近几全国物理竞赛复赛力学
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（3）
（4）
由图1可知，P点的坐标
（5）
（6）
把（5）、（6）式代入（1）式化简得
（7）
根据求根公式可得
（8）
由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得
(9)
可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为
(10)
式中m为彗星的质量．以 表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1）
得
（12）
代入有关数据得
(13)
设P点速度方向与 的夹角为 (见图2)，根据开普勒第二定律
（14）
其中 为面积速度，并有
（15）
由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得
（16）
4.二、参考解答：
1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图：
为地面作用于杆 的摩擦力， 为地面对杆 的支持力， 、 为杆 作用于杆 的摩擦力和支持力， 、 分别为墙对杆 和 的作用力， 为重力.取杆 和 构成的系统为研究对象，系统平衡时,由平衡条件有
近几全国物理竞赛复赛力学
近几年全国物理竞赛复赛力学
1.（15分）一半径为 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上.一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为 ( ).求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率.重力加速度大小为 .（30届复赛）
2.如图所示，两根刚性轻杆 和 在 段牢固粘接在一起， 延长线与 的夹角 为锐角，杆 长为 ，杆 长为 。在杆的 、 和 三点各固连一质量均为 的小球，构成一刚性系统。整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板，杆 延长线与挡板垂直。现使该系统以大小为 、方向沿 的速度向挡板平动。在某时刻，小球 与挡板碰撞，碰撞结束时球 在垂直于挡板方向的分速度为零，且球 与挡板不粘连。若使球 碰撞后，球 先于球 与挡板相碰，求夹角 应满足的条件。
（1）
（2）
以及对A点的力矩
即
（3）
式中 待求. 是过 的竖直线与过 的水平线的交点， 为 与 的交点．由几何关系有
（4）
取杆CD为研究对象，由平衡条件有
（5）
（6）
以及对 点的力矩
（7）
解以上各式可得
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
CD杆平衡的必要条件为
（14）
由（12）、（13）、（14）式得
.(3’)
同样可解出(4). ]
设碰撞过程中D对A的作用力为 ，对A用动量定理有
,(5)
方向与 方向相反.于是，A对D的作用力为 的冲量为
(6)
方向与 方向相同.
以B、C、D为系统，设其质心离转轴的距离为 ，则
.(7)
质心在碰后瞬间的速度为
.(8)
轴与杆的作用时间也为 ，设轴对杆的作用力为 ，由质心运动定理有
（29届复赛）
3.（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为年。1986年它过近日点P0时，与太阳S的距离r0=，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离。经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=°.已知：1AU=×1011m，引力常量G=×10-11m3?kg-1?s-2，太阳质量mS=×1030kg.试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。（28届复赛）
.(1)
以A、B、C、D为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒
.(2)
由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒.又由于碰撞时间 很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化.故
.(3)
由(1)、(2)、(3)式解得
(4)
[代替(3)式，可利用弹性碰撞特点
（2）若μA=，μC=，θ=°，求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。（28届复赛）
5.（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为 （ 为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动.一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略.一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连.一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短.碰撞时滑块C恰好静止在距轴为 （ ）处.
3.解法一
取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为
（1）
a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．
以 表示地球绕太阳运动的周期，则 ；以 表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则 ，根据开普勒第三定律，有
（2）
设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得
4、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦因数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦因数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l.
