结构力学课件第六章结构位移计算

d
ya
yb
yb=2/3×d－1/3×c
返回
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
叠加后的抛物线
↶
图形（）与原抛物
线图形（）的面积
QA
MB
大小和形心位置以及
形心处的竖标仍然是
MA
QB
相同的。
MA
MB
返回
当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的
AB段： MP=
， BC段： MP=
3. 代入公式（6—6）得
△Ay=
=
(-x)(-qx2) 2
dx EI
+
qL2 dx (-L)(- 2 ) EI
()
返回
§6—5 图 乘 法
1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
下面的积分
△KP=
y
当结构符合下述条件时：
d=MPdx
A MP
面积
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
7
求B点水平位移,EI=常数。
Pl
1
MP
MP
l
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
8
求C、D两点相对水平位移 。
l
MP
l
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
9
已知： E、I、A为常数，求 。
D
P A
C
a
B
0
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
D
P A
C
a
B
D
（1）功
P B
A
dW=P dS Cos
w= dW = P Cos dS
（a）
返回
常力功
变力功 力偶功
P
A
B
△
W= P△ Cos (b)
由A→B, 力由0→P
W=
1 2
P△ Cos
（c）
P
d
A
M=Pd
常力 W= M·
B
（d）
变力
W=
1 2
M·
P
返回
（2）实功与虚功 实功：力在本身引起的位移上所作的功。
§6—8 线弹性结构的互等定理
（1）功的互等定理：第一状态的外力在第二状态的位移上所作
的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。
1 P1
2
1
2 P2
△21
△12
第一状态
第二状态
M1、N1、Q1、P1、△21
M2、N2、Q2、P2、△12
证明如下： 据虚功原理有 W12= P1△12
W12=Wi12 ， W21=Wi21
1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。
变形：是指结构形状的改变。
位移：是指结构各处位置的移动。
2. 位移的分类
线位移：
角位移： A
(△A)
△Ay △Ax
绝对位移 △C △D
相对位移 △CD= △C+ △D
△C C C′ P A
P A
△A △A
y△Ax□ A′ A
△D D′ D
B
返回
3. 计算位移的目的
△KP=
（a）
式中：
为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、
Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知
dP=
duP=
将以上诸式代入式（a）得
Pds=
△KP=
（6—5）
这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式返。回
讨论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（6—5） 可以简化：
1. 梁和刚架
△KP=
截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。
1 2 3
y1
y2
y3
1
I1
y1
2
I2
y2
3
I3
y3
△= (1y1+ 2y2+ 3y3) △=
返回
例 6—2 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。 设EI=常数。
C
D
1
1
h
q
A
B
L
形心 h
MP图
解：1. 作实际状态的MP图。
2. 设置虚拟状态并作 。
yC=h h
梁和刚架可略去轴力的影响。
桁架在温度变化时的位移计算公式为
△Kt=
（6—12）
桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似。设各杆长
度的制造误差为△L, 其位移计算公式为
△K=
（6—13） 返 回
例：6—5 图示刚架施工时温度为20℃，求冬季外侧温度
为－10℃，内侧温度为0℃时A点的竖向位移 △Ay。已知L=4m
1 A
C
a
B
若把二力杆换成弹簧,该如何计算?
1
B支座处为刚度k的弹簧，该如何计算C点竖向位移？
P
A
B
C
k
=1
A
B
C
k
有弹簧支座的结构位移计算公式为:
2
求A点竖向位移,EI=常数 。 A
l
MP
k
k
l
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
§6—6 静定结构温度变化时的位移计算
当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生
W21= P2△21 故 P1△12= P2△21 （6—15）， 或
W12=W21 （6—16） 返 回
（2）位移互等定理: 第二个单位力所引起的第一
个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力
所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。
变形和位移。设结构(见图)外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2 ,求K点
的竖向位移△Kt 。此时由式（6—4）可得
△Kt=
(a)
现研究实际状态中任一微段ds, 由于温度变化产生的变形。
t1
K` △Kt
dut=(t1ds+t2ds)/2= tds (b) t2 ds K
d温度t=式变(中化t2不d会s-引t起1d剪s)切/h变=形，∆ht即dst(=c0)
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设
置相应的虚拟力状态。
例如:
求△AH
❖ 求A
A
实际状态
1 求△AB
B
A
1
虚拟状态
1A
虚拟状态
求AB
B1 A1
虚拟状态
1
A
虚拟状态
广义力与 广义位移
返回
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位
移△KP，此时没有支座位移，故式（6—4）为
xd
返回
y
d=MPdx
面积
形心
A MP
C
MP图 B
yC EI
则积分运算化简为
dx
一个弯矩图的面积乘
O
xA
xC
yC
Bx
yC=xCtg
以其形心处所对应的另 一个直线弯矩图上的竖 标 yC。
tEgI∫ xd
如果结构上所有各 杆段均可图乘则位移计
而
算公式（6—6）可写成
有
tEgIxC
△KP=
(6－9)
yC EI返 回
，=10－5，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。
