
第二章 导 数 与 微 分第 一 节 作 业一、填空题：1. 假定:,)('0按照导数定义存在x f.)()(lim )2(.)()(lim)1(000000=--+=∆-∆-→→∆h h x f h x f x x f x x f h x2. 设=⋅=',5322y xx x y 则 .3. 曲线y=e x 在点（0，1）处的切线方程为 .4. 已知物体的运动规律为 s=t 3（米），则这物体在t=2（秒）时的速度为 . 二、选择题（单选）：1. 设f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)…(x+100)，则f’(1)的值等于： （A ）101！； （B ）100!101-； （C ）-100； （D ）.99!100 答：（ ）.1)(;1)(;21)(;0)(:)0(',0,00,1)(.22-⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-D C B A f x x x e x f x为则设答：（ ） 三、试解下列各题：1. 讨论函数.00,00,1sin 处的连续性与可导性在=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx y2. 已知).(',0,,sin )(x f x x x x x f 求⎩⎨⎧≥<=3. 设?,,1)(,1,1,)(2应取什么值处可导在为了使b a x x f x b ax x x x f =⎩⎨⎧>+≤=四、试证明下列各题：1. 证明：双曲线xy=a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积等于2a2.2. 如果f(x)为偶函数，且f’(0)存在，证明f’(0)=0.第 二 节 作 业一、填空题：.)]sin )(cos cos [(sin .2.',3ln .12=+-=+=x x x x dxdy x e y x则设二、选择题（单选）：.)()()(;)()()(;)()()(;)()()(:,)(,)(00必可导必不可导必不可导必可导处则在不可导可导处设在x g x f D x g x f C x g x f B x g x f A x x g x f x -+答：（ ） 三、试解下列各题： 1. 设.,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求2. 求曲线y=2sinx+x 2上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程。
考研真题二-导数与微分
考研真题二-导数与微分考研真题二导数与微分在考研数学中，导数与微分是极其重要的概念，也是每年必考的知识点。
理解和掌握导数与微分，对于解决各类数学问题，尤其是涉及函数的性质、变化趋势等方面的问题，具有至关重要的意义。
导数，简单来说，就是函数在某一点的变化率。
它反映了函数在该点处的瞬时变化情况。
我们通过极限的概念来定义导数，设函数 y ＝f(x) 在点 x₀的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x₀处取得增量Δx （点 x₀＋Δx 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy ＝ f(x₀＋Δx) f(x₀)；如果Δy 与Δx 之比当Δx→0 时的极限存在，则称函数 y ＝f(x) 在点 x₀处可导，并称这个极限为函数 y ＝ f(x) 在点 x₀处的导数，记作 f'（x₀) 。
举个简单的例子，比如我们考虑一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 ，它的导数就是 2 。
这意味着，对于这个函数，无论 x 取何值，函数值的变化率始终是 2 。
再比如，对于二次函数 y ＝ x²，其导数为 2x 。
当 x ＝ 1 时，导数为 2 ，表示在 x ＝ 1 这一点，函数值的变化率是 2 。
导数的几何意义也非常重要。
函数在某一点的导数，就是该点处切线的斜率。
比如，对于函数 y ＝ x²，在点（1, 1) 处的导数为 2 ，这就意味着过点（1, 1) 的切线斜率为 2 。
微分则是函数增量的线性主部。
设函数 y ＝ f(x) 在某区间内有定义，x₀及 x₀＋Δx 在这区间内，如果函数的增量Δy ＝ f(x₀＋Δx) f(x₀) 可以表示为Δy ＝AΔx ＋o(Δx) ，其中 A 是不依赖于Δx 的常数，而o(Δx) 是比Δx 高阶的无穷小，那么称函数 y ＝ f(x) 在点 x₀是可微的，而AΔx 叫做函数 y ＝ f(x) 在点 x₀相应于自变量增量Δx 的微分，记作dy ，即 dy ＝AΔx 。
导数和微分之间有着密切的联系。
(完整版)第二章导数与微分(答案)
第二章 导数与微分(一)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( C )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( A )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( A ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy( C ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( D )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( D ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( A ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( D )A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( A )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( A )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( D )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( A ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( A )A ．211x +-B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( A )A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( B )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim()a f '。
(完整版)第二章导数与微分部分考研真题及解答
