浅谈数学学科中的抽象思维

具有 清晰美 观 的人 机交 互界 面 和方便
器 及表 单提交 自己的身 份信息 ，然 后 系统再 对用 户提交 的身 份信 息进 行各
种验证操作 。
【 张仁贡， ４ 】 韩桂芳 ． 精品课程 网络信 息发布平 台的构建与研究ｆ＿ Ｊ 中国教育信息化， ０ ， １ ２ ８ ０
ｆ０． １１
精 品课程资源支撑平 台作为 ＢＳ结 ／ 构 的 ＷＥ Ｂ应 用系统 ，每个人都 可以通
过 互联 网对其 进行 访问 ，因此 ，保 证 系统 的安全运 行十 分重要 。本 系统 权
确 ，分 类列表 使用 了树 状视 图 ，符 合 人们 的使用和操作习惯。
四 、 结论
限控制 主要 由用户 身份认 证部 分 和每
自然 属性 ，是从 远古 牧羊人 对羊 群 的 感性认 识逐 步抽 象为数 的 概念 ，抛开
概念 、数学 理论体 系 、各 种数 学公 式 以及 由公式 系列构 成 的算 术法 理论 体 系等 都可 以成为数 学模 型 。从 狭 义上
讲 ，只有那 些反 映特定 问题 或特定 的
了它 的 自然属性 。古 希腊 数学家 欧几 里德 从简 单 明了的直 观想像 出发 ，把 公元 前七 世纪 以来古 希腊 的全部 几何
１ ９世纪末和 ２ 世纪初 ，数学 的各个分 ０ 支广 泛流 行一股 公理化 潮 流 ，一 直影 响 到今 ，如抽象 代数 、拓 扑空 间体 系
构 。诚然 ，这种数 学结 构应该 是借 助 于数 学概念 和符号 刻 画出来 的 已经 扬
弃 了一切无 本质联 系属性 的系统 。数 学 中的各种基本概念 如 ：向量 、集合 、
、
抽象 思维 的作 用表 现在 数学
概念 、公 理、定义的形成和建立上 在数 学 中 ，公 理 、概念 、定 义 的
的建 立 ，甚至 于像概 率论 这样 与客观 现实 联 系比较 紧密 的数学 分支也 不例 外 。１ ３ ９ ３年 ，苏联数 学家柯尔 莫哥 洛 夫在他 的主要 著作 （ （ 概率论基础》 中 ， 把概 率定 义在一 组公理 结构 上 ，建立 了概率空 间 ，用集合来表示 随机 事件 ， 而概 率正 好是定 义在 集合 上 的赋 范测 度 ，这样 测度论 的叙 述不 仅给概 率论 提供 了一 个逻辑 上 的坚实平 台 ，同时 还把 它与 现代数 学 的主要倾 向连 接起 来 ，更深刻地反 映出概率的本质。
析 了计算 的实质 ，使得 电子 计算 机 的 发 明变得迅速起来 。
科学 的抽 象不 等于 脱离 实际 ，抽
抽 象思 维 的过程 是从 感性认 识 到
理性认识 的过 程 ，然后 从理性 认识 飞 跃到 实践 的过程 。 当今 物理 学 、工程
象概念 不是人 们主观 的臆 造 ，比如数 学 中无 穷大 概念 的引入 。一 般 说来 ， 凡是能够说出来的数是 （ 下转第 ６ ４页）
学 建 立在 ４ ５个 定 义 、公 式 、公 理之
具体 事物 系统的数 学关 系结 构才 叫数
学模 型 。
在数 学 中抽 象思 维依 赖于 客观 现
实 ，只有对 外界事 物 的感 性思 维 才能 获得 它的 内容 。数 学抽象 就 是 “ 去粗 取精 ，去伪 存真 ，由此 及彼 ，由表及 里” ，把握事物 的本质抽象 出科学 的结 论 。在数学 的创造 性工 作 中 ， “ 象 抽 分析 法”是 一个 常用 的重要方 法 。例 如 ，欧 拉解 决 格尼 斯 堡 奇桥 问 题 时 ， 就是 应 用这 种 方法 。通 过抽 象 分 析 ，
＝
但 是 ，该 系统还存 在一 些 不尽 如
人意 之处 ，在 以下 方面需 进 一步扩 充
Ｒ ｑｅｔ ｅｖｒ ａｉ ｌｓ （ Ｒ ＭＯ Ｅ Ａ ｅｕｓＳ ｒ Ｖ ｒ ｂｅ ” Ｅ Ｔ — ． ｅ ａ
和完 善 ：一 是尽量 能够 提供 语音 与视 频 的交互 ，增加感 官效 应 。多利用 多 媒体 提 高交 流 的质 量 。二是 基于 自然
