圆环染色问题的公式解法

惯性矩的计算方法

I等．I等是从不同角度反映了截 S，其数学表达式 (4 -1a ) (4-1b) (4 -2a )

(4-2b) 式中y、z 为截面图形形心的坐标值．若把式(4-2) 改写成 (4-3) 性质： ?若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心． ?若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零． ?由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。 4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形( 如矩形、圆形等) 组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩(S) 与形心坐标(y、z ) 时，可用以下公式 (4-4) (4-5) 式中A，y ，z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值，n 为组成组合图形的简单图形个数．即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的．例4-1 已知T 形截面尺寸如图4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．

、两个矩形，则设任一截面图形( 图4 — 3) ，其面积为A ．选取直角坐标系yoz ，在坐标为(y 、z) 处取一微小面积dA ，定义此微面积dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩I．微面积dA 乘以到坐标轴y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对y 轴的惯性矩I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩．数学表达式为

极惯性矩(4-6) 对y 轴惯性矩(4 -7a ) 同理，对z 轴惯性矩(4-7b) 由图4-3 看到所以有即(4-8) 式(4 — 8) 说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。在任一截面图形中( 图 4 — 3) ，取微面积dA 与它的坐标z 、y 值的乘积，沿整个截面积分，定义此积分为截面图形对y 、z 轴的惯性积，简称惯积．表达式为 (4-9) 惯性矩、极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方．I,I,I恒为正值．而惯性积I其值能为正，可能为负，也可能为零．若选取的坐标系中，有一轴是截面的对称轴，则截面图形对此轴的惯性积必等于零．当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时，称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴．对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩．而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴( 或称主形心惯轴) ．截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩( 或称主形心惯矩) ．例如，图4-4 中若这对yz 轴通过截面形心，则它们就是形心主惯性轴．对这两个轴的惯性矩即为形心主惯性矩．

《圆环的面积》教学设计

《圆环的面积》教学设计教学内容：（人教版）六年级上第69页例题2圆环面积的计算。教学目标： 1、认识圆环的特征，掌握圆环面积的计算方法，合理地进行计算。 2、在详尽的教学情境中，培养和发展学生的逻辑推理和抽象概括能力。 3、结合教学渗透爱国主义教育。教学重难点：圆环的特征、圆环面积公式的推导及运用。教学准备：多媒体软件、剪刀，圆规、卡纸。教学过程：一、激情导趣，引入新课。１、多媒体出示中国取得申办2008年奥运的片段。问：你们知道了什么？然后出示奥运会旗——五环标志。 2、展示五环的图片。提问：你们思考一下，这个五环图是怎样制作出来的？生：剪出五个圆圈贴在一起。生：剪出颜色例外的五个圆环按顺序贴在一起。师：像这样的一个环，在教学上我们把它叫做“圆环”。所以，今天我们就一起来学习有关圆环的知识。揭示课题——圆环的面积。（板书） [设计理念：以奥运的申办为切入点，创设情境，激发学生的学习兴趣，同时又可以对学生进行爱国主义教育，创设的“怎样制作奥运会旗五环图”问题，

确凿地捕捉了圆环的生活原型，为新知的探索定下了浓重的现实基调，从而精巧地揭示了这一节课的课题。] 二、实践操作，探究圆环的特征。（一）让学生动手操作画圆环。 1、提问：五环标志就是由五个大小一样的圆环构成的，那么这样的一个圆环，你们能把它做出来吗？生：能。 2、四人小组合作交流，动手制作圆环。 3、小组汇报，展示成果。 [设计理念：给学生提供动手操作与交流的时空，通过例外制作方法的展示，让学生初步感知圆环的特点。] 4、分析制作方法，找出出圆环的特征。 5、概括圆环的概念及圆环各部分的名称。 6、找出圆环的內圆半径和外圆半径。 7、展示生活中圆环的物品。（电脑演示图片附音乐） 8、学生操作画圆环，展示交流。 [设计理念：通过比较，让学生提高分析的能力。从动手操作和判断辨析两个层次建立圆环的特征，并完成归纳的过程，层层感悟、体验，使学生对概念的理解更充分；让学生欣赏生活中圆环的图片，可以激发学生学习的兴趣，同时让学生发现我们的生活中处处有数学知识的存在。] 三、深入探究，学习圆环的面积 1、利用学生画出的圆环，让他们同桌互相比较大小。 2、汇报结果。

