平面向量与三角形的心综合

向量与三角形内心、外心、重心、垂心综合

一、三角形外心的性质

性质1：三角形三边中垂线的交点，G 为外接圆圆心 性质2：点G 是ABC ∆外心：

⇔GA GB GC ==⇔GA 2=GB 2=GC 2 (G 到三顶点距离相等)

⇔(GA +GB )·AB =(GB +GC )·BC =(GC +GA )·CA =0(G 为三边中垂线交点)

性质3：正弦定理：2sin sin sin a b c

R A B C

===，R 为ABC ∆的外接圆半径

二、三角形内心的性质

性质4：设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心,O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心 证明：b AC c AB 、

分别为AC AB 、方向上的单位向量，∴b AC

c AB +平分BAC ∠,

(λ=∴AO b AC c AB +)，令c

b a bc

++=λ，∴c

b a bc

AO ++=

（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a ∴0=++OC c OB b OA a

A

B

C G

O

E F

D

A

B

C

性质5：O 是ABC ∆的内心的充要条件是

0AB AC BA BC CA CB OA OB OC AB AC BA BC CA CB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⋅-=⋅-=⋅-

= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

性质6：已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满

足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫

⎪=++ ⎪⎝⎭

，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的

内心．

三、三角形重心的性质

性质5：O 是ABC ∆的重心⇔0=++OC OB OA

G 为ABC ∆的重心⇔)(3

1

PC PB PA PG ++=

P 是△ABC 平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(3

1

PC PB PA PG ++=.证明如下： CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心

∴0=++GC GB GA ⇒0=++CG BG AG ，即PC PB PA PG ++=3

由此可得)(3

1

PC PB PA PG ++=.

性质6：已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满

足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.

四、三角形垂心的性质

性质1：垂心为三角形三边高的交点；

性质2：⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.

证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.

0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA

AC OB ⊥⇔

同理BC OA ⊥，AB OC ⊥

⇔O 为ABC ∆的垂心

性质3：已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满

足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭

，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过

ABC △的垂心．

例题1：是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足

)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的

解析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的中点.

AD AC AB 2=+ ，∴AD

OA OP λ2+=

B C

D B C

D

AP OA OP += ，AD AP λ2=∴ AP ∴//AD ∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .

例题2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满

足

OA OP +

+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的

解析：分别为AC AB 、方向上的单位向量，

∴

AC AB +BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .

例题3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满

足

AC AB OA OP +

+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P 轨迹一定通过ABC ∆

解析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足

.

AC AB +

BC ⋅

BC AC BC AB ⋅+

+

-

=0

∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .

巩固练习：

练习1：已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内OA =OB =OC ,0++=NA NB NC , ⋅=⋅PA PB PB PC =⋅PC PA 则点,,O P N 依次∆ABC 是的 ( )

A.重心 外心 垂心

B.重心 外心 内心

C.外心 重心 垂心

D.外心 重心 内心