运筹学第3章运输问题

※ 利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的 最小运量（超过2个最小值）作为调整量θ，选择任意一个最 小运量对应的基变量作为换出变量，而经调整后，得到退化 解。这时另一个数字格必须填入一个“0”以示它为基变量。
33
如下例中σ11检验数是 0，经过调整，可得到另一个最优解。
销地 产地
A1 A2 A3 销量
11
2. 沃格尔法
最小元素法，有时按某一最小单位运价优先安排 物品调运时，却可能在其他供销点多花几倍的运费， 从而使整个运输费用增加。
沃格尔法考虑到： 一个产地的产品假如不能按照最小
运费就近供应，就考虑次小运费，这就有个差额。 如果差
额不大，当不能按最小单位运价安排运输时造成的运费损 5
失不大；反之，如果差额很大，不按最小运价组织运输就
B4
6
4 8
60
产量
7 4 9
销量 3
6
5
6 20
在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如选x34
35
第三节 产销不平衡的运输问题及其求解方法
m
n
表上作业法是以产销平衡为前提的： ? ai ? ? bj
i?1
j? 1
实际中，往往遇到产销不平衡的运输问题
1.产大于销（供过于求）
产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的σij＝0， 则该问题有无穷多最优解。
32
⑵ 退化解： ※ 表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运量
时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0，以保证 有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的 任意空格处加一个0即可。
22
2. 位势法
位势：运输问题的对偶变量称为位势。 因为m个供应点n个需求点的运输问题有m+n个约束， 因此运输问题就有m+n个位势。 行位势:关于供应点Ai的约束对应的对偶变量，记为
ui, i=1,2,…m。
列位势:关于需求点Bj的约束对应的对偶变量，记为vj, j = 1,2,…,n。
23
定理：运输问题变量xij的检验数
确定初始调运方案（最小 元素法或伏格尔法）
求检验数闭回路或位势法 所有检验数≥0
得到最优方案， 算出总运价
找出绝对值最大的负检验数，用闭合 回路调整，得到新的调运方案
31
表上作业法计算中的问题：
（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负， 在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数 值得到改善，但通常取σij<0中最小者对应的变量为换入变量。 （2）无穷多最优解
? j?1
? s.t.
? ?
m
xij
?
bj
?j ? 1,? , n?
? i?1
? xij ? 0
??
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n
? 1 1.......1
?
?
?
?
A
?
? ?
1
?
?1
? ???
O 1
x21 x22 ....x2n ...... xm1 xm2 .... xmn
的运价如下表所示：（运输问题供需平衡表和运价表
如下），求总运费最少的调运方案。
表3-3
销地 产地
B1
B2
B3
B4
发量 （T）
A1
3 11 3 10 7
A2
1928
4
A3
7 4 10 5
9
收量（T） 3 6 5 6
9
1、最小元素法
思路：为了减少运费，应优先考虑单位运价最小(或 运距最短)的供销业务，最大限度地满足其供销量。在可 供物品已用完的产地或需求已全部满足的销地，以后将不 再考虑。然后，在余下的供、销点的供销关系中，继续按 上述方法安排调运，直至安排完所有供销任务，得到一个 完整的调运方案(完整的解)为止。这样就得到了运输问题 的一个初始基可行解(初始调运方案)。
B1
(0) 4
8
2 (9)
8
B2
(2) 12
(2) 10
14
5
B3
B4
4 12 11 4
(1) 3
9
2
(12)
8
11
6
8
14 12 14
产量
16 10 22
其中绿色是非基变量检验数，红色为分配量。
34
例：用最小元素法求初始可行解
销地 产地
A1 A2 A3
B1
3 7
3
1
B2
11 7
6
2
B3
1
4
4
3
10
? ? min ? ij ?0 ? ? pq
xpq 为换入变量
从(p,q)空格开始画闭回路，其它转角点都是
填有运量的方格，并从 (p,q)空格开始给闭回路上
的点按+1，-1，+1，-1编号，-1格的最小运量 为
调整量。
表3-13
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
B2
B3
B4
产量
4(+1) … …3(-1) 7
51 1 1 1
[5 ] 1 2
3 3 2 2
Z=85
14
?1 若有两个以上相同的最大差值，可任取其 一。
?2 剩下一行或者一列有空格，填数字，不能 划掉。
?3 计算行差，列差时，已经划去的列或者行 不再考虑。
15
例 用伏格尔法求初始调运方案
销 B1
产
A1
5
A2
2
A3
3
销量 9
B2
B3 产量
1
8 12
销 产
B1
B2
B3 B4 供量
A1
0
2
7
A2
2
1
4
A3
9
12 9
销量 3
6
5
6
这时所有的检验数都非负，表中的解就是最优解 .