（1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角θ，求CD杆与墙面的夹角α应满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。
（15）
AB杆平衡的必要条件为
(16)
由（10）、（11）、（16）式得
（17）
因此，使系统平衡， 应满足的条件为（15）式和（17）式．
2．将题给的数据代入（15）式可得
(18)
将题给的数据代入（17）式，经数值计算可得
(19)
因此， 的取值范围为
(20)
5.由于碰撞时间 很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束.设碰后A、C、D的速度分别为 、 、 ，显然有
1.若碰前滑块A的速度为 ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；
2.若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度 应满足的条件.（30届复赛）
6.（22分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m，半径为R，螺距H =πR，可绕竖直的对称轴OO′，无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一质量也为m的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点A，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴OO′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为h时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．(27届复赛)
（4）
由图1可知，P点的坐标
（5）
（6）
把（5）、（6）式代入（1）式化简得
（7）
根据求根公式可得
（8）
由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得
(9)
可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为
(10)
式中m为彗星的质量．以 表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1）
得
（12）
代入有关数据得
(13)
设P点速度方向与 的夹角为 (见图2)，根据开普勒第二定律
（14）
其中 为面积速度，并有
（15）
由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得
（16）
4.二、参考解答：
1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图：
为地面作用于杆 的摩擦力， 为地面对杆 的支持力， 、 为杆 作用于杆 的摩擦力和支持力， 、 分别为墙对杆 和 的作用力， 为重力.取杆 和 构成的系统为研究对象，系统平衡时,由平衡条件有
近几全国物理竞赛复赛力学
近几年全国物理竞赛复赛力学
1.（15分）一半径为 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上.一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为 ( ).求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率.重力加速度大小为 .（30届复赛）
2.如图所示，两根刚性轻杆 和 在 段牢固粘接在一起， 延长线与 的夹角 为锐角，杆 长为 ，杆 长为 。在杆的 、 和 三点各固连一质量均为 的小球，构成一刚性系统。整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板，杆 延长线与挡板垂直。现使该系统以大小为 、方向沿 的速度向挡板平动。在某时刻，小球 与挡板碰撞，碰撞结束时球 在垂直于挡板方向的分速度为零，且球 与挡板不粘连。若使球 碰撞后，球 先于球 与挡板相碰，求夹角 应满足的条件。
（1）
（2）
以及对A点的力矩
即
（3）
式中 待求. 是过 的竖直线与过 的水平线的交点， 为 与 的交点．由几何关系有
（4）
取杆CD为研究对象，由平衡条件有
（5）
（6）
以及对 点的力矩
（7）
解以上各式可得
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
CD杆平衡的必要条件为
（14）
由（12）、（13）、（14）式得
.(3’)
同样可解出(4). ]
设碰撞过程中D对A的作用力为 ，对A用动量定理有
,(5)
方向与 方向相反.于是，A对D的作用力为 的冲量为
(6)
方向与 方向相同.
以B、C、D为系统，设其质心离转轴的距离为 ，则
.(7)
质心在碰后瞬间的速度为
.(8)
轴与杆的作用时间也为 ，设轴对杆的作用力为 ，由质心运动定理有
（29届复赛）
3.（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为年。1986年它过近日点P0时，与太阳S的距离r0=，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离。经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=°.已知：1AU=×1011m，引力常量G=×10-11m3?kg-1?s-2，太阳质量mS=×1030kg.试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。（28届复赛）
.(1)
以A、B、C、D为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒
.(2)
由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒.又由于碰撞时间 很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化.故
.(3)
由(1)、(2)、(3)式解得
(4)
[代替(3)式，可利用弹性碰撞特点
（2）若μA=，μC=，θ=°，求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。（28届复赛）
5.（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为 （ 为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动.一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略.一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连.一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短.碰撞时滑块C恰好静止在距轴为 （ ）处.
3.解法一
取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为
（1）
a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．
以 表示地球绕太阳运动的周期，则 ；以 表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则 ，根据开普勒第三定律，有
（2）
设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得
4、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦因数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦因数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l.
（1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角θ，求CD杆与墙面的夹角α应满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。
（15）
AB杆平衡的必要条件为
(16)
由（10）、（11）、（16）式得
（17）
因此，使系统平衡， 应满足的条件为（15）式和（17）式．
2．将题给的数据代入（15）式可得
(18)
将题给的数据代入（17）式，经数值计算可得
(19)
因此， 的取值范围为
(20)
5.由于碰撞时间 很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束.设碰后A、C、D的速度分别为 、 、 ，显然有
1.若碰前滑块A的速度为 ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；
2.若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度 应满足的条件.（30届复赛）
6.（22分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m，半径为R，螺距H =πR，可绕竖直的对称轴OO′，无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一质量也为m的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点A，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴OO′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为h时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．(27届复赛)