极惯性矩常用计算公式

极惯性矩常用计算公式：Ip=∫Aρ^2dA 矩形对于中线(垂直于h边的中轴线)的惯性矩：b*h^3/12 三角形：b*h^3/36 圆形对于圆心的惯性矩：π*d^4/64 环形对于圆心的惯性矩：π*D^4*（1-α^4)/64;α=d/D §16-1 静矩和形心平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。定义式：，(Ⅰ-1）量纲为长度的三次方。由此可得薄板重心的坐标为同理有所以形心坐标，（Ⅰ-2）或，

由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零，即，；，则；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第i块分图形的面积为，形心坐标为，则其静矩和形心坐标分别为，（Ⅰ-3），（Ⅰ-4）【例I-1】求图Ⅰ-2所示半圆形的及形心位置。【解】由对称性，，。现取平行于轴的狭长条作为微面积所以读者自己也可用极坐标求解。

【例I-2】确定形心位置，如图Ⅰ-3所示。【解】将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为矩形Ⅰ：mm2 mm，mm 矩形Ⅱ：mm2 mm，mm 整个图形形心的坐标为 §16-2 惯性矩和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。，(Ⅰ-5) 量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义，(Ⅰ-6) 为图形对轴和对轴的惯性半径。

惯性矩总结(含常用惯性矩公式)

惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力。惯性矩的国际单位为(m^4)。工程构件典型截面几何性质的计算 2.1面积矩 1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1) (2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。 2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2) (2—2.2) 或改写成，如式(2—2.3) (2—2.3) 面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。

图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。 3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4) (2—2.4) 式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。 (2—2.5) 2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积 1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6) (2—2.6) 极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。 (1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7) (2—2.7) (2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8) (2—2.8) 式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点： (一).截面静矩和形心 1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 ydA dSx xdA dS y ==整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ??==A A y ydA Sx xdA S （I-1）2.形心与静矩关系图I-1 设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0 A S y x = ， A S x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为

∑∑∑∑========n i n i i i xi x n i i i n i yi y y A S S x A S 1 1 11S （I-3）截面图形的形心坐标为 ∑∑=== n i i n i i i A x A x 1 1 ， ∑∑=== n i i n i i i A y A y 1 1 （I-4） 4.静矩的特征 (1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为3m 。 (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。（二）.惯性矩惯性积惯性半径 1. 惯性矩定义设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为 ?=A p dA I 2ρ （I-5）图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 ?=A y dA x I 2 ， dA y I A x ?=2 （I-6）惯性矩的特征（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐

附录A 极惯性矩与惯性矩

= 附录 A 极惯性矩与惯性矩题号页码 A-1 (1) A-3 ........................................................................................................................................................2 A-4 ........................................................................................................................................................3 A-6 ........................................................................................................................................................4 A-7 ........................................................................................................................................................4 A-8 .. (5) (也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解) A-1 试确定图示截面形心 C 的坐标 y C 。题 A-1 图 (a)解：坐标及微面积示如图 A ? 1 (a)。由此得 d A =ρ d ?d ρ R α ∫ y d A ∫ ∫ ρ cos ? ?ρ d ?d ρ 2R sin α y C = A A ?α R α ∫ ∫ = ρ d ?d ρ 3α ?α (b)解：坐标及微面积示如图 A ? 1 (b)。

惯性矩总结含常用惯性矩公式

惯性矩总结含常用惯性矩公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

(2—2.3) 面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。 3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4) (2—2.4) 式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。 (2—2.5) 2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积 1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6) (2—2.6) 极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。

惯性矩的计算方法

I等． I等是从不同角度反映了截 S，其数学表达式 (4 -1a ) (4-1b) (4 -2a )