第二章 导数与微分 2.1导数的概念01.1)设f (0)=0，则f (x )在点x =0可导的充要条件为 （ B ）（A ）01lim(1cosh)h f h →-存在 （B ）01lim (1)h h f e h →-存在 （C ）01lim (sinh)h f h h →-存在 （D ）01lim [(2)()]h f h f h h→-存在03.3) 设f (x )为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x =0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x =0.(C) 在x =0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x =0. [ D ] 03.4) 设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在x =1处连续，则0)1(=ϕ是f (x )在x =1处可导的 [ A ](A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f (x )在),(+∞-∞内 [ C ](A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ] (A ) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (B) 若)(x f 在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (C) 若)(x f '在（0，1）内有界，则f (x )在（0，1）内有界. (D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. (取f (x )=x1，x x f =)(反例排除) 06.34) 设函数()f x 在x =0处连续,且()22lim1n f h h→=,则 （ C ）(A )()()'000f f -=且存在(B)()()'010f f -=且存在(C)()()'000f f +=且存在 (D)()()'010f f +=且存在07.1234) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： （ D ）（反例：()f x x =）(A ) 若0()limx f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则f (0)=0.(C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在04.2) 设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导. 【详解】(Ⅰ)当20x -≤<,即022x ≤+<时,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4](2)(4)k x x kx x x =++-=++.(Ⅱ)由题设知 (0)0f =.200()(0)(4)(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→--'===-- 00()(0)(2)(4)(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x ---→→-++'===-.令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导.2.2导数的运算法则06.2)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C]（A ）ln31- （B ）ln31-- （C ）ln21--（D ）ln21-03.3) 已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a .03.3) 设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x =0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 04.1) 曲线y=ln x 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .04.4) 设1ln arctan 22+-=x xxe e e y ，则1121+-==e e dx dy x .05.2) 设xx y )sin 1(+=，则π=x dy=dx π- .09农）设2()ln(4cos 2)f x x x =+，则()8f π'=41π+ 10.2)已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当12cm l =，5cm w =时，它的对角线增加速率为3cm/s2.3高阶导数06.34) 设函数()2f x x =在的某领域内可导,且()()(),21f x f x e f '==,则()2f '''=32e（复合求高阶导） 07.234)设函数1,23y x =+则()(0)n y =12(1)!().33n n n - 10.2)函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数()(0)n y =2(1)!n n --2.4隐函数导数 由参数方程确定的函数的导数 01.2)设函数()y f x =由方程2cos()1x ye xy e +-=-所确定，则曲线()yf x =在点(0,1)处的法线方程为220x y -+=03.2) 设函数y =f (x )由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y =f (x )在点(1,1)处的切线方程是x-y =0 .08.1)曲线()sin ln()xy y x x +-=在点(0,1)处的切线方程是1y x =+02.1)已知函数()y y x =由方程2610ye xy x ++-=确定，则(0)y ''= -209.2) 设()y y x =是方程1yxy e x +=+确定的隐函数，则202|x dy dx== -306.2) 设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则x dy dx==e-02.2)已知曲线的极坐标方程是1cos r θ=-，求曲线上对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程.07.2) 曲线2cos cos ,1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=03.2) 设函数y =y (x )由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d【详解】由t et t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=⋅+=+，t dtdx4=，得,)ln 21(24ln 212t e t t et dtdx dt dy dx dy +=+== 所以 dtdx dx dy dt d dx y d 1)(22==t t t e 412)ln 21(122⋅⋅+-⋅ =.)ln 21(422t t e+-当x =9时，由221t x +=及t >1得t =2, 故.)2ln 21(16)ln 21(42222922+-=+-===et t edx y d t x 07.2) 已知函数f (u )具有二阶导数，且(0)1f '=，函数y =y (x )由方程11y y xe --=所确定，设(ln sin )z f y x =-，求2002,.x x dzd z dxdx ==【详解】(ln sin )(cos )dz y f y x x dx y''=-⋅-，22222(cos )(sin )d z y y y y f x f x dx y y ''''-'''=⋅-+⋅+ 在11y y xe--=中, 令x = 0 得y =1 . 