(精心整理)初升高数学衔接教材(完整)

第一讲 数与式

1、 绝对值

（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式

①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。

②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。

③22

()()()()f x g x f x g x >⇔>。 （2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：

①找到使多个绝对值等于零的点．

②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式354x -<的解集

例2.求不等式215x +>的解集

例3.求不等式32x x ->+的解集

例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．

例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．

例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习

解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x -+-＞4+x

（2）|x +1|<|x －2| （3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -<

(5)578x +>

3、因式分解 乘法公式

（1）平方差公式 2

2

()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 2

2

2

()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2

2

3

3

()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2

2

3

3

()()a b a ab b a b -++=-

（5）三数和平方公式 2

2

2

2

()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b -=-+-

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法 例1 分解因式：

（1）x 2

－3x ＋2； （2）2

672x x ++

（3）22

()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

2．提取公因式法

例2.分解因式：

（1）()()b a b a -+-552

（2）32

933x x x +++

3．公式法

例3.分解因式： （1）164

+-a （2）()()2

2

23y x y x --+

4．分组分解法

例4.（1）x y xy x 332-+- （2）22

2456x xy y x y +--+- 5．关于x 的二次三项式ax 2

+bx +c (a ≠0)的因式分解．

若关于x 的方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2

(0)ax bx c a ++≠就可分

解为

12()()a x x x x --.

例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）2

21x x +-； （2）2

2

44x xy y +-．

练习

（1）2

56x x -- （2）()21x a x a -++ （3）2

1118x x -+

（4）24129m m -+ （5）2

576x x +- （6）2

2

126x xy y +-

（7）()()3211262

+---p q q p （8）2

2365ab b a a +- （9）()

2

2244+--x x

（10）122

4+-x x （11）by ax b a y x 222

222++-+-

（12）9126442

2++-+-b a b ab a (13)x 2

－2x －1

（14） 31a +； （15）42

4139x x -+；

（16）22

222b c ab ac bc ++++； （17）2

2

35294x xy y x y +-++-

第二讲 一元二次方程与二次函数的关系

1、一元二次方程 (1)根的判别式

对于一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:

（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2