(4-2b) 式中 y、 z 为截面图形形心的坐标值．若把式 (4-2) 改写成 (4-3) 性质： ?若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心． ?若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零． ?由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。 4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形 ( 如矩形、圆形等 ) 组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩 (S) 与形心坐标 (y、 z ) 时，可用以下公式 (4-4) (4-5) 式中 A， y ， z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值， n 为组成组合图形的简单图形个数．即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的．例 4-1 已知 T 形截面尺寸如图 4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．

、两个矩形，则设任一截面图形 ( 图 4 — 3) ，其面积为 A ．选取直角坐标系 yoz ，在坐标为 (y 、 z) 处取一微小面积 dA ，定义此微面积 dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩 I．微面积 dA 乘以到坐标轴 y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对 y 轴的惯性矩 I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩．数学表达式为

惯性矩的定义和计算公式

惯性矩的定义 ●区域惯性矩-典型截面I ●区域惯性矩，一个区域的惯性矩或典型截面轮廓的第二个区域惯性矩 ●面积惯性矩或面积惯性矩-也称为面积二阶矩-I，是用于预测梁的挠度、弯曲和应力的形状特性。 ●面积惯性矩-英制单位 ●inches4 ●面积惯性矩-公制单位 ●mm4 ●cm4 ●m4 ●单位转换 ● 1 cm4 = 10-8 m4 = 104 mm4 ● 1 in4 = 4.16x105 mm4 = 41.6 cm4 ●示例-惯性单位面积矩之间的转换 ●9240 cm4 can be converted to mm4 by multiplying with 104 ●(9240 cm4) 104 = 9.24 107 mm4 ●区域惯性矩（一个区域或第二个区域的惯性矩） ● ●绕x轴弯曲可表示为 ●I x = ∫ y2 dA (1) ●其中

●I x =与x轴相关的惯性矩面积(m4, mm4, inches4)●y =从x轴到元件dA的垂直距离(m, mm, inches)●dA =基元面积(m2, mm2, inches2) ●绕y轴弯曲的惯性矩可以表示为 ●I y = ∫ x2 dA (2) ●其中 ●I x =与y轴相关的惯性矩面积(m4, mm4, inches4)●x =从轴y到元件dA的垂直距离(m, mm, inches)●典型截面I的面积惯性矩 ●典型截面II的面积惯性矩 ●实心方形截面 ● ●实心方形截面的面积惯性矩可计算为 ●I x = a4 / 12 (2) ●其中 ● a = 边长(mm, m, in..) ●I y = a4 / 12 (2b) ●实心矩形截面

圆环的面积教学设计

圆环的面积教学设计教学目标： 1、认识圆环的特征，掌握圆环面积的计算方法并学会运用。 2、在详尽教学情境中，培养学生的动手操作能力，观察能力和想象能力，建立初步的空间观念。 3、通过学习，让学生感受圆环的图形之美，体验数学思想方法的精巧，感受数学的魅力,激发学生对数学的心爱教学重点：掌握环形面积的计算方法并利用这一模型解决实际问题。教学难点：理解环形的形成过程,形成环形的空间观念。教具准备：光盘、圆环图纸、教学课件一套。学具准备：圆规、图纸、直尺等。教学设计一、谈话导入。 1、同学们喜欢玩游戏吗?（出示飞镖靶图片）这个游戏知道吗？玩过吗？如果让你们现在来玩这个游戏，你最想让飞镖掷入镖靶的哪个位置？说说你的理由。如果运气不太好，掷入不了中间10分的位置，你还希望掷入哪个位置？你最不希望掷入哪个位置？ 2、引出课题。课件抽象出圆环图，指出像这样的两个圆之间的部分，在数学上我们把它叫做“圆环”。二、探究圆环的特征。 1、了解交流圆环。（1）判断圆环。课件展示出示三幅图。师：上图中哪幅是圆环？

