九年级数学二次函数中的动点问题专题练习

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P _ O

九年级数学二次函数中的动点问题专题练习

一、技巧提炼

1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用三种形式

（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； （3）、【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为 。 2、二次函数y=ax2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax2+bx+c = 0是否有根的情况进行判定； 3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2

x 2

1x x +=

(2)两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=

(3)中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫

⎝⎛++22

2121y y ,x x 。

4、 常见考察形式

1）已知A （1,0），B （0，2），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形；总结：两圆一线 平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心， 线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；

2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆 平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已 知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：

（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的

这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：

B

C

铅垂高

水平宽

h a

A

S△ABC=1

2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

6、函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

7、当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况

8、二次函数中三角形的存在性问题解题思路：（1）先分类；（2）再画图；（3）后计算

二、精讲精练

1.由动点产生的等腰三角形问题

如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC 为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2.由动点产生的直角三角形问题

如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

备用图

3.由动点产生的等腰直角三角形

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （1，0），如图所示，抛物线y=ax 2-ax-2经过点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

4.由动点产生的相似三角形

如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。⑴求抛物线的解析式；（2）连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

5.由动点产生的平行四边形问题

如上图（图1）：（3）若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； 三、变式练习

1.如图，抛物线y ＝ax2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． (1）求抛物线的解析式；(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．

图1

O

A

B

y

x

O

A

B

y

x

图2

y