浅 谈数学学 科 中的抽象思维
郑州城市职业学院
摘
雷玉琼
河南理工大 学万方科技学院
李
娜
要 ：数学研 究的对象并非是物质世界的真 实存在 ，而是人类抽 象思维的产物。数 学中的许 多概念 、定义 、公式 、定理并非建立在真
实事物或现象的直接抽 象之上 ，而是较为 间接抽 象的结果 ， 至是在抽 象之上进行抽 象。 因为数学研究 已不再是先前那种建立在直接观察与 甚
的解 释和 帮助 系统 ，使 得对 于整 个 系 但 近 似 于 ０ １ ，这 样 的分 割不 但 悦 ．８ ６
目，而且还 存在 大 自然 中 ，如植 物 的
叶 片 、花 朵 、 雪 花 、五 角 星 … … 许 多
（ 责任编辑
马志娟 ）
思维 。美 国现代数 学家 理查德 柯 朗脱 和赫 伯脱罗 宾斯在 他们 所著 的 《 数学 是 什么》 中写道 ：数学 ，作 为人 类智
奇桥 问题被 抽象成 线路 拓扑 的一 笔画
问题 ，得 出的结 论是无解 的 ；美 国数 学家 图灵 运用 “ 象分 析法 ”深 刻分 抽
原本》 的公理体 系 和逻辑 推理 尚有 缺 陷 ，１９ ８ ９年 德 国数学 家希尔 伯特 出版
了 饥 何 基础》 一 书 ，建 立 了更加 完 善 的几 何公理 系统 。如 果说在 古希 腊 几何 中 ，点 、线 、面等 概念 还仅 限于
从 １ ９世 纪 ２ ０年 代起 直 到上 世纪
群 、环 、域 等都 是以各 自相应 的现实
原理 作为 背景而抽 象 出来 的最基本 的 数学 概念 。从广 义上讲 ，凡一 切 数学
建立 是数 学研究 、发 展 的前提 ，而 它 们 的建立 都是从 外界 材料 中抽象 出来 的 。 自然 数的概 念来 源于 客观物 体 的
语 言理解 的答疑 系统应 该是 以后 发展 的方 向。三是系统 中的精 品课程 网站
（ 二）数据信息组织结构设计
本 系统包 括 了学生 管理 、教 师 管 理 、课 程 管理 、课程 资源 管理及 互 动
Ｄ Ｒ） Ｄ “ ，通 过 Ｉ Ｐ地址进 行判断 ，如果 为指定 的 Ｉ 址则允许登 录 ，否则 拒 Ｐ地 绝 登录 并记 录其登 录的实 际 Ｉ Ｐ地址 、
模 版管 理功能也 有待进 一 步改进 ，实
现 用户 可以 自行创 建 和管理 模版 。 四
施 ，进一步提高系统身份ｔ证 的安全 陛。 ＾ 另 外 ，在系 统设计 过 程 中充分 考
虑 易用性 ，动 态获取 当前 已有 分类 列
是逐步增加和完善在线题库工作。
参考文献 ：
【 颜廷法 ， １ ］ 张洪沼 ， ． 杨超 高校精 品课程资源 建 设 支撑平 台的总体设计 与实现 【． 网 Ｊ农业 １ 络信息， ０ ， ） ２ ８ ７ ０ （． 【 邹瑞 ， ． ２ 】 王欣 基于 Ｂ 模 式的高 校精 品课 —ｓ 程 系 统平 台开 发 阴． 城学 院学报 ， ０ ， 运 ２ ９ ０
数 、几何 都发生 了根 本性 的变化 。在 数学 分析 中 ，微 积分 趋于 完善后 逐步
出点 、线 、面 ，构成 了 （ 何 原本》， 仉
如直线并不是 指现实世界 中拉 紧的线 ， 而是 把现 实 中线 的质 量 、弹性 和粗细
向现 代分 析发展 ；代 数学 以伽罗 华 的
群论 的产 生为标 志而 进入抽 象代 数 阶
上 ， 由此 ，演绎 推理 出 比较 完整 的几 何体 系 ，这就是 著名 的 饥 何 原 本》。 这若 干个 原始 的公理 不是 凭空想 像 出
来 的 ，而 是在数 百代 人实 践 的基 础上 抽象 得来 的 ，欧 几里 德从 直观 中抽象
初 ，数学 的三大 基本 门类 ：分析 、代
实验之上对知识的归纳，而是 运用抽 象思 维揭示 自 然规律 ， 导人们 的社会 实践 ，向着理论科学的方向迈 出了关键 性的一步。 指 关键词 ：抽象思维；实践；感性 思维 ；理性思维