师：怎样才能使小圆凑巧在大圆的正中间？生：大圆和小圆的圆心在同一个点上。（同心圆）（3）再次完善一个圆环具有哪些特点？生：同心圆。生：两个圆间的距离处处相等。 2、认识圆环各部分。结合前面的特点小结：圆环就是由在同一个圆心的大小两个例外的圆构成的。为了区分这两个圆，我们可以给它们分别取个名字，圆环中较大的圆可以叫什么？外圆。圆环中较小的圆可以叫做什么？内圆。环宽：两个圆之间的宽度叫做环宽。 3、我们认识了圆环，你知道生活中哪些物体的表面是圆环形的？生：光盘、透明胶、机器零件、轮胎等等。欣赏：课件展示生活中的圆环古希腊一位数学家曾经说过：在一切平面图形中，圆是最美丽的。而圆环又把圆的美丽演绎得更加精彩缤纷。三、探究圆环的面积。 1、画圆环。（1）师：我们欣赏了这么多的圆环，想不想现场也画一个圆环呢？学生动手操作画圆环。为了看得更清晰，可以涂上阴影。（2）展示学生作品，并说说是怎样画的？生1：先用圆规画了一个大圆，然后缩短圆规两脚间的距离，圆心不变，再画一个小圆，最后涂上阴影就得到圆环。

小学五年级数学“环形面积计算”教案

小学五年级数学“环形面积计算”教案师：我们已学习了圆的面积计算，圆的面积怎样计算? 生：S圆=Пr2(板书) 师：求圆的面积一般需要知道什么条件? 生：一般需要知道圆的半径。师：下面口答几题求圆的面积。 (1)r=5cm；(2)d=6dm；(3)C=12.56m (生答略) [评：以上复习题的练习目的在于帮助学生熟练掌握用S=Пr2公式计算圆的面积，为学生探求环形面积计算的教学做好铺垫准备。] 二、情境导入，实践感悟师：圆的面积计算，同学们掌握得比较好，今天我们继续学习与圆面积有关的图形面积计算。师：(教具演示)同学们仔细观察，老师手里拿的什么图形?(生答：圆形)从这个圆的中心取出与它同圆心的小圆后，剩下的图形就叫做环形。整个的大圆叫做环形的外圆，中心的小圆叫做内圆。

师：谁能把刚才观察到的情况向大家说一说。(生答略)环形的内圆和外圆有什么相同的地方? 生：环形的内圆和外圆都是同一圆心。师：你观察得真细致!环形的外圆和内圆是同圆心的圆。同学们在日常生活中见到哪些物体的面是环形? 生：垫圈、水管，游泳圈和轮胎的横截面都是环形。师：(拿出课前准备好的空心圆柱零件，钢管、垫圈等实物让学生观看)今天这节课我们共同来研究环形面积的计算。(揭示课题：环形面积计算) (教师指导学生动手操作，将事先打印好的图形剪出一个环形) 师：谁能根据自己的动手操作，说一说是怎样得到这个环形的? 生：从大圆的中心，剪下一个同圆心的小圆就得到了一个环形。 [评：教师注重情境的创设，使学生印象深刻地掌握了环形的重要特征。通过学生自己操作得到环形的过程，引导学生动手剪，动眼

材料力学常用基本公式

材料力学常用基本公式 Prepared on 24 November 2020

1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积 A，拉应力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径 d，拉伸后试样直径d1） 6. 7.纵向线应变和横向线应变 8. 9.泊松比 10.胡克定律

11.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 12.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 13.轴向拉压杆的强度计算公式 14.许用应力，脆性材料，塑性材料 15.延伸率 16.截面收缩率 17.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 18.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 19.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 20.（b）空心圆 21.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）

22.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 23.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆 24.薄壁圆管（壁厚δ≤ R /10 ，R 为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式 25.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 26.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或 27.等直圆轴强度条件 28.塑性材料；脆性材料

29.扭转圆轴的刚度条件或 30.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式, 31.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 32.平面应力状态的三个主应力, , 33.主平面方位的计算公式 34.面内最大切应力 35.受扭圆轴表面某点的三个主应力，， 36.三向应力状态最大与最小正应力 , 37.三向应力状态最大切应力

