梁弯曲时横截面上的正应力教学提纲

梁弯曲时横截面上的
正应力
梁弯曲时横截面上的正应力
在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。

1、纯弯曲与横力弯曲
从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。

画其剪力、弯矩图（见图2-
53b、c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力F Q同时存在，故梁在这些段内发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。

在其CD段内各段截面，只有弯矩M而无剪力F Q，梁的这种弯曲称为纯弯曲。

2、梁纯弯曲时横截面上的正应力
如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。

此时可以观察到如下变形现象：
⑴横向线m —m 和n —n 任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。

⑵纵向线a —a 和b —b 弯成了曲线，且a —a 线缩短，而b —b 线伸长。

由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。

可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。

从图2-54b 中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c ）。

中性层与横截面的交线称为中性轴。

梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。

由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。

⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。

根据胡克定律，它们的正应力也必相等。

⑶在图2-54b 所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。

⑷横截面上的正应力沿y 轴呈线性分布，即ky =σ（k 为特定常数），如图2-55、图2-56所示。

最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。

由于距离中性层上、下的纵向纤维的线应变与到中性层的距离y 成正比，当其正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知
y E
y
E E •=
•
=•=ρ
ρεσ
2-24
对于指定的横截面，
ρ
E
为常数（即为上述k 的值）看，由于此时梁轴线的曲率
半径ρ还是一个未知量，通过静力学平衡关系∑z F )(=0，可得
图2-55
正应力分布图
图
2-56 梁纯弯曲时横截面上的内力和应力
⎰=A
M ydA σ
2-25
将公式(2-24)代入（2-25），得
M dA y E
dA y E
A
A
==
⎰
⎰
22ρρ
令
dA y I A
z ⎰=2
为截面对中性轴z 轴的轴惯性矩)(4mm ，则
z
EI M =ρ
1 这是研究梁变形的一个基本公式，式中z EI 称为梁的抗弯刚度。

将公式（2-26）代入（2-24），即得到梁在纯弯曲时截面上任一点处的正应力计算公式：
z
I My
=
σ
为计算梁横截面上的最大正应力，可定义抗弯截面系数m ax
y I W z
z =，则式（2-27），可写作：
z
W M =
max σ 式中 M ——截面上的弯曲（N ·mm ）；
W z ——抗弯截面系数（mm 3）.
I z 和W z 是仅与截面几何尺寸有关的量，常用型钢的I z 和W z 可在有关设计手册中查得。

式（2-27）和（2-28）是由梁受纯弯曲变形推导出的，但只要梁具有纵向对称面，且载荷作用在其纵向对称面内，梁的跨度又较大的，横力弯曲也可以应用上述两式。

当梁横截面上的最大应力大于材料的比例极限时，公式不在适用。

3、惯性矩和抗弯截面系数的计算 梁常见横截面的I z 、W z 计算公式表2-2。