29
例 求该运输问题的最优解
销 产
B1
B2
B3 B4 供量
A1
3
7
64
5
A2
2
4
32
2
A3
4
3
85
3
销量 3
3
2
2
30
?表上作业法的计算步骤：
分析实际问题列出产销平 衡表及单位运价表
5
表上作业法
6
表上作业法的基本思路：
?确定初始调运方案 ?最优性检验 ?改进方案
7
1 确定初始基可行解
运输问题确定初始基可行解，就是求出运输问 题的初始调运方案 .
确定初始基可行解的方法有 最小元素法 伏格尔法
8
【例2-1】 某公司经销甲产品 ,下设3个加工厂A1、 A2、A3，产品分别运往销售点 B1、B2、B3、B4，各工厂 的日产量和各销售点的日需求量及各工厂到各销售点
13
2.伏格尔法
表3-5
销地
产地
B1 B2 B3 B4 产量
A1
52 7
A2
3
14
A3
6
39
销量
3656
表3-6
两最小元素之差
产地 销地 B1
B2
B3
B4 ① ② ③ ④
A1
3
A2
[ 1]
A3
7
①2
两最小 ② 2
元素 ③ 2
之差 ④
11 [3 ] 10 0 0 0 7
9
2
8 1116
[4 ] 10
由于该方法基于优先满足单位运价(或运距)最小的供 销业务，故称为最小元素法。
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应）
销
不
产
B1
B2
B3
能
3
11
3
同
A1
时
4
划
1
9
2
去
A2 3
1
行
7
4
10
和
A3
6
列
销量 3
6
5
表3-4
B4 产量
10
3
8
5
3
7
保证填 4 有运量
的格子 9 为 m+n-
1
6
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
4
1
14
67
4
10 11
16
初始调运方案
销 B1
B2
B3 产量
产
A1
2
10
12
A2
3
11 14
A3
4
4
销量
9
10 11
17
2.2 最优解的判别
判别办法是计算 空格(非基变量)的检验数 ,因为运 输问题的目标函数是实现最小化 ,所以当所有空格处 的检验数大于等于零 时,为最优解.
下面分别介绍两种计算检验数的方法 : (1) 闭回路法 (2) 位势法
? ij ? cij ? ui ? vj
证明：
?0?
? ?
M??
?1?
? ij
?
cij
? CB B?1Pij
?
cij
?
(
u1
,...
um
,
v1
,...
vn
)
? ?
M??
?
cij
?
ui
?
vj
?1? ?? ? M?
??0
? ?
24
位势法 求检验数的步骤:
1.在表中下面和右面增加一行和一列 ,列中添入 ui, 行中添入vj ,令u1=0, 按照 Cij ? ui ? v j , 根据表中已有 的数字确定所有的 ui及vj ;
会造成很大损失，故应尽量按最小单5位运价安排运输。沃 格尔法就是基于这种考虑提出来的。
5
5
12
沃格尔法计算步骤：
1) 分别算出各行、各列的最小运费与次小运费的差额。 2) 从行、列中选出差额最大者，选择它所在行、列中的 最小元素，进行运量调整。 3) 对剩余行、列再分别计算各行、列的差额。返回1)、 2)。
2.计算所有空格处的检验数 . ? ij ? Cij ? ( ui ? v j )
25
表3-12
检
验
B1
B2
B3
B4
ui
数
表
3
11
A1
1
2
3
10 0
最
优
方
A2
1
9
1
2
8
-1
-1
案 判 别
7
A3
10
4
10
12
5 -5
准 则
vj
2
9
3
10
?24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3 闭回路调整法改进方案
才能使运费最省？
若? ai ? ? bj，称此运输问题为平衡运输问题，
否则称为非平衡运输问题.