作 为一 门独立 的学 科 ，数学 具有 它 自己的特点 和 内在 的规 律性 ，这种 特点 和规 律性表 现在 哲学 中 的地位 和
个模块上 的访问控制部分共 同来完成 。 身 份认 证 的过 程是 先 由用户通 过浏 览
【 刚， ３ 憎 雷体南 ． 于 Ａ Ｅ Ｅ 基 Ｓ Ｎ Ｔ的高校 校务信
箱系统 的设计 与实 现【． Ｊ 中国教育 信息化， 】
２ ０ ， ） ０ ８１ ． （ｏ
本 系统 在 开发 过程 中始终 结合 精 品课程 资源建 设过 程 中所遇 到 的具 体 问题 和需求 ，实 现 了预期 目标 。系统
作 用 比在 其 他 自然 的科 学 中更 显著 、 更有 意义 。如果 说实 践是 数学产 生 和 发展 的源 泉 ，那 么抽 象思 维则是 数学
前进发展 的巨大推动力 。
一Байду номын сангаас
自从 《 何基 础》 树立 了典 型 的 几 公理 方法 以后 ，这种 抽象 思维方 法对 数学 的发 展具有 不可 估量 的影 响 。到
教学 交流 管理等 多个 方面 ，涉及 到 大 量 的数据 信息 。对各类 数 据信 息有 着
严格的访问控制权 限限制 。 我们 采 用数据 库 系统与 文件 系 统
登 录 时间 、服 务 器 名称 等 相关 资 料 ，
记入 日志以备管理员查看 。 另外 ，还 采用 了防 Ｓ Ｌ注 入等 措 Ｑ
（） １． ０
目录结构 相结合 的方 式对 系统 中的信
息进行存储 、组织与管理 。 （ 三）用户身份认证与访 问控制
表 ，并 显示在 下拉 列表框 里面 ，并 可 以实现 三级联 动显 示 ，即 当选 择大 分
类 的时 间次级 目录 自动加 载大 分类 所 含 的所 有子分 类 ，显示 速度快 捷 、准
本 系统 在认 证 用户 的身份 时 采用 （ 上接第 ６ ２页） 限的 ，但用有 限数逐 有
渐 加 １的 办法 ，可 以得 到无 穷 数 列 ， 显示 出任意 大数字 出现 的可能 。同样 ， 由于直线 的特点 可 以假 想 它沿 着一个 方 向无止 境地继 续下 去 ，显示 出直线
直观 的几何 解释 的话 ，那么 在 《 几何
基础》 中则 允许 有不 同的解 释 ，只要
技术 、经济 学 、生物学 甚至 是社 会学 等诸 学 科 ，普 遍 采用 的 “ 数学 模 型 ”
河南农 业 ２１年第 ７ （ ） ０１ 期 下
国 内精 品课 程资源 开发 标准 ，力求 精 品课 程 网 站及 其 资源 设 计 的规 范 化 。
了Ｉ Ｐ地址 检测技术 ，其中 系统管 理员 只允许 从特 定 主机 登 录访 问。对 于登
统 的操 作直 观 、灵 活 、方 便 、易于 掌 握和推广应用 。
二是具 备 良好 的适 应性 、伸 缩性 和扩
展性 。三是 易使 用 、易维护 、功 能 易 扩展。四是安全可靠 。
录管 理后 台 的用户 ，系统先 获取其 Ｉ Ｐ 地 址 ，获 取 １ Ｐ地 址 的 代 码 为 ：＜ ％
它们 符合 公理所 规定 的关 系 即可 。所 以，《 几何基础》 中所研 究的 内容 ，成
为更加概括和抽象 的数学理论 。
就是 从大 量现实材 料 中抽象 出一般 规
律并 建 立模 型 ，转而 服 务 于实 践 的 。
所谓 “ 学模型 ”就是针 对 或参 照事 数 物 系统 的特征或 数量相 依关 系 ，采用 形式 化数 学语言 ，抽象 的一 种数 学结
段 ；几何 学 以罗 巴切 夫斯 基的非 欧几 何 学 的产 生 进入 到 对个 中抽 象 空 间 、 多维 空 间的研究 。这 些变 化使数 学 的 抽象性更加突出。
二 、数学模型中的抽象思维
等属 性都 撇开 了 ，只留下 “ 向两 个方 向无 限延 长”这 一属 性 。由于 饥 何