七年级数学解答题专题训练 (15)(含答案解析)

七年级数学解答题专题训练 (15)

1.若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范

围的“友好代数式”.例如：关于x的代数式x2，当?1≤x≤1时，代数式x2在x=±1时有最大值，最大值为1；在x=0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在?1～1(含端点)这个范围内，则称代数式x2是?1≤x≤1的“友好代数式“．

(1)若关于x的代数式|x?1|，当?2≤x≤2时，取得的最大值为______；最小值为______；代

数式|x?1|______(填“是“或“不是”)?2≤x≤2的“友好代数式”；

(2)以下关于x的代数式，是?2≤x≤2的“友好代数式”的是______；

①?x+1；②?x2+2：③x2+|x|?4；

(3)若关于x的代数式|x?1|+|x?3|是0≤x≤m的“友好代数式”，则m的值是______；

(4)若关于x的代数式a

|x|+1

?2是?2≤x≤2的“友好代数式”，求a的最大值和最小值．

2.古希腊毕达格拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数(三边形数)；类似的，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数(四边形数)．

(1)请你写出既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为______；

(2)记第n个k边形数为N(n,k).例如N(1,3)=1，N(2,3)=3，N(2,4)=4．

①N(3,3)=______，N(n,3)=______，N(n,4)=______．

②通过进一步研究发现N(n,5)=3

2n2?1

2

n，N(n,6)=2n2?n，请你推测N(n,k)(k≥3)的表

达式，并由此计算N(10,24)的值．

3.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购

进同一种商品40件．如果商店销售这些商品时，每件定价为x元，可获得大于12%的利润，用不等式表示问题中的不等关系，并检验x=14(元)是否使不等式成立？

4.问题情境：如图1，AB//CD，∠A=30°，∠C=40°，求∠AEC的度数．

小明的思路是：

(1)初步尝试：按小明的思路，求得∠AEC的度数；

(2)问题迁移：如图2，AB//CD，点E、F为AB、CD内部两点，问∠A、∠E、∠F和∠D之间有

何数量关系？请说明理由；

(3)应用拓展：如图3，AB//CD，点E、F为AB、CD内部两点，如果∠E+∠EFG=160°，请

直接写出∠B与∠D之间的数量关系．

5.南浔区某校组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有120千

米，队伍乘大巴车8:00从学校出发．苏老师因有事情，8:30从学校自驾小汽车以大巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前10分钟到达基地．问：

(1)设大巴车的平均速度是x(km/?)，利用速度、时间和路程之间的关系填写下表．(要求：填上

适当的代数式，完成表格)

速度(km/?)路程(km)时间(?)

大巴车x120_____

小汽车_____120_____

(2)列出方程，并求出大巴车与小汽车的平均速度．

(3)当苏老师追上大巴车时，大巴车离基地还有多远？

6.如图，在△ABC中，点D为线段BC上一点(不含端点)，AP平分∠BAD交BC于E，PC与AD的

延长线交于点F，连接EF，且∠PEF=∠AED．

(1)求证：AB=AF；

(2)若△ABC是等边三角形．

①求∠APC的大小；

②想线AP，PF，PC之间满足怎样的数量关系，并证明．

7.已知：如图1，直线AB//CD，EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交

于点K．

(1)求∠EKF的度数．(计算过程不准用三角形内角和)

(2)如图2，∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关

系？写出结论并证明．

(3)在图2中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，

依此类推，作∠BEK n、∠DFK n的平分线相交于点K n+1，请用含的n式子表示∠K n+1的度数．(直接写出答案，不必写解答过程)

8.如图，以的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为m轴和y轴建立平面直角坐

标系，点A(0,a)，C(b,0)，满足√a?b+2+|b?8|=0．

(1)点A的坐标为______________;点C的坐标为_____________．

(2)已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从C点出发沿m轴负方向以每秒3个单位长度

的速度匀速移动，Q点从O点出发沿(50?m)轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，当点Q到达点A时，整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是(4,3)，设运动时间为t秒.问：是否存在这样的t，使得ΔODP与ΔODQ的面积相等?若存在，请求出t的值;若不存在，请说明理由．

(3)若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，y轴平分∠GOD.点E是线段OA上一动点，连接

CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，试猜想∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并说明理由．

9.对称拼图游戏

(1)游戏准备

①如图，有5种同样大小的画有阴影的小方块，每种各5块，共25

块．

②含有25个方格的大正方形板，每一方格与①中的小方块同样大小．

③有如下成绩表：

姓名

点数

将你所拿到的25个画有阴影的小方块一块块地放在大正方形板上，注意最后要使你所放的所有小方块(连同它的阴影)在大正方形板上出现一个对称图形，一直放到你无法放上为止，你的成绩点数就是你放上去的小方块

数．谁的点数高，谁就是最后的胜者．

怎么样？与你的小伙伴们比比看!

10.请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：

(1)如图①如果AB//CD，求证：∠APC=∠A+∠C．

证明：过P作PM//AB，

所以∠A=∠APM，(____)

因为PM//AB，AB//CD(已知)

所以PM//CD(____)

所以∠C=____(____)

因为∠APC=∠APM+∠CPM

所以∠APC=∠A+∠C(____)

(2)如图②，AB//CD，根据上面的推理方法，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C=____．

(3)如图③，AB//CD，若∠ABP=x，∠BPQ=y，∠PQC=z，∠QCD=m，则m=____(用x、

y、z表示)

11.如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0,a)，B(b,a).且a、b满足(a+b?6)2+

√b?a?2=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D.连接AC，BD，AB，BC．

(1)求点C，D的坐标及三角形BCD面积；

(2)若点E在y轴负半轴上，连接BE、DE，如图2，请判断∠1、∠2，∠3的数量关系?并说明理

由；

?

(3)在x轴正半轴或y轴正半轴上是否存在点M，使三角形BMD的面积是三角形BCD面积的5

4若存在，诸求出点M的坐标：若不存在，试说明理由。

12.如图，点A的坐标为(0,2)，将点A向右平移b个单位得到点B，其中关于x的一元一次不等式

4x+1

(1)求点B坐标___________;S四边形AOCB=_______________；

(2)如果点Q自点O以1个单位/秒的速度在y轴上向上运动，点P自点C以2个单位/秒的速度

S△BOP，在x轴上向左运动，设运动的时间为t秒(0

2若存在，求t的取值范围；若不存在，说明理由．

(3)在(2)的条件下，求S四边形BPOQ．

13.如图，(1)已知∠AOB是直角，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.求∠MON的度数；

(2)若∠AOB=a，其他条件不变．求∠MON的度数(用含a的代数式表示)．

14.如图，△ABC中，AB=BC=CA，∠A=∠ABC=∠ACB，在△ABC的

顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A

向B和由C向A爬行，经过t(s)后，它们分别爬行到了D，E处，设

DC与BE的交点为F．

(1)证明△ACD≌△CBE；

(2)小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．

15.如图，某市有一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进

行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=6，b=4时的绿化面积．

16.一般地，n个相同的因数a相乘a?a?…?a，记为a n，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2

为底8的对数，记为log28(即log28=3).一般地，若a n=b(a>0且a≠1，b>0)，则n叫做以a为底b的对数，记为log n b(即log n b).如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381(即log381=4)．

(1)计算下列各对数的值：log24=______；log216=______；log264=______．

(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样

的关系式；

(3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

(4)根据幂的运算法则：a n?a m=a n+m以及对数的含义说明上述结论．

17.如图①，四边形ABCD中，AB//CD，∠ADC=90°．

(1)动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线A→B→C→D运动到点D停止．设运动

时间为a，△AMD的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求AD、CD的长．

(2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线A→D→C运动到点C停止．同

时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线C→D→A运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到AD边上时，连接CP、CQ、PQ，当△CPQ的面积为8时，求t的值．

18.如图，已知A(0,a)，B(b,0)，且满足|2a+b?2|+|a?4|=0．

(1)求A、B两点的坐标；

(2)在(1)中的条件下，点Q为直线AB上一点，且满足S△AOQ=S△BOQ，求Q点的坐标；

(3)如图，点E在y轴上运动，且在点A的上方，过E作AB的平行线，交x轴于点C，∠CEO的

平分线与∠ABO的平分线交于点F，问：点E在运动过程中，∠F的大小是否发生改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出它的值．