清华版线性代数第四章

T
α 3 = β 1 = ( 0 −1 1 0 ) ( β 2 ,α 3 ) T α4 = β 2 − α 3 = ( 1 −1 − 1 1 ) (α 3 ,α 3 ) 四、不唯一
T
五、给定齐线性方程组： x1 + 2 x2 − x3 = 0 2 x1 + 4 x2 − 2 x3 = 0 求，其解空间的一组标准正交基. 解： 1 2 − 1 1 2 −1 A= → 0 0 0 2 4 −2 −2 1 5 −2 1 正交化： 2 5 1 α = 0 β1 = 1 β 2 = α1 = 2 0 1 0 1
1 0 0 的行向量组是 二、给定两个矩阵 1 0 0 A = 0 1 1 B = 0 2 0 0 3 − 1 0 0 2 向量组哪个是 2 A 试问 A + B、 − B、 A − B的行(列) R 的两组基， R 一组基. 2 0 0 解：A + B = 0 3 1 不是 0 3 1
3 3
0 0 A − B = 0 −1 0 −3 1 0 0 0 2A − B = 0 −3
0 1 不是 3 0 是 2 5
α 2 = ( −1,1,1,1)T 三、设R 中的两个向量 α1 = (1, 2,0,1) 线性无关，试将其扩充为R4 的一组基. α = ( x1 , x2 , x3 , x4 )T 解：设 (α ,α 1 ) = α Tα 1 = x1 + 2 x2 + x4 = 0 (α ,α 2 ) = α Tα 2 = − x1 + x2 + x3 + x4 = 0
4
T
⇒ α 3 = ( −2 1 −3 0 )
T
⇒ α 4 = ( −1 0 −2 1 )
T
1 2 1 四、给定三维向量空间R 的两组基：1 = 0 α 2 = 1 α 3 = 1 α 1 0 1 2 2 1 与 2 β = 2 β = − 1 β1 = 2 3 − 1 − 1 −1 (1) 由基α 1、α 2、α 3 到基 β 1、β 2、β 3的过渡矩阵； (2) 求向量 α = (3 , 1 , − 2) 在这两组基下的坐标. 解： 3 3 (3 1 −2) −2 − 2 2 1 5 3 (− − ) 3 3 2 2 2 A= 1 2 2 1 5 1 − 2 2
0 ≤ θ ≤ 1800 ∴θ1 = θ 2
T 是实对称矩阵， 正交矩阵， 五、试证：若 A 是实对称矩阵， 正交矩阵，则 T −1 AT 试证：
也是对称矩阵. 也是对称矩阵. 证明： 证明：AT = A T T T = E −1 T T −1 T T T (T AT ) = ( AT ) (T ) = T A T = T −1 AT 证明： 阶上三角正交矩阵， 六、证明：若 A 是 n 阶上三角正交矩阵，则 A是对角矩阵 且主对角线上的元素是 ±1 . T 证明： 证明：A 正交 AT = A−1 A A= E T A 上三角 下三角 A−1 上三角 A ∴ A 是对角矩阵 1 a1 a1 a1 = A −1 ∴ AT = ⋱ = ⋱ A= ⋱ 1 an an a
3
习题二 向量的内积 一、设 n 维实向量α , β 的内积组成的行列式 (α ,α ) (α , β ) G (α , β ) = ( β ,α ) ( β , β ) G (α , β ) = 0 的充要条件是α , β 线性相关. ，则 证明：必要性 ∵ G (α , β ) = 0 ∴ G 行向量之间线性相关 即 k ((α ,α ),(α , β )) = (( β ,α ),( β , β )) ( k (α , α ), k (α , β )) = (( β , α ),( β , β )) (( kα , α ),( kα , β )) = (( β , α ),( β , β )) ( kα , α ) = ( β , α ) ( kα − β , α ) = 0 ∴ k ( kα − β , α ) = k 0 ∴ ∴ ( kα , β ) = ( β , β ) ( kα − β , β ) = 0 ∴ ( kα − β , kα ) = 0 ∴ ( kα − β , kα − β ) = 0 ∴ kα − β = 0 ∴ α , β 线性相关 充分性 ∵ α , β 线性相关 ∴ kα = β (α ,α ) (α , β ) G (α , β ) = ( β ,α ) ( β , β )
单位化：
−2 5 1 η1 = 1 5 β 2 = 2 0 5
30 30 30
习题三 正交矩阵 均为正交矩阵， 是正交矩阵， 一、若 A , B均为正交矩阵，则 AB 是正交矩阵，并问 A + B 并证明你的结论. 是否是正交矩阵， 是否是正交矩阵， 证明: AT A = E , B T B = E ( AB )T ( AB ) = B T AT AB = E 则 AB 是正交矩阵 ( A + B )T ( A + B ) = ( AT + B T )( A + B ) T T T T = 2 E + AT B + B T A = A A+ A B + B A+ B B A 的一个基， 二、设α1 ,α 2 ⋯α n 是 R n 的一个基， = (aij )n×n 为可逆矩阵， 则 Aα1 , Aα 2 ⋯ Aα n 是 R n 的基. 的基. ∵ 证明： 证明： α 1 ,α 2 ⋯α n是一个基，则 α1 ,α 2 ⋯α n ≠ 0 是一个基， A(α 1 ,α 2 ⋯α n ) = ( Aα 1 , Aα 2 ⋯ Aα n ) A(α 1 ,α 2 ⋯α n ) = ( Aα 1 , Aα 2 ⋯ Aα n ) A (α 1 ,α 2 ⋯α n ) = ( Aα 1 , Aα 2 ⋯ Aα n ) ≠ 0 ∴ Aα 1 , Aα 2 ⋯ Aα n 线性无关 任意n维向量均可由 Aα 1 , Aα 2 ⋯ Aα n 线性表示
β1 η1 = β1
β3 η3 = β3
2 5 = 1 5 0 13 = −2 3 23
−2 3 5 β2 η2 = =4 3 5 β2 5 3 5
α = (2 , 3 , 4)T 在该标准基之下的坐标.
n
i =1
{
}
加法： + β = ( x1 + y1 ⋯ xn + yn ) ∈ V α k 数乘： α = ( kx1 ⋯ kxn ) ∈ V (2)(α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (1) 满足： α + β = β + α (3)α + 0 = α (4)α + ( −α ) = 0 (5)( k + l )α = kα + lα (6)k (α + β ) = kα + k β (7)( kl )α = k ( lα ) (8)1α = α 这个向量空间是 x1 + ⋯ + xn = 0 的解空间 A = (1 ⋯ 1) α1 = ( −1 1 ⋯ 0) α n−1 = ( −1 ⋯ 0 1) α 2 = ( −1 0 1 ⋯ 0) 维数：n − 1
证明： 阶正交矩阵， 三、若 A = (aij )n×n 为 n 阶正交矩阵，A = 1 . aij = Aij ( i , j = 1, 2⋯ n ) 其中 Aij 为行列式 A 中元素 aij 的代数 余子式. 余子式. 证明： 正交矩阵 A = 1 A A* A −1 = = A* = AT A a11 ⋯ an1 A11 ⋯ An1 ⋮ = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a ⋯ a A ⋯ A nn nn 1n 1n
∴ ai = ±1

