二重积分和三重积分的对称性及奇偶性

(a ) 当 f ( − x , y ) = − f ( x , y ) 时(( x , y ) ∈ D ),
∫∫ f ( x , y )dxdy = 0;
D
(b ) 当 f ( − x , y ) = f ( x , y ) 时 (( x , y ) ∈ D ),
∫∫ f ( x , y )dxdy = 2∫∫ f ( x , y )dxdy,
补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积分区域Ω 关于 yoz 平面对称，且 被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 x 的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 x 的偶函数，则 三重积分为Ω 在 yoz 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
D D1
其中 D1 = {( x , y ) | ( x , y ) ∈ D, x ≥ 0}). (2) 如果区域 D 关于 x 轴对称, 则有
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
0, f ( x , − y ) = − f ( x , y ) = 2 f ( x , y )dxdy , f ( x ,− y ) = f ( x , y ), ∫∫ D2
0, f ( x , − y ) = − f ( x , y ) = 2 f ( x , y )dxdy , f ( x ,− y ) = f ( x , y ), ∫∫ D2 其中 D2 = {( x , y ) | ( x , y ) ∈ D, y ≥ 0}).
(3) 如果 D 关于原点对称, 则
0, f ( x , − y ) = − f ( x , y ) = 2 f ( x , y )dxdy , f ( x ,− y ) = f ( x , y ), ∫∫ D3 其中D3 是 D 被过原点的直线切割的一半. (4) 如果 D 关于 y = x 对称,则
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫∫ f ( y, x )dxdy.
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补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积分区域Ω 关于 xoz 平面对称，且 被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 y 的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 y 的偶函数，则 三重积分为Ω 在 xoz 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
0, f ( x , − y ) = − f ( x , y ) = 2 f ( x , y )dxdy , f ( x ,− y ) = f ( x , y ), ∫∫ D3 其中D3 是 D 被过原点的直线切割的一半.
0, f ( x , − y ) = − f ( x , y ) = 2 f ( x , y )dxdy , f ( x ,− y ) = f ( x , y ), ∫∫ D3 其中D3 是 D 被过原点的直线切割的一半.
D D
完
补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地， 当积分区域Ω 关于 xoy 平面对称， 且被 积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的奇函数，则三重积分为 零， 若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的偶函数， 则三重 积分为 Ω 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重积分 的两倍.
三、小结
柱面坐标 三重积分换元法 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz = rdrdθdz
（2） 球面坐标的体积元素 dxdydz = r 2 sin ϕdrdθdϕ （3） 对称性简化运算
思考题
若Ω为R 3中关于 xy面对称的有界闭区域， f ( x , y , z )为 Ω上的连续函数 , 则
利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算 利用被积函数的奇偶性及积分区域 D 的对称性, 常常使二重积分的计算简化许多, 避免出现繁琐 的计算. 但在使用该方法时,要同时兼顾到被积函 数 f ( x , y ) 的奇偶性 和积分区域 D 的对称性两方 面, 常用结论如下: (1) 如果区域 D关于y 轴对称, 则有
当f ( x , y , z )关于 ____ 为奇函数时 , ∫∫∫ f ( x , y , z )dv = 0;
Ω
z 当f ( x , y , z )关于 ____ z 为偶函数时 ,
Ω Ω1
2 ∫∫∫ f ( x, y, z )dv ∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ___
其中 Ω 1为Ω在xy面上方的部分 .