第四章 正弦交流电路

求解:
由公式（4.1）
i Im sin(t )
与本题比较可知
um= 220V
U= 155.586987270156 V
ω= 218 rad/s
f= 34.7133757961783 Hz T= 2.880734E-02 s
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3．初相
公式 i I m sin(t ) 中的 (t ) 称为正弦量的相位角或相位，它反映
出正弦量变化的进程。
t=0时的相位角称为初相位角或初相位。上式中的 就是这个电流的初相。规定
初相的绝对值不能超过π。 在一个正弦交流电路中，电压u和电流i的频率是相同的，但初相不一定相同，
如图4.3所示。图中u 和 i 的波形可用下式表示
u U m sin(t u )
i I m sin(t i )
i1
i2
i3
i4
I1
I2
I3
I4
图4.10 KCL的相量形式
-I3 I2 I4
I1
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2．基尔霍夫电压定律的相量形式
在正弦交流电路中，任一回路的各支路电压的相量的代数和为零，即 U 0
应用KVL时，也是先对回路选一绕行方向，对参考方向与绕行方向一致的电 压的相量取正号，反之取负号 。
图4.11 KVL的相量形式
A = a + jb A*= a - jb
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4.2.2 复 数 的 运 算
1．复数的加减
若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。
如： A1=a1+jb1
A2=a2+jb2
则
A1±A2=（a1+jb1）±（a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）
即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。
A r
该式称为复数的极坐标形式。
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一个复数可用上述几种复数式来表示，可以相互转换。复数的加减运算 可用直角坐标式，复数的乘除运算可用指数式或极坐标式。
实数和虚数可以看成复数的特例：实数是虚部为零、幅角为零或180o的 的复数，虚数是实部为零、幅角为90o的或-90o的复数。
实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用A*表示A 的共轭复数，则有
两个同频率正弦量的相位角之差或
初相位角之差，称为相位差，用 表示。
图中电压u 和电流 i 的相位差为
(t u ) (t i ) u i
φ φφ
ui
ωt 0
i u
12 图4.3 u 和i 的相位不相等
4．2 正弦量的相量表示
4.2.1 复 数
1．复数的实部、虚部和模
1 叫虚单位，数学上用 i 来代表它，因为在电工中i代表电流，所以
母上打“●”表示。 于是表示正弦电压 u U m sin(t ) 的相量为 Um U m (cos jsin ) U me j U m 或
U U (cos jsin) Ue j U Um ：电压的幅值相量，
U ：电压的有效值相量。
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按照正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形， 称为相量图。在相量图上能形象地看出各个正弦量的大小和相互间的相位关系。
3
正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，而它们分别由 频率（或周期）、幅值（或有效值）和初相位来确定。
所以频率、幅值和初相位就称为确定正弦量的三要素。
i
i
0
t
（a）稳恒直流电
i
0
t
（b）脉动直流电
i
0
t
0
t
（c）正弦交流电
（d）交流方波
图4.1 直流电和交流电的电波波形图
4
4.1.2 正弦交流电的基本特征和三要素
第四章 正弦交流电路
学习目标与要求：
（1）理解正弦交流电的基本特性、表示方法及其相量表示； （2）学习用相量法求解正弦交流电路； （3）理解单个参数的正弦交流电路特点，掌握其相量计算方法； （4）理解复合正弦交流电路的特点，掌握其相量计算方法； （5）理解正弦电路中阻抗、阻抗角的意义及其在电路中的计算； （6）理解串联谐振的意义和条件，了解并联谐振的意义和条件； （7）理解正弦交流电路的不同功率之间的关系，掌握其计算方法。
5
4.1.2 正弦交流电的基本特征和三要素
设某支路中正弦电流 i 在选定参考方向下的瞬时值表达式为:
i Im sin(t )
i
Im
1．瞬时值、最大值和有效值