2
上述数据可以汇总于 表格中,如下:
表1 产销平衡表
表2 单位运价表
销地
产地
1
1
2 ┆
m
销量
b1
2 …n b2 … bn
产量
a1 a2 ┆ am
销地
产地
1
2 …n
1
c11 c12 … c1n
2
c21 c22 … c2n
┇
┇
1(-1)… …(+1)
4
6
3
9
6
5
6
? =min{1，3}=1
27
找到最小调整量以后 ,按照闭回路上的正、负 号，分别加上和减去此值，得到新的运输方案。
表3-14
销 产
B1
B2
B3 B4 供量
A1
52
7
A2
3
1
4
A3
6
3
9
销量 3
6
5
6
再用闭回路法或者位势法求检验数，得到下 表:
28
表3-15
┆
┆┆
┆
m
cm1 cm2 … cmn
3
运输问题的数学模型
设xij代表为从第 i个产地调运给第 j个销地的物资
m
n
的数量.在产销平衡的条件下，即
? ai ? ? bj
i?1
j?1
使总的运费支出最小，可以表为以下数学形式：
mn
?? min z ?
cij xij
i?1 j?1
??
?
n
xij ? a i
?i ? 1,? , m?
18
① 闭回路法
闭回路：从 空格出发画水平(或垂直)直线，遇到 填有运量的方格（数字格） 可转90°，然后继续前进 ，直到到达出发的空格所形成的闭合回路。
调运方案的任意空格一定存在唯一闭回路。
表3-7
销 产
B1
B2Βιβλιοθήκη Baidu
B3 B4 供量
A1
52
7
A2
3
1
4
A3
6
3
9
销量 3
6
56
19
计算最小元素法得到的初始基可行解的检验表数3-8
? j?1
? s.t.
?? m ?
xij ? bj
( j ? 1,
2,...... n)
? i?1
? ?
xij
?
0,
i ? 1,
2,...... m, j ? 1,
2,...... n
?
37
设xi n+1 是产地Ai 的储存量，化成标准形
m n?1
?? min z ?
cij xij
i?1 j?1
其中
6
B3
3 4 (-1)
2 1 (+1)
10
调整后总运费增加： 7-5+10-3+2-1=10
表3-9
B4
10 3 (+1)
8
5 3 (-1)
空格处 检验数 为10
21
检验数表
销地
产地
B1
B2
B3
A1
1
2
A2
A3
10
1 12
表3-10
B4
-1
因为存在小于零的检验数 ,所以最小元素法给出的 方案不是最优方案 .
?? n?1
? xij ? ai (i ? 1, 2,...... m)
? j?1
? s.t.
?? m ?
xij ? bj
( j ? 1,
2,...... n, n ? 1)
? i?1
ci,n?1 ? 0, i ? 1,... m
m
n
? ai ? ? bj
i?1
j?1
2.销大于产（供不应求）
m
n
? ai ? ? bj
i?1
j? 1
36
产销不平衡运输问题向产销平衡运输问题的转化
m
n
产大于销的运输问题：? ai ? ? bj
i?1
j?1
数学模型
mn
?? min z ?
cij xij
i?1 j?1
?? n
? xij ? ai (i ? 1, 2,...... m)
1 1.......1
1 1 O 1
......... ..........
?
?
?
?
? 1 1.......1 ?
1
?
?
1?
O
1
? ???
m行 n行
1. 矩阵A是一个m+n行mn列的矩阵，它的秩为m+n-1。 2. 运输问题应该有m+n-1个基变量。 3. xij的系数列向量为：
Pij ? (0....1...0....1...0)T ? ei ? em? j
Chapter3 运输问题
( Transportation Problem )
本章主要内容：
运输问题的数学模型 表上作业法 运输问题的应用
问题的提出
从m个发点 A1 , A2 , ? Am 向n个收点
B1 , B2 , ? Bn 发送某种货物. Ai 发点的发 量为 a i ， B j 收点的收量为 b j 。由 Ai 运 往 B j 单位货物的运费为c i j ，问如何调配，
销地 B1
B2
B3
B4
产地
A1
3
(+1)
11
3
10
4 (-1) 3
A2
1
9
2
8
3 (-1)
1 (+1)
A3
7
4
6
调整后总运费增加：
10 3
5 空格处
检验数 为1
(+1) ×3+(-1) × 3+(+1) ×2+(-1) ×1=1
20
销地 产地
A1
A2
A3
B1
3
1 3 (-1)
7
(+1)
B2 11 9 4