数系的扩充ppt课件
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复数的概念
------数系的扩充 洩湖中学：王艳
3.1 数系的扩充
❖ 从社会生活来看为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展.
❖ 从数学内部来看，数集是在按某种 “规 则”不断扩充的.
自然数
❖ 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追 溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来
的.它是由于借贷关
自然数中开方产生 无理数 ， 实数系统；
负数中开方产生 虚数 ， 新的系统.
数系的扩充
复数的概念
数系扩充的科学道理
逆运算在数系的扩充中扮演着极为 重要的角色；
逆运算的运算法则来源于正运算， 因此比正运算困难，以致可能出现 无法进行的现象，从而必须引进新 东西，使数系得以扩展.
实数集能否继续扩充呢?
虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数” （“想象中 (imaginary)的数”）.
笛卡尔 (R.Descartes,1596-1661)
数系的扩充
复数的概念
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
zabi(aR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数 b0
R C
复数a+bi虚数 b0非 纯纯 虚a虚 数 a0数 ， 0b，b00
系中量的不同意义
而产生的.我国三国
时期数学家刘徽
（公元250年前后）
首先给出了负数的
定义、记法和加减
刘徽（公元250年前后）
运算法则.
数集扩充到整数集
分数（有理数）
❖ 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
数集扩充到有理数集
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
？
1
无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
（公元前4世纪）是数
学发展史上的一个里
程碑.
毕达哥拉斯(约公元前 560——480年）
数集扩充到实数集
正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
数系的扩充
复数的概念
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1 )i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
数系的扩充
复数的概念
B
nZ*
i4n 1
i4n2 -1
i4n1 i i4n3 i
数系的扩充
复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
数系的扩充
数集再次扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系扩充的科学道理
从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的。
自然数中减法产生 负数 ；
， 整数系统
整数中除法产生 分数 ， 有理数系统；
数系的扩充
复数的概念
思 考？
复数集
复数集，虚数集，实数集， 虚数集 纯虚数集之间的关系？
纯虚数集
实数集
数系的扩充
复数的概念
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 0.618 2 i 0
7
i 2 i1 3 5 i+8， 39 2i
2、判断下列命题是否正确：
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数 集中，该问题能得到圆满解决呢？
i 引入一个新数：
满足 i2 1
数系的扩充
复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。
------数系的扩充 洩湖中学：王艳
3.1 数系的扩充
❖ 从社会生活来看为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展.
❖ 从数学内部来看，数集是在按某种 “规 则”不断扩充的.
自然数
❖ 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追 溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来
的.它是由于借贷关
自然数中开方产生 无理数 ， 实数系统；
负数中开方产生 虚数 ， 新的系统.
数系的扩充
复数的概念
数系扩充的科学道理
逆运算在数系的扩充中扮演着极为 重要的角色；
逆运算的运算法则来源于正运算， 因此比正运算困难，以致可能出现 无法进行的现象，从而必须引进新 东西，使数系得以扩展.
实数集能否继续扩充呢?
虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数” （“想象中 (imaginary)的数”）.
笛卡尔 (R.Descartes,1596-1661)
数系的扩充
复数的概念
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
zabi(aR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数 b0
R C
复数a+bi虚数 b0非 纯纯 虚a虚 数 a0数 ， 0b，b00
系中量的不同意义
而产生的.我国三国
时期数学家刘徽
（公元250年前后）
首先给出了负数的
定义、记法和加减
刘徽（公元250年前后）
运算法则.
数集扩充到整数集
分数（有理数）
❖ 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
数集扩充到有理数集
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
？
1
无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
（公元前4世纪）是数
学发展史上的一个里
程碑.
毕达哥拉斯(约公元前 560——480年）
数集扩充到实数集
正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
数系的扩充
复数的概念
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1 )i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
数系的扩充
复数的概念
B
nZ*
i4n 1
i4n2 -1
i4n1 i i4n3 i
数系的扩充
复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
数系的扩充
数集再次扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系扩充的科学道理
从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的。
自然数中减法产生 负数 ；
， 整数系统
整数中除法产生 分数 ， 有理数系统；
数系的扩充
复数的概念
思 考？
复数集
复数集，虚数集，实数集， 虚数集 纯虚数集之间的关系？
纯虚数集
实数集
数系的扩充
复数的概念
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 0.618 2 i 0
7
i 2 i1 3 5 i+8， 39 2i
2、判断下列命题是否正确：
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数 集中，该问题能得到圆满解决呢？
i 引入一个新数：
满足 i2 1
数系的扩充
复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。