我们把任意时刻正弦交流电的数值称为 瞬时值，用小写字母表示，如i、u及 e表示 电流、电压及电动势的瞬时值。
ωt
0
t
图4.2 正弦电流波形图
正弦量用相量表示，便有：
连接在电路任一节点的各支路电流的相量的代数和为零，即 I 0
一般对参考方向背离节点的电流的相量取正号，反之取负号。
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由相量形式的KCL可知，正弦交流电路中连接在一个节点的各支路电 流的相量组成一个闭合多边形 。
如图4.10，节点的KCL相量表达式为 I1 I2 I3 I4 0
规定：有效值都用大写字母表示，和表示直流的字母一样。
周期电流的有效值 当周期电流为正弦量时，可得
I 1 T i 2dt
T0
I Im 2
正弦电压和正弦电动势可得
U Um 2
E Em 2
7
例4.1 已知某交流电压为 u 220 2 sint V，这个交流电压的最大值和有效值分 别为多少？
解：最大值
正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用角频率ω来表示，它 的单位是弧度/秒（rad/s）。角频率是指交流电在1秒钟内变化的电角度。
若交流电1秒钟内变化了f 次，则可得角频率与频率的关系式为
2πf 2
T
9
例4.3 已知某正弦交流电压为 u= 220 sin 218 t V
求该电压的最大值、有效值、频率、角频率和周期各为多少？
设某支路中正弦电流 i 在选定参考方向下的瞬时值表达式为:
i Im sin(t )
i
1．瞬时值、最大值和有效值
我们把任意时刻正弦交流电的数值称为 瞬时值，用小写字母表示，如i、u及 e表示 电流、电压及电动势的瞬时值。
ωt
0
t
图4.2 正弦电流波形图
最大的瞬时值称为最大值（也叫幅值、峰值）。用带下标的小写字母表示。 如Im、Um 及 Em分别表示电流、电压及电动势的最大值。
r a2 b2
有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，用 表示。
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2．复数的表达方式
arctanb
因为
a
a r cos 和 b r sin
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所以
A＝a jb r cos jr sin r(cos j sin)
该式称为复数的直角坐标式。
还可以写为
A re j
该式称复数的指数形式。在工程上常常写为
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4.2.3 向 量
1．向量法的定义
在正弦交流电路中，用复数表示正弦量，并用于正弦交流电路分析计算的 方法称为相量法。
设有一正弦电压
u U m sin(t )
动画
图4.7 用正弦波形和旋转有向线段来表示正弦量 19
向量的产生
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2．正弦量的向量表达式 为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量，并在大写字
1
案例4.1 我们最熟悉和最常用的家用电器采用是都是交流电，如电视、电脑、照明灯、
冰箱、空调等家用电器。
2
4．1交流电路中的基本物理量
4.1.1 交流电路概述
在生产和生活中使用的电能，几乎都是交流电能，即使是电解、电镀、电讯 等行业需要直流供电，大多数也是将交流电能通过整流装置变成直流电能。在 日常生产和生活中所用的交流电，一般都是指正弦交流电。
压与电流同相（相位差 0 ）。
ui
2π
0
π
ωt
电阻电压电流的波形图
I U
电阻电路电压与电流的相量图
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（2）电阻元件的功率
1）瞬时功率 电阻中某一时刻消耗的电功率叫做瞬时功率，它等于电压u与电流i瞬时
值的乘积，并用小写字母p表示。
p pR ui U m I m sin 2 t
1 cos2t
两个同频率正弦量的相位角之差或
初相位角之差，称为相位差，用 表示。
图中电压u 和电流 i 的相位差为
(t u ) (t i ) u i
φ φ
ui
ωt 0
i u
11 图4.3 u 和i 的相位不相等
3．初相
公式 i I m sin(t ) 中的 (t ) 称为正弦量的相位角或相位，它反映
最大的瞬时值称为最大值（也叫幅值、峰值）。用带下标的小写字母表示。 如Im、Um 及 Em分别表示电流、电压及电动势的最大值。
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某一个周期电流 i 通过电阻R在一个周期T内产生的热量，和另一个直流 电流通过同样大小的电阻在相等的时间内产生的热量相等，那么这个周期性变 化的电流 i 的有效值在数值上就等于这个直流I 。
