向量的混合积

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例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2abcos
证: 如图 . 设
CB a, C A b, AB c
则
Ab
c
C
Ba
c 2 (a b)(a b) aa bb2ab
a 2 b 2 2 a b cos
a a ,b b ,c c
c2 a2 b2 2abcos
第七章
第二节 数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
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一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
WF
s
cos
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4. 向量积的坐标表示式
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k ,
则
( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k )
axbx ( i i )
ayby ( j j )
azbz ( k k )
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
a b cos , 得
cos
axbx ayby azbz
ab
a
2 x
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
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例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2),
求三角形 ABC 的面积
解: 如图所示,
B
S ABC
1 2
AB
AC sin
1 AB AC 2
A
C
i jk
1 2 2 21 2
2 4
1 2
( 4,6,
2)
1 42 (6)2 22 2
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的夹角为 求单位时间内流过该平面域的流
体的质量P (流体密度为 ) .
解: P v
为单位向量
A vn
A
单位时间内流过的体积
v
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二、两向量的向量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆 夹角为 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F
(2) a ,b为两个非零向量, 则有
ab 0
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a 0, b 0 则 ab 0
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3. 运算律
(1) 交换律 (2) 结合律
ab
a ( b)
(a b)
( a ) ( b) a ( b)
c
(3) 分配律
(ab)
作用在杠杆上的力矩是一个向量 M :
F
M OQ F OP F sin O
OP F M 符合右手规则
P L
M OP
F
Q
M F
o P OQ OP sin
M
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1. 定义
设 a , b的夹角为 ，定义
向量 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则
求 AMB .
解: MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1 )
A
则 cos AMB MA MB MA MB
10 0 22
故
AMB
B M
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例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量
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4. 数量积的坐标表示
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k ,
则
( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k )
i j jk ki 0
a b axbx ayby azbz
Pr jc a Pr jc b Pr jc ( a b)
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
Fra Baidu bibliotek
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
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1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
记作
ab
M1 s
M2
W F s
为a与b的数量积 (点积) .
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b
在
a
上的投影为
b
记作 Pr ja b
故
a b a Pr ja b
同理,当 b 0 时,
2. 性质
(1) a a
模 : c a b sin
称 c 为向量 a 与b 的向量积 , 记作
b
c a b (叉积)
a
引例中的力矩 思考: 右图三角形面积
S＝
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c ab
a b
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2. 性质
(1) a a 0
(2) a , b为非零向量, 则 a b 0
(aybz azby ) i (azbx axbz ) j
k
(axby aybx ) k
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ij
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向量积的行列式计算法
(aybz azby ) i (azbx axbz ) j (axby aybx ) k
i jk ax ay az
a∥ b
证明: 当a 0, b 0 时,
ab 0
3. 运算律
a b sin 0 sin 0，即 0 或
a∥ b
(1) a b b a
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(证明略)
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
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bx by bz
a ax i ay j az k b bx i by j bz k
ax az , bx bz
( 行列式计算见 P339～P342 )
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例4. 已知三点 A(1, 2,3), B(3, 4,5),C( 2, 4 ,7 ),