大学数学概率统计课后习题解答

大学数学概率与数理统计课后习题详解

习题一解答

1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：

(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；

(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}；

(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。

解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A .

(2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则

},2,1,0|{ΛΛ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .

(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则

)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .

2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：

(1)B A Y ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B Y ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A Y 是必然事件；

(2) φ=AB 是不可能事件；

(3) =AC {取得球的号码是2，4}； (4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}； (5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}； (6) ==C B C B I Y {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}

3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A Y ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A Y .

解 (1) ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A Y ; (2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A I 21210或⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x Y ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ； (4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或Y Y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件

C B A ,,的运算关系式表示下列事件：

(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）；

(2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）；

(3) 所有三个事件都出现（记为3E ）；

(4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）；

(5) 三个事件都不出现（记为5E ）；

(6) 不多于一个事件出现（记为6E ）；

(7) 不多于两个事件出现（记为7E ）；

(8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。

解 (1)C B A E =1； (2)C AB E =2；

(3)ABC E =3； (4)C B A E Y Y =4； (5)C B A E =5； (6)C B A C B A C B A C B A E Y Y Y =6； (7)C B A ABC E Y Y ==7；(8)BC AC AB E Y Y =8.

5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设i A 表示事件“第i 次抽到废品”，3,2,1=i ，试用i A 表示下列事件：

(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；

(2) 只有第一次抽到废品；

(3) 三次都抽到废品；

(4) 至少有一次抽到合格品；

(2) 只有两次抽到废品。

解 (1)21A A Y ； (2)321A A A ； (3)321A A A ； (4)321A A A Y Y ； (5)321321321A A A A A A A A A Y Y .

6. 接连进行三次射击，设i A ={第i 次射击命中}，3,2,1=i ，=B {三次射击恰好命中二次}，=C {三次射击至少命中二次}；试用i A 表示B 和C 。

解 321321321A A A A A A A A A B Y Y = 323121A A A A A A C Y Y =

习题二解答

1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

解 这是不放回抽取，样本点总数⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=350n ，记求概率的事件为A ，则有利于A 的样本点数⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15245k . 于是

39299!2484950!35444535015245)(=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==n k A P 2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求

(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；

(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率；

(3) 二次取得的球为红、白各一的概率；

(4) 第二次取到红球的概率。

解 本题是有放回抽取模式，样本点总数27=n . 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为D C B A ,,,.

(ⅰ)有利于A 的样本点数25=A k ，故 492575)(2

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=A P (ⅱ) 有利于B 的样本点数25⨯=B k ，故 49107

25)(2=⨯

=B P (ⅲ) 有利于C 的样本点数252⨯⨯=C k ，故 49

20)(=C P (ⅳ) 有利于D 的样本点数57⨯=D k ，故 754935757)(2==⨯

=D P . 3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。

解 本题是无放回模式，样本点总数56⨯=n .

(ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为32⨯，所求概率为 5

15632=⨯⨯. (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22⨯，所求概率为 15

25622=⨯⨯. 4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：

(1) 2只都合格；

(2) 1只合格，1只不合格；

(3) 至少有1只合格。

解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为C B A ,,，则

522562342624)(=⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A P