e A2= r e j e j = j( )
如以 e-j 除复数 A1 re j，则得
A3= r e j( )
即使原矢量顺时针旋转了 角。就是矢量A3比矢量A1滞后了 角。
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当 =±90 时，则 ej90 cos90 jsin 90 j
因此任意一个相量乘上+j后，即逆时针（向前）旋转了 90 ； 乘上-j后，即顺时针（向后）旋转了90。 所以 j 称为旋转 90 的旋转因子。
出正弦量变化的进程。
t=0时的相位角称为初相位角或初相位。上式中的 就是这个电流的初相。规定
初相的绝对值不能超过π。 在一个正弦交流电路中，电压u和电流i的频率是相同的，但初相不一定相同，
如图4.3所示。图中u 和 i 的波形可用下式表示
u U m sin(t u )
i I m sin(t i )
u U m sin(t u )
i I m sin(t i )
ui
ωt 0
i u
电压和电流的波形图
U
φ
I
φu
φi
电压和电流的相量图
φ φφ
表示正弦量的相量有两种形式：相量图和复数式（相量式）。
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4．3电路基本定律的相量形式
1．基尔霍夫电流定律的相量形式 正弦交流电路中，各电流、电压都是与电流同频率的正弦量，把这些
UmIm
2
UI(1 cos2t)
在任何瞬时，恒有p≥0，说明 电阻只要有电流就消耗能量，将 电能转为热能，它是一种耗能元 件。
电阻元件瞬时功率的波形图
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2）平均功率 瞬时功率虽然表明了电阻中消耗功率的瞬时状态，但不便于表示和比较大
图4.6 矢量和与矢量差
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2．复数的乘除
两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。
如： A1=a1+jb1 = r11
A2=a2+jb2 = r22
则
A1·A2= r11 · r22 = r1·r2 (1 2 )
A1 A2
r11 r2 2
r1 r2
(1 2 )
如将复数 A1 re j 乘以另一个复数 e j ，则得
改用 j 代表虚单位，即 j = 1
令一直角坐标系的横轴表示复数的实部，
+j
称为实轴，以+1为单位；纵轴表示虚部，
b
A
称为虚轴，以+j为单位。
r o
φ
复平面中有一有向线段A，其实部为a，
其虚部为b，如图4.5所示，于是有向线段
a
+1
A可用下面的复数表示为： A=a+jb
图4.5 有向线段的复数表示
r 表示复数的大小，称为复数的模。
扇为单相交流电动机，它的等效电路如图所示。
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4．4．1 单一参数电路
1．纯电阻电路 （1）元件上电压和电流关系
i ++
u
R
-
纯电阻元件交流电路
设电阻两端电压为 u(t) U m sint
则
i(t)
u(t) R
Um R
sin t
Im
sin t
比较电压和电流的关系式可见：电阻两端电 压u和电流i的频率相同，电压与电流的有效值 （或最大值）的关系符合欧姆定律，而且电
U m 220 2V 311 .1V
有效值
U Um 220 2 V 220V
2
2
u
311.1
0
2π ωt π
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2．频率与周期
i 正弦量变化一次所需的时间（秒）称为周期T。 Im
每秒内变化的次数称为频率f，它的单位是赫兹
π
ωt
（Hz）。 频率是周期的倒数，即
f 1 T
0
T
2
T
图4.2 正弦电流波形图
因为交流电能够方便地用变压器改变电压，用高压输电，可将电能输送很远， 而且损耗小；交流电机比直流电机构造简单，造价便宜，运行可靠。所以，现 在发电厂所发的都是交流电，工农业生产和日常生活中广泛应用的也是交流电。
交流电与直流电的区别在于： 直流电的方向、大小不随时间变化；而交流电的方向、大小都随时间作周 期性的变化，并且在一周期内的平均值为零。
回路的电压方程：
u1 u2 u3 u4 0
其KVL相量表达式为： U1 U2 U3 U4 0
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4．4 电阻、电感、电容电路
案例4.2 各种加工机械，如车床、铣床、刨床、磨床及大型加工机械（龙门铣床、
龙门刨床）等，应用最多的是电机类负载。交流异步电动机的等效电路如图所示。
案例4.3 在照明电路中使用的白炽灯为纯电阻性负载，日光灯属于感性负载，家用风