数字信号处理,第十一讲双线性变换

p
c
2 T
tan(c
2
)
2 T
tan(0.1 )
r
2 T
tan(r
2
)
2 T
tan(0.2 )
N>1.356
取 N=2
6.5 双线性变换法
(2)将Ωc代入二阶模拟巴特沃思滤波器H (s)
H (s)
2 c
s2 2cs c2
(3)确定数字滤波器的系统函数
H (z)
H (s)
s
2 T
1 1
z z
1 1
2.091z3
0.347 z 4
6.5 双线性变换法
年 2002
学校
北京理 工大学
2003
北京交 通大学
(1)频率 窗函数 取样、 法、带 带通 阻
(2)双线 性、BW 高通
2004
频率取 样法、 带通
窗函数 法、高 通
2005
窗函数 法、 带通
2006
频率取 样法、 高通
2007
单位脉 冲响应 法、低 通
(3)用双线性变换将模拟滤波器H (s)转换为
数字滤波器H (z)。
H
(z)
H
(s)
s 2 T
11zz11
6.5 双线性变换法
优点：避免了频率混叠
缺点：频率是非线性关系
2 tan( )
T2
6.5 双线性变换法
| H ( j) |
r r
p p
0 0 p
| H (e j ) |
2 tan( )
解： （1）确定模拟低通滤波器指标
p 2 fp / fs 0.25 rad
r 2 fr / fs 0.5 rad
p
2 T
tan( p
2
)
2 T
tan(
8
)
r
2 T
tan(r
2
)
2 T
tan( )
4
2 T
6.5 双线性变换法
（2）确定模拟低通滤波器H(s)
N 4
2
c p T tan( 8 ) rad / s
2
2
2
2
2
T
当 0时, | z | 1;
当 0时, | z | 1;
当 0时, | z | 1.
稳定的模拟滤 波器经双线性变换 后所得的数字滤波 器也一定是稳定的
6.5 双线性变换法
(1)将数字滤波器的的指标转换为模拟滤波器的指标；
p
2 T
tan(
p
2
)
r
2 T
tan(r
2
)
(2)由模拟滤波器指标设计模拟滤波器H (s)；
e
j1
T 2
e
j1
T 2
e
j1
T 2
6.5 双线性变换法
2
e e j1
T 2
j1
T 2
2 1 e j1T
j
T
e j1
T 2
e
j1
T 2
T
1
e
j1T
令s j，s1 j1
则s
2 T
1 1
e s1T e s1T
2 T
1 1
z 1 z 1
6.5 双线性变换法
双线性变换：
s
2 1 T 1 2 s
T2
T
r
0 p r
6.5 双线性变换法
•如果给出的是 p、r 及T 指标
(1)利用
2 T
tan(
2
)计算出 p及r；
(2)得到模拟滤波器H (s)；
(3)经H
(
z)
H
(s)
s 2 T
1 1
z1 z1
，就得到数字滤波器H
(z)。
6.5 双线性变换法
•如果给出的是f p、fr及T指标
(1)利用=2 fT计算出p及r；
1 1
z 1 z 1
2
{tan( 0.1 )}2
2
tan(
0.1
)
1 1
z z
1 1
{tan(
0.1
)}2
1
0.0676(1 z1)2 1.1421z1 0.4124
z
2
6.5 双线性变换法
例3. 用双线性变法设计一个BW低通数字滤波器， 要求:通带截止频率为6kHz，通带最大衰减3dB; 阻带起始频率为12kHz，阻带最小衰减25dB， 取样频率为48kHz。
2008
(2)利用
2 T
tan(
2
)计算出 p及r；
(3)得到模拟滤波器H (s)；
(4)经H
(
z)
H
(s)
s 2 T
1 1
z1 z1
，就得到数字滤波器H
(z)。
6.5 双线性变换法
例1. 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通
滤波器，采样频率为 fs= 4 kHz，其3dB截止频率
为fc=1 kHz。 三阶模拟巴特沃思滤波器为
H
(s)
3c
3c 2c2s 2cs2
s3
解: (1)确定数字域截止频率
c 2fcT 0.5
(2)确定预畸变的模拟滤波器的截止频率
c
2 T
tan(c
2
)
2 T
tan( 0.5
2
)
2 T
6.5 双线性变换法
(3)将Ωc代入三阶模拟巴特沃思滤波器H (s)
H (s)
3c
3c 2c2s 2cs2
s3
回顾脉冲响应不变法映射特点：
j
Im[z]
3
T
T
0
1 Re[z]
T
3
S平面
T
Z平面
T,极点z esT
希望：单值映射
j
压缩
0
?
s?z
S平面
j1
Im[z]
T
1
1
0 1
Re[z]
T
1T , z es1T
S1平面
Z平面
6.5 双线性变换法
选择
2 T
tan
1T 2
即：j
2 T
e j1
T 2
(4)确定数字滤波器的系统函数
1 3z1 3z2 z3
H(z) H(s)
s
2 T
1 1
z 1 z 1
6 2z2
6.5 双线性变换法
例2. 用双线性变换法设计一个BW低通数字滤波器
要求：截频3dB带宽 c 0.2 阻带边界频率 r 0.4 , Ar 10dB
设取样频率 fs =1Hz
解: (1)确定预畸变的模拟滤波器的截止频率
z 1 z 1
(1)
z T
(2)
2 s T
6.5 双线性变换法
将z e j代入式（1），可得
s
2 T
1 1
e e
j j
j
2 T
tan(
2
)
j
2 tan( )
T2
即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。
6.5 双线性变换法
将s j代入式（2）
2 j
得z
T 2
j
T
| z |
2 T
1 Hn (s) 1 2.6131s 3.4142s2 2.6131s3 s4
H
(s)
c4
2.61313c s
c4 3.4142c2s2
2.6131c s3
wenku.baidu.com
s4
（3）将模拟滤波器转换为数字滤波器
0.029(1 z1)4
H
(z)
H
(s)
|s
2 T
1 1
z1 z1
2.882
5.768z1
5.997 z 2