圆环的面积计算

圆环面积计算刘文英教学内容：教科书第69页例题2。教学目标： 1、认识圆环的特征，理解并掌握圆环面积的计算方法并学会运用。 2、在具体教学情境中，培养学生动手操作能力和创新意识。 3、通过学习，学会从数学角度认识世界，解释生活，感受数学的魅力。教学重点：掌握圆环的特征、圆环面积计算公式的推导及运用。教学难点：灵活运用公式解决生活中的实际问题。教具准备：教学课件一套。学具准备：课前自制一个圆环。教学过程：一、复习 1、回忆圆面积的计算公式。 2、求圆面积（1）r＝2cm (2)d=8cm (3)C＝18.84cm （目的：让学生回顾圆的面积计算过程，为学习新知奠定基础。）二、新授 1、认识圆环（1）课件出示光盘，问：光盘的表面是什么形状？（2）学生举例哪些物体的表面或横截面是圆环。（3）课件出示一些表面或横截面是圆环的物体。（4）学生拿出课前制作好的圆环，在小组里介绍自己制作圆环的过程，再指名介绍。（5）课件演示圆环的制作过程，并归纳什么叫圆环。（6）课件出示三图：判断是否是圆环。（7）介绍圆环各部分的名称：外圆、内圆、外圆半径（R）、内圆半径（r）、环宽。（目的：借助光盘帮助学生直观地认识圆环，为学生学习圆环的面积作铺垫。接着安排认识生活中的圆环内容，让学生更多感受生活中的圆环，产生学习圆环的必要性。让学生课前通过画一画、剪一剪，建立环形的表象，体会环形的特点，并且课件再次演示圆环的制作过程和圆环概念的出示，为下面圆环面积计算作了充分的感性铺垫，这时圆环面积计算方法可以说呼之欲出了。） 2、公式推导（1）圆环面积怎么算呢？独立思考后，在小组里说一说。（2）用字母表示公式

惯性矩总结(含常用惯性矩公式)

惯性矩就是一个物理量,通常被用作描述一个物体抵抗扭动,扭转得能力。惯性矩得国际单位为(m^4)。工程构件典型截面几何性质得计算 2、1面积矩 1.面积矩得定义图2-2、1任意截面得几何图形如图2-31所示为一任意截面得几何图形(以下简称图形)。定义:积分与分别定义为该图形对z轴与y轴得面积矩或静矩,用符号S z与S y,来表示,如式(2—2、1) (2—2、1)面积矩得数值可正、可负,也可为零。面积矩得量纲就是长度得三次方,其常用单位为m3或mm3。 2.面积矩与形心平面图形得形心坐标公式如式(2—2、2) (2—2、2) 或改写成,如式(2—2、3) (2—2、3) 面积矩得几何意义:图形得形心相对于指定得坐标轴之间距离得远近程度。图形形心相对于某一坐标距离愈远,对该轴得面积矩绝对值愈大。图形对通过其形心得轴得面积矩等于零;反之,图形对某一轴得面积矩等于零,该轴一定通过图形形心。 3.组合截面面积矩与形心得计算组合截面对某一轴得面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩得代数与。如式(2—2、4) (2—2、4) 式中,A与y i、z i分别代表各简单图形得面积与形心坐标。组合平面图形得形心位置由式(2—2、5)确定。 (2—2、5) 2、2极惯性矩、惯性矩与惯性积

1.极惯性矩任意平面图形如图2-31所示,其面积为A。定义:积分称为图形对O点得极惯性矩,用符号I P,表示,如式(2—2、6) (2—2、6) 极惯性矩就是相对于指定得点而言得,即同一图形对不同得点得极惯性矩一般就是不同得。极惯性矩恒为正,其量纲就是长度得4次方,常用单位为m4或mm4。 (1)圆截面对其圆心得极惯性矩,如式(2—7) (2—2、7) (2)对于外径为D、内径为d得空心圆截面对圆心得极惯性矩,如式(2—2、8) (2—2、8) 式中,d/D为空心圆截面内、外径得比值。 2.惯性矩在如图6-1所示中,定义积分,如式(2—2、9) (2—2、9) 称为图形对z轴与y轴得惯性矩。惯性矩就是对一定得轴而言得,同一图形对不同得轴得惯性矩一般不同。惯性矩恒为正值,其量纲与单位与极惯性矩相同。同一图形对一对正交轴得惯性矩与对坐标原点得极惯性矩存在着一定得关系。如式2—2、10) I P=I z+I y (2—2、10) 上式表明,图形对任一点得极惯性矩,等于图形对通过此点且在其平面内得任一对正交轴惯性矩之与。表6-1给出了一些常见截面图形得面积、形心与惯性矩计算公式,以便查用。工程中使用得型钢截面,如工字钢、槽钢、角钢等,这些截面得几何性质可从附录得型钢表中查取。 3.惯性积如图2—32所示,积分定义为图形对y,、z轴得惯性积,用符号I yz表示,如式(2—11) 图2-2、2具有轴对称得图形 (2—11)