n

自测题 一、选择题 3 1．由 R 的基ξ 1 , ξ 2 , ξ 3到 ξ 3 , ξ1 − ξ 2 , ξ 2 基的过渡矩阵 P 为 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 (A) （ （B） 0 1 0 C）0 −1 1（D）0 −1 1 0 1 0 1 0 0 0 −1 1 1 0 0 0 0 1 阶正交矩阵， 2． A, B 均为 n 阶正交矩阵，则 AB （A） , A + B都是正交矩阵 ； AB是正交矩阵， A 不是正交矩阵； （B） 是正交矩阵， + B 不是正交矩阵； AB不是正交矩阵， 是正交矩阵； （C） 不是正交矩阵， + B 是正交矩阵； A AB 都不是正交矩阵. （D） , A + B都不是正交矩阵. 是正交矩阵， 3．设 H 是正交矩阵，则 (A) H = E （B）H = 1 （C） T = H −1（D）H 〉 0 H
7 28 4 ( , , ) 5 3 5 3
α 2 = (1,0,0, −1)T 正交，求非零向量 三、给定α1 = (1,1,1,1) α 3、α 4 使 α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 两两相交. α = ( x1 , x2 , x3 , x4 )T 解：设： (α ,α 1 ) = x1 + x2 + x3 + x4 = 0 (α ,α 2 ) = x1 − x4 = 0 T T β 1 = ( 0 −1 1 0 ) β 2 = ( 1 −2 0 1 )
第四章 向量空间
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
习题一 向量空间 一、证明集合V = ( x1 , x2 ⋯ xn−1 , xn ) ∑ xi = 0 是一个向量 i =1 空间，并求它的一组基及其维数. n n 证明： = ( x1 ⋯ xn ) ∈ V ∑ xi = 0 β = ( y1 ⋯ yn ) ∈ V ∑ yi = 0 α i =1