高二人教B数学选修同步练习~常数与幂函数的导数 导数公式表

选修1-2 3.2.1~3.2.2常数与幂函数的导数

导数公式表

一、选择题

1．抛物线y ＝14

x 2在点(2,1)处的切线方程是( ) A ．x －y －1＝0

B ．x ＋y －3＝0

C ．x －y ＋1＝0

D ．x ＋y －1＝0

[答案] A

[解析] ∵y ′＝12x ，y ′|x ＝2＝12

×2＝1， ∴抛物线y ＝14

x 2在点(2,1)处的切线斜率为1， 方程为x －y －1＝0.

2．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( )

A ．1

B ．0

C ．2

D.12

[答案] D

[解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12，故图象在x ＝2处的切线斜率为12

. 3．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3

＝( )

A.12

B ．－12

C.32

D ．－

32 [答案] A

[解析] y ′＝cos x ，y ′|x ＝π3

＝cos π3＝12.

4.lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx

表示( ) A ．曲线y ＝x 2的斜率

B ．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率

C ．曲线y ＝－x 2的斜率

D ．曲线y ＝－x 2在(1，－1)处的斜率

[答案] B

[解析] 由导数的意义可知，lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx

表示曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率． 5．若y ＝cos 2π3

，则y ′＝( ) A ．－32

B ．－12

C ．0 D.12

[答案] C

[解析] 常数函数的导数为0.

6．下列命题中正确的是( )

①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x

②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1

③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x

A ．①

B ．②

C ．③

D ．①②③

[答案] C

[解析] 当f (x )＝sin x ＋1时，f ′(x )＝cos x ，

当f (x )＝2时，f ′(x )＝0.

7．正弦函数y ＝sin x 上切线斜率等于12

的点为( ) A ．(π3，32

)

B ．(－π3，－32)或(π3，32

) C ．(2k π＋π3，32

)(k ∈Z ) D ．(2k π－π3，－32)或(2k π＋π3，32

)(k ∈Z ) [答案] D

[解析] 由(sin x )′＝cos x ＝12得x ＝2k π－π3或x ＝2k π＋π3

(k ∈Z )． 所以切点坐标为(2k π－π

3，－3

2)或(2k π＋π

3，3

2)(k ∈Z )．

8．给出下列函数

(1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′ (2)y ＝(sin x )′＋cos x

(3)y ＝sin x ＋(cos x )′ (4)y ＝(sin x )′·(cos x )′

其中值域不是[－2，2]的函数有多少个( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

[答案] C

[解析] (1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′

＝cos x －sin x ∈[－2，2]．

(2)y ＝(sin x )′＋cos x ＝2cos x ∈[－2,2]．

(3)y ＝sin x ＋(cos x )′＝sin x －sin x ＝0.

(4)y ＝(sin x )′·(cos x )′＝cos x ·(－sin x ) ＝－1

2sin2x ∈⎣⎡⎦⎤－1

2，1

2.

9．下列结论正确的是( )

A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin x

B ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos x

C ．若y ＝1

x ，则y ′＝－1

x 2

D ．若y ＝x ，则y ′＝x

2

[答案] C

[解析] ∵(cos x )′＝－sin x ，(sin x )′＝cos x ，(x )′＝(x 12)′＝12·x 12－1＝12x ，∴A 、B 、D 均不正确．而⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －1)′＝－1×x －1－1＝－1x 2

，故C 正确． 10．已知f (x )＝x 3，则f (x )的斜率为1的切线有( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．不能确定

[答案] B

[解析] 设切点为(x 0，x 30)，由(x 3)′＝3x 2得在(x 0，x 30)处的切线斜率为3x 20，由3x 20＝1得

x 0＝±33，故切点为⎝⎛⎭⎫33

，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39，所以有2条． 二、填空题

11．若函数y ＝cos t ，则y ′|t ＝6π＝____________.

[答案] 0

[解析] y ′＝(cos t )′＝－sin t ，y ′|t ＝6π＝－sin6π＝0.

12．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是____________________________．

[答案] y ＝x －1

[解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0)

∴y ′|x ＝1＝1，切线的斜率为1，

所求切线方程为：y ＝x －1.

13．函数f (x )＝5x 3，则f ′(x )＝________.

[答案] 35

x －25 [解析] ∵f (x )＝5x 3＝x 3

5，∴f ′(x )＝35x －25. 14．曲线y ＝2x 4＋3x 的斜率等于－5的切线的方程为____________．

[答案] 5x ＋y ＋6＝0

[解析] y ′＝8x 3＋3，令8x 3＋3＝－5，

∴x ＝－1，y ＝－1，

∴切点为(－1，－1)，切线方程为5x ＋y ＋6＝0.