材料力学公式总结大全

材料力学材料力学的任务（1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。变形固体的基本假设（1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。应力： dA dP A P p A = ??=→?lim 正应力、切应力。变形与应变：线应变、切应变。杆件变形的基本形式（1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。失效原因：脆性材料在其强度极限 b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为： []3n s σσ=， []b b n σ σ=，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N max 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ?=ε，A P A N == σ。横向应变为：b b b b b -=?=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-=' 。胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ? 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。圆轴扭转时的应力变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ??? === 2 2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T ==max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤= t W T ，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。

圆的阴影面积与圆环、扇形面积

圆环、扇形的面积与组合图形面积目标指南； 1.理解圆环的意义，掌握圆环面积的计算方法，并能正确计算圆环的面积。 2.认识弧、圆心角、扇形，理解并掌握它们的意义。 3.掌握扇形面积的计算方法，并灵活运用。重点：掌握圆环和扇形面积的计算方法。难点：理解圆环和扇形面积公式的推导过程。教学过程：一、导入课题二、知识讲解知识点一：圆环的意义圆环也叫环形，它是指两个半径不相等的圆，当圆心重合时的两圆之间的部分。知识点二：圆环面积的计算在计算圆环的面积时，我们可以用外圆的面积减去内圆的面积，如果用R 表示外圆的半径，r 表示内圆的半径，S 表示圆环的面积，可以利用公式： ()2222r R S r R S -=-=πππ或求出圆环的面积。典型例题：有一个圆环如右图所示，内半径为5cm ，外半径为cm 8。求这个圆环的面积。思路导航：利用公式()2222r R S r R S -=-=πππ或直接求。列式一：3.14-?28 3.1425? 或列式二：3.14()2 258-? =3.14-?64 3.1425? =3.14()2564-? =200.96-78.5 =3.1439? =122.46（2cm ） =122.46（2cm ）答：这个圆环的面积是122.462cm 。巩固练习： 1.一个环形铁片，内圆半径是6cm ，环宽是4cm ，这个环形铁片的面积是多少？

2.一座雕塑的基座是圆形的，半径为15m，在它的周围植上5m宽的环形草坪。（1）草坪有多少平方米？（2）如果植1平方米草坪的成本为20元，那么植这块草坪至少要多少元？ 3.有一种环形垫图，外圆直径为12厘米，内圆半径为4厘米，这种环形垫图的面积是多少平方厘米？ 4.一草地上有一木桩，把一头牛用m 8长的绳子绑在木桩上，牛能吃多少平方米的草，若把绳子延长m 2，则牛能多吃多少平方米的草？ 5.公园里有一圆形花坛，直径是20米，绕花坛一周铺有一条宽2米的小路，小路的面积是多少平方米？ 6.求下面图中阴影部分的面积。