而由11y y xe --=两边对x 求导得110y y y e xe y --''--=再对x 求导得 111210y y y y y ey e y xe y xe y ----'''''''----=将x =0, y =1代入上面两式得 (0)1,(0) 2.y y '''== 故(0)(00)0,x dz f dx='=-=202(0)(21) 1.x d z f dx ='=⋅-=10.2)设函数()y f x =由参数方程22()x t t y t ψ⎧=+⎨=⎩，(1)t >-所确定，其中()t ψ具有2阶导数，且5(1),2ψ=(1)6,ψ'=已知2234(1)d y dx t =+，求函数()t ψ.2.5微分及其应用02.2)设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1，则(1)f '= （ D ） （A ）-1. （B ）0.1. （C ）1. （D ）0.5.06.1234) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则 [ A ] (A )0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆< (C) 0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<弹性07.34)设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是 （ D ） (A ) 10. (B) 20. (C) 30. (D) 40.01.34)设生产函数为,Q AL K αβ=其中Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而,,A αβ均为大于零的参数，则当1Q =时K 关于L 的弹性为αβ-09.3) 设某产品的需求函数为Q=Q(P)，其对应价格P 的弹性ζ=0.2，则当需求量为1000件时，价格增加1元会使产品收益增加 12000 元10.3)设某商品的收益函数为()R p ，收益弹性为31p +，其中p 为价格，且(1)1R =，则()R p =313p pe-02.4)设某商品需求量Q 是价格p 的单调减少函数：(),Q Q p =其需求弹性2220.192p pη=>-（1）设R 为总收益函数，证明(1)dRQ dpη=-.（2）求6p =时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.04.34) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=P P E d ，得P = 10. 当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.。
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导数与微分练习题(2)题型1.由已知导数，求切线的方程2.对简单的、常见函数进行求导3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导4.参数方程与一些个别函数的应用5.常见的高阶导数及其求导内容一．导数的概念1.导数的定义2.导数的几何意义3.导数的物理意义4.可导与连续之间的关系二．导数的计算1.导数的基本公式2.导数的四则运算法则3.反函数的求导法则4.复函数的求导法则5.隐函数的求导6.参数方程所确定的函数的导数7. 对数求导法8.高阶导数三．微分1.微分的定义2.可导与可微的关系3.复合函数的微分法则4.微分在近似计算中的应用典型例题题型I 利用导数定义解题题型II 导数在几何上的应用题型III 利用导数公式及其求导法则求导题型IV 求高阶导数题型V 可导、连续与极限存在的关系自测题二一．填空题二．选择题三．解答题4月9日微分练习题基础题：（一）选择题1.若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处可导，则（）A. «Skip Record If...»B. «Skip Record If...»C. «Skip Record If...»D. «Skip Record If...»2. 设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»＝( ).A、不存在B、 2C、 0D、 43. 设«Skip Record If...», 则«Skip Record If...»A.2B.3C.4D.54.已知函数«Skip Record If...»具有任意阶导数，且«Skip Record If...»，则当«Skip Record If...»为大于2的正整数时，«Skip Record If...»的«Skip Record If...»阶导数«Skip Record If...»是（）。
A、«Skip Record If...»B、«Skip Record If...»C、«Skip Record If...»D、«Skip Record If...»（二）填空题5.设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»_____.6.已知«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»= .7.设函数«Skip Record If...»由参数方程«Skip Record If...»确定，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»均可导，且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».8.设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»；9.已知设 «Skip Record If...»，则«Skip Record If...»____ _.10.«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»_____________11.已知函数«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»= .12.设«Skip Record If...», 其中«Skip Record If...»为可导函数, 则«Skip Record If...»13．«Skip Record If...»,则«Skip Record If...».=«Skip Record If...»14.已知函数«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»=15.设函数«Skip Record If...»求«Skip Record If...» .综合题：（三）解答题16.求与抛物线«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»且与抛物线相切的直线方程.17.求幂指函数«Skip Record If...»的导数.18. 已知«Skip Record If...»，求«Skip Record If...».19. 求由参数方程«Skip Record If...»所确定的函数的一阶导数«Skip Record If...»和二阶导数«Skip Record If...».20.若隐函数«Skip Record If...»由方程«Skip Record If...»确定，求«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．4月10日导数与微分练习题基础题1.在«Skip Record If...»