t1
A
1
L
t2
A
实
虚1
L
化
解： 外侧温度变化
t2=0℃－20℃=－20℃
。t1=t－=(1t10+℃t2)－/2=20－℃2=5℃－3,0△℃t,=t2－内t侧1=温10度℃变
绘 图， 代入式（6—11），并注意正负号(判断)， 可得
△Ay
返回
§6—7 静定结构支座移动时的位移计算
将式式（中b) 、(c△)t代= 入t2－式（t1 a)，得
实
t1 t1ds
PK=1 ds K
虚
△Kt=
（6—10）
dt
t2 ds t2ds
ds 返 回
△Kt
若各杆均为等截面时，则有
△Kt
（6—10） （6—11）
在应用上面二式计算时，应注意正负号的确定。当 实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反 时为负。
对于静定结构，支座移动并不引起内力。此时，位
移计算公式化简为 △Kc=
（6—14）
例：图示三铰刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m↓ 水平位移△Bx=0.04m→,已知 L=12m，h=8m。求A 。
C
C
解： 虚拟状态如图。
由（6—14）
式得
h
实
A
B
虚
1
A
A
B
L/2 L/2
△Bx
=0.0075rad返回
3L/8 5L/8
1
2
顶点
4L/5
L/5
L
返回
4 .图乘的技巧
当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单 图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。
例如： a
c
a
c
L
则
b
MP图
ya
yb d
ya=2/3×c+1/3×d yb=1/3×c+2/3×d
MP图 此时
b
ya=2/3×c－1/3×d
Q+dQ
ds
A
B
dS
d
dS du dS
位移状态
dS
返d回x
§6—3 位移计算的一般公式 单位荷载法
1. 位移计算的一般公式 t1 k K △K P2
设平面杆系结构由
t2
ds
于荷载、温度变化及支
K′ k
座移动等因素引起位移 P1
k PK=1
c3 K ds
k
如图示。 求任一指定截面K
沿任一指定方向 k—k 上的位移△K 。
0
例 6—11 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。
q
MP
l/2 l/2
1
例 6—11 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
q
MP
l/2 l/2
2
例 6—11 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
q
MP
l/2 l/2
3
图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位
移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。
例如：
A
P1
1
B
△1
W=
A
P2
2
B
虚功：力在其它
△2
因素引起的位移上所作
的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
的两种彼此无关的状态。
例如： W12=P1·△2
返回
2. 变形体的虚功原理：
变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小 虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段 上内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即
或写成
W外=W内 W=Wi
式(6—1）称为虚功方程，式中
W ——外力虚功
Wi——内力虚功
（6—1）
返回
内力虚功的计算
给定力状态 给定位移状态
微段dS上内力的变形虚功为
dWi=Ndu+QdS+Md
整个结构内力的变形虚功为
Wi=
（6—2)
虚功方程为
W=
（6—3)
AP
M
RA
q
Q
N
q B
dS
RB
N+dN
力状态
-
பைடு நூலகம்
21EI(L‧
32L) P4L=
1P6LE2I返（回↓）
例 6—4 求图示外伸梁C点的竖向位移△Cy。
EI=常数。
q
解：1. 作MP图
A
B
C
2. 作 图
L
3. 图乘计算
y1=
y2=
y3=
△Cy=
MP图
图
2
+
3
y3 y2
1
y1
1
返回
5
例 6—5 试求图示梁B端转角
MP
Mi
解:
6
例 6—6 试求图示结构B点竖向位移
2. 图乘法的注意事项
（1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。
3. 常用的几种简单图形的面积和形心
2L/3
L/3
形心
L
h
h
❖a
b
形心
（L+a)/3
(L+b)/3
L
返回
二次抛物线
L
L/2 顶点
二次抛物线 1=2/3(hL) 2=1/3(hL)
MP
Mi
解:
7
例 6—7 求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角
q
A
B
图
图
解: （）
8
例 6—9 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 。
lq ll
q
MP
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
9
例 6—10 已知 EI 为常数，求A点竖向位移 。
q
q
l
l
MP
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
3. 按式（6—9）计算
∆CD=∑
yC
EI
=
1 EI
(
2 3
qL2
8 L)h =
qhL2 12EI
（→←）
返回
例 6—3 求图示刚架A点的竖向位移△Ay 。
C EI
B
P
A
L
P 1
L 2EI EI
DL
PL
MP图
解： 1. 作MP图、 ；
2. 图乘计算。
△ = Ay
∑
yC
EI
=
1 EI
(
L‧L 2
)
PL 2
（6－6）
2.桁架
△KP= 3. 组合结构
（6－7）
△KP=
（6—8） 返 回
例 6—1 求图示刚架A点
q
的 竖 向位移△Ay。E、A、 B x
AB
x
1 A
I为常数。
A`
L
解：1. 设置虚拟状态 x
选取坐标如图。 C
实际状态
则各杆弯矩方程为:
L
x 虚拟状态
C
AB段：
x, BC段：
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
结构力学课件第六章结构位 移计算
第六章 结构位移计算
§6—1 概述
§6—2 变形体系的虚功原理
§6—3 位移计算的一般公式
A′
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§6—5 图乘法
§6—6 静定结构温度变化时的位移计算
§6—7 静定结构支座移动时的位移计算
§6—8 线弹性结构的互等定理
§6—1 概 述
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为