惯性矩计算方法

抗弯惯距和抗扭惯距的计算 2009-10-20 09:54 计算过上部的人都知道，在计算横向力分布系数和冲击系数的时候都需要计算截面的抗弯惯距和抗扭惯距，下面就介绍几种方法来计算抗弯惯距和抗扭惯距（本教程拿30米简支转连续箱梁截面做样例）：一、在AUTOCAD中有一个命令massprop可以计算截面的面积、周长、质心、惯性矩操作简介：1、首先在CAD中画出如下图的图形；2、用region命令将图形转化成内外两个区域；3、用subtract命令求内外区域的差集；4、用move命令将图形移动至（0，0，0），用scale命令将图形单位调整为米；5、用massprop命令计算截面性质（可惜这个命令不能计算抗扭惯距） Command: mas MASSPROP Select objects: 1 found Select objects: ---------------- REGIONS ---------------- Area（面积）: 1.2739 Perimeter（周长）: 13.7034 Bounding box（边缘）: X: -1.7000 -- 1.7000 Y: 0.0000 -- 1.6000 Centroid（质心）: X: 0.0000 Y: 1.0458 Moments of inertia: X: 1.7883 Y: 0.7922 Product of inertia: XY: 0.0000 Radii of gyration: X: 1.1848 Y: 0.7886 Principal moments and X-Y directions about centroid: I: 0.3950 along [1.0000 0.0000]这就是惯距 J: 0.7922 along [0.0000 1.0000] 第二种方法：采用桥博计算截面惯距操作简介：本人使用的是桥博3.03，大家可以新建一个项目组，在新建项目上右键选择截面设计，选择C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds,当前任务类型选择截面几何特征，在截面描述中清除当前截面（包括附加截面还有主截面里面的钢筋），选择“斜腹板单箱单室”（大家在可根据自己计算的截面选择相应的截面，如果桥博内置的截面没有的话，可以选用从CAD中导入，ＣＡＤ导入将在后面的教程中介绍）输入截面相应的数据（附图）输出结果附后 <<桥梁博士>>---截面设计系统输出文档文件: C:\Program

圆环的面积计算

《圆周长》案例李桂琴课上，学生四人一组围桌而坐。桌面上摆放着水杯、可乐瓶、圆形纸片、刻度尺、绳子和剪刀。师老师说：“龙潭湖公园有一个圆形花坛，为了保护花草，准备沿花坛围一圈篱笆，需要多长的篱笆呢？你们能帮助解决这个问题吗？请用手中的工具，小组合作探索周长的计算方法。”话音一落，学生们就忙开了。他们兴致勃勃的设想着各种方法，全身心投入到问题的探索之中。过了一会儿，小组代表开始发言。A组抢先说：“我们小组是把圆形纸片立起来放在刻度尺上滚动一圈，就测出了它的长度。” 师老师肯定了他们积极动手、动脑参与学习，但同时提出：“如果有一个很大的圆形水池，要求它的周长，能用你们小组的方法把水池立起来在刻度尺上滚动一圈吗？” “是啊，行吗？”A组的同学陷入了沉思。接着，B组代表有几分得意地向大家推荐自己小组的做法：“我们研究了一个好方法，先用绳子在水池周围绕一圈，再量一量绳子的长度，不就是水池的长度了吗？” “好！好！这的确是个不错的方法。”师老师称赞道。这话在B 组同学的脸上洒下了一片灿烂。停顿片刻，师老师拿出了一端系有小球的线绳，在空中旋转了一圈，又旋转了一圈，问：“小球走过的地方形成了一个圆，要想求这个圆的周长，还能用你们的方法吗？”同学们摇摇头，再次陷入沉思。 “我们又发现了一种求圆周长的方法。”一个兴奋的声音从教室里掠过，C组的同学发言了：“将这张圆形的纸对折三次，这样圆形的周长就被平均分成8段，我们测量出每条线断的长度是2厘米，8段是16厘米，也就是圆的周长。” 很有创意，师老师竖起大拇指，“你们用折纸的方法求出这个圆的周长，很了不起。但是用滚动的方法、绳绕的方法、折纸的方法只能求出某些圆的周长，都有局限性。我们能不能找到一条球圆周长的普遍规律呢？学生的思维又活跃起来，把对圆周长的探索推向了一个新的高潮。经过一番思考，学生们提出了这样一个问题：“是什么决定了圆周长的长短？圆的周长到底与什么有关系？”观察、操作、实验，同学们终于发现圆的周长是它的直径的三倍多一些。