处，连续但不可导的函数是（）A：«Skip Record If...» B：«Skip Record If...» C：«Skip Record If...» D：«Skip Record If...»2. 设 «Skip Record If...»,则 «Skip Record If...»«Skip Record If...»= ( )A：0 B：«Skip Record If...» C： «Skip Record If...» D： 43. 已知«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A：«Skip Record If...» B：«Skip Record If...» C：«Skip Record If...» D：«Skip Record If...»4.设函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»可导，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）Ａ：«Skip Record If...»Ｂ：«Skip Record If...»Ｃ：«Skip Record If...»Ｄ：«Skip Record If...»5.设函数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=( )A：«Skip Record If...»B：«Skip Record If...»C：«Skip Record If...»D：«Skip Record If...»6.设 y=«Skip Record If...»则 y«Skip Record If...»=( )A：«Skip Record If...» B：«Skip Record If...» C：«Skip Record If...» D：«Skip Record If...»7.设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=( )A：«Skip Record If...»B：«Skip Record If...»C：«Skip Record If...»D：«Skip Record If...»8. 设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»）A：«Skip Record If...» B：«Skip Record If...» C：«Skip Record If...» D：«Skip Record If...»9.设«Skip Record If...»且«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处可导，则«Skip Record If...»（）A：«Skip Record If...» B：«Skip Record If...» C：«Skip Record If...» D：«Skip Record If...»10. 设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=( )A：«Skip Record If...»B：«Skip Record If...»C：«Skip Record If...»D：«Skip Record If...»11.设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»=( )A：«Skip Record If...» B：«Skip Record If...» C：«Skip Record If...» D：«Skip Record If...»12.设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=（）A：«Skip Record If...» B：«Skip Record If...» C：«Skip Record If...» D：«Skip Record If...»13.设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=( )A：«Skip Record If...»B；«Skip Record If...»C：«Skip Record If...»D：«Skip Record If...»14.已知曲线«Skip Record If...»上点«Skip Record If...»处的切线与直线«Skip Record If...»平行，则点«Skip Record If...»的坐标为（）Ａ：«Skip Record If...»Ｂ：«Skip Record If...»Ｃ：«Skip Record If...»Ｄ：«Skip Record If...»15.过曲线«Skip Record If...»上点«Skip Record If...»处的法线方程是«Skip Record If...»16. 设函数«Skip Record If...»有«Skip Record If...»，则当«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的微分«Skip Record If...»是( )A：与«Skip Record If...»等价的无穷小B：与«Skip Record If...»同阶的无穷小，但不是等价的无穷小C：比«Skip Record If...»高阶的无穷小D：比«Skip Record If...»低阶的无穷小17.当«Skip Record If...»很少，且«Skip Record If...»，函数在«Skip Record If...»处改变量«Skip Record If...»和微分«Skip Record If...»的关系是（）A：«Skip Record If...» B：«Skip Record If...» C：«Skip Record If...» D：«Skip Record If...»综合题：18. 已知函数在点«Skip Record If...»处可导,且«Skip Record If...» ,求 «Skip Record If...»19. 求由曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的切线与法线方程20. 设函数«Skip Record If...»可导，求常数«Skip Record If...»21. 求函数«Skip Record If...»的导数 22.求«Skip Record If...»的导数23. 设 «Skip Record If...»求 «Skip Record If...» 24. 设 «Skip Record If...»，求«Skip Record If...»25. 设«Skip Record If...»,求«Skip Record If...»26.设 «Skip Record If...»)－«Skip Record If...», 求 dy4月11日导数与微分练习题综合题：1.求由方程«Skip Record If...»所确定的隐函数的导数与微分2. 设 «Skip Record If...»，求«Skip Record If...»3. 求函数«Skip Record If...»的2阶导数4. 设«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»5. 设«Skip Record If...»,求«Skip Record If...»6.设函数«Skip Record If...»由方程«Skip Record If...»确定，求«Skip Record If...».7.求由曲线«Skip Record If...»在相应«Skip Record If...»点处的切线方程和法线方程。