同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)

第一章 行列式

1利用对角线法则计算下列三阶行列式

⑴ 2

1 04

31

2 0 1 解 1 4 1

1 8 3

2 ( 4)

3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 2

4 8 16 4

4

a b c (2) b c a

cab

a b c 解 b c a

cab acb bac cba bbb aaa ccc

3abc a 3 b 3 c 3

bc 2 ca 2 ab 2 ac 2 ba 2 cb 2 (a b)(b c)(c a)

1 C 21b

2 1 C 2

1b

x y x y

⑷ y x y x

x y x y

x y x y

解y x y x

x y x y

x(x y)y yx(x y) (x y)yx y (x y) x

3xy(x y) y3 3x2y x3 y3 x3

2(x3 y3)

2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数

(1) 1 2 3 4

解逆序数为0

(2) 4 1 3 2

解逆序数为4 41 43 42 32

3 2 (1 个)

5 2 5 4(2 个)

7 2 7 4 7 6(3 个)

(3)3 4 2 1

解逆序数为 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3

解逆序数为

(5)1 3 (2n

逆序数为1) 2 4

n(n 1)

2

(2n)

(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1 个)

(6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2

解逆序数为n(n 1)

3 2(1 个)

5 2 5 4 (2 个)

(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1 个)

4 2(1 个)

6 2 6 4(2 个)

(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1 个)

3写出四阶行列式中含有因子ana23的项

解含因子ana23的项的一般形式为

(1)t ana23a3r a4s

其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42

所以含因子ana23的项分别是

t 1

(1) ana23a32a44 ( 1) ana23a32a44 ana23a32a44

(1)t ana23a34a42 ( 1)2ana23a34a42 ana23a34a42

4计算下列各行列式

3

4

W 2M

42 07

20 21

12 51 41w 12

3

41

11

4

12 10

2021 12 30

w

24

d i

d i 112 2

4236 1120

2 3150 200

4 234

1 12

2 3120202 4236 1120

2 315

1122 4236 1120

2 315

角 02

00

4 2 3 0

112 0

23e e

a aa cd

a ef

bl bf

ab ac ae

b c e 解

bd cd de adf b c e

bf cf ef

b c e

1 1 1

adfbc d 1 1 4abcdef

1 1 1

5证明:

证明

ax by ay bz az bx

x y z

⑵ ay bz az bx ax by (a 3 b 3) y z x

az bx ax by ay bz

z x y

证明

n u

o l

d o

o

1d

a 1 C 1 b

a b 1o O 1

o

o

a

A o o 1)(

1)21 ab

1 0 dC 2i ab

1 0

ad ed 0

1)( 1)3

ab 1 ad

ed

abed ab ed ad ax by ay bz az ay bz az bx ax az bx ax by ay

a 2 (1)2

f ab a 1

b 2

2b (a b)3； a 2 2a 1 ab a b 1 b 2 2b 1

C

3

C

1

a 2 2a 1 a

b a 2 b a 0 b 2 2b a 2 2a 0

1)31

ab b a 2 b 2 a 2

a 2

b 2a

(b a)(b

a)

(a b)3

bx by bz