怎样求圆环的面积

圆环的面积不妨这样求山东高密市第二实验小学田玉贞前几天，孩子们做过这样一个练习：在一个直径是9米的圆形鱼池外，修一条宽1米的环行小路，这条小路的面积是多少？孩子们都知道求小路的面积也就是求圆环的面积，圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积的差，因此他们很快地列出了算式并开始计算：我发现他们是这样解决问题的: 9÷2=4.5米) 4.5+1=. 5.5(米) 3.14×5.52-3.14× 4.52 =3.14×30.25-3.14×20.25 =94.985-63.585 =31.4 答：这条小路的面积是31.4平方米。也有两个同学是这样计算的: 9÷2=4.5米) 4.5+1=. 5.5(米) 3.14×5.52-3.14× 4.52 = 3.14 ×(5.52-4.52) =3.14×(30.25-20.25) =31.4 答：这条小路的面积是31.4平方米。不管孩子们用哪种方法计算,我发现孩子在计算的过程中显得手忙脚乱，最后得出正确得数的不多。我想了想，孩子们要算出外圆半径的平方，接着再用3.14乘以这个平方数，然后用同样的方法求出内圆的面积，得数是挺难算的,难怪孩子们算错得数。怎样减少计算的难度，提高做这类题的正确率呢？两个孩子的另一种方法给了我启发。我决定教孩子们用平方差公式进行计算。孩子们没有学过这个公式，我是这样教学的：我首先在黑板上出了这样三组算式： 1、（9+5）×（9-5）= 92 -52 = 2、（18+15）×（18-13）= 182 -132 = 3、(6.7+2 .3) ×(6.7-2.3) = 6.72-2.32= 在孩子们计算完后,让孩子们观察这三组算式有什么共同特点。孩子们的情绪很高涨,他们很快地发现了求两个数的平方差也就是用这两个数的和乘这两个数的差。我接着问，刚才我们计算小路的面积的时候同学们都反应在计算的时候有点难，现在你能用简便的方法重新做一遍吗？学生们很快用最简单的方法计算了这个题：9÷2=4.5米) 4.5+1=. 5.5(米) 3.14×5.52-3.14× 4.52 = 3.14 ×(5.52-4.52) =3.14×(5.5+4.5) ×(5.5-4.5) =3.14×10×1 =31.4 答：：这条小路的面积是31.4平方米。其实，在教学的过程中，另辟一径，效果也是不错呀。

极惯性矩常用计算公式

极惯性矩常用计算公式：Ip=∫Aρ^2dA 矩形对于中线(垂直于h边的中轴线)的惯性矩：b*h^3/12 三角形：b*h^3/36 圆形对于圆心的惯性矩：π*d^4/64 环形对于圆心的惯性矩：π*D^4*（1-α^4)/64;α=d/D §16-1 静矩和形心平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。定义式：，(Ⅰ-1）量纲为长度的三次方。由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标和。则

由此可得薄板重心的坐标为同理有所以形心坐标，（Ⅰ-2）或，由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零，即，；，则；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第i块分图形的面积为，形心坐标为，则其静矩和形心坐标分别为，（Ⅰ-3）

，（Ⅰ-4）【例I-1】求图Ⅰ-2所示半圆形的及形心位置。【解】由对称性，，。现取平行于轴的狭长条作为微面积所以读者自己也可用极坐标求解。

惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：（一）.截面静矩和形心 1?静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积 dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 dS y =xdA dSx 二 ydA 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 S y = A XdA （I ） Sx ydA 、A 2. 形心与静矩关系设平面图形形心C 的坐标为y C , z C S x S y y - ， x （ I-2） A A 推论1如果y 轴通过形心（即x = 0），则静矩S y =0 ;同理，如果x 轴通过形心（即y = 0），则静矩Sx=o ；反之也成立。推论2如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果 y 轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴上。 3. 组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为 A,A 2,A3……A n 的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为丘局乂2*2；壬3,『3"…=，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为图I-1 则 0

S y = " S yi = ' A i X i i 4 i 4 n n S x = ' S xi = ' A i y i i 4 i 4 截面图形的形心坐标为、' A i X i 4. 静矩的特征（1）界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。（2）静矩有的单位为m 3 （3）静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 ⑷ 若已知图形的形心坐标。则可由式（1-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（1-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（1-4）求出其形心坐标。（二）■惯性矩惯性积惯性半径 1. 惯性矩定义设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对0点的极惯性矩定义为 I p = A '2dA （1-5）图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 I y 「A X 2dA ， I x 「A y 2dA （ I-6）惯性矩的特征（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。（2）极惯性矩和轴惯性矩的单位为m 4 (1-3) 、A i y i (1-4)