椭圆及其标准方程练习题

椭圆及其标准方程练习题

【基础知识】

一．椭圆的基本概念

1. 椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 的距离的和等于常数 （ ）的点

的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。

二．椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质

椭圆的图象和性质

数学定义式 |MF 1|+|MF 2|=2 a

焦点位置

x 轴 y 轴

y

y

图形

o x

o x

a

三、求椭圆标准方程的常用方法是待定系数法： 椭圆方程的总形式为 [ 经典例题 ] ：

例1. 根据定义推导椭圆标准方程 .

已知 B ，C 是两个定点，｜ BC ｜＝ 6，且

ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程

已知 F 1, F 2 是定点， | F 1 F 2|=8, 动点 M 满足| M F 1|+| M F 2|=8 ，则点 M 的轨迹是 （ A ）椭圆 （ B ）直线

（ C ）圆 （ D ）线段

标准方程

焦点坐标 焦距 顶点坐标 a, b, c 的关系式 长、短轴

长轴长 =2a, 短轴长 =2b

对称轴

两坐标轴

离心率

e

c =

( 0 < e < 1)

2 2

例 2. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴两个焦点坐标分别是 (-4,0) 、（ 4， 0），椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于

10；

⑵两个焦点坐标分别是（ 0，－ 2）和（ 0,2 ）且过（

3 , 5 ）

2 2

例 3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1) 两个焦点坐标分别是 (-3 ， 0) ，(3 ， 0) ，椭圆经过点 (5 ， 0).

(2) 两个焦点坐标分别是 (0 ， 5) ， (0 ， -5) ，椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26.

例 4 已知椭圆经过两点（

3 , 5

)与( 3 , 5 ) ，求椭圆的标准方程 2 2

例 5 1. 椭圆短轴长是 2，长轴是短轴的 2 倍，则椭圆离心率是 ；

2. 如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为

；

3. 若椭圆的两个焦点 F 1 、F 2 与短轴的一个端点 B 构成一个正三角形， 则椭圆的离心率为

；

[ 典型练习 ] ：

x

2

y

2

1 椭圆

1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为（

）

25

9

A.5

B.6

C.4

D.10

x

2

y

2

2. 椭圆

1 的焦点坐标是（

）

25 169

A.( ± 5， 0)

B.(0 ，± 5)

C.(0 ，± 12)

D.(

± 12，0)

3. 已知椭圆的方程为 x

8

y 1 ，焦点在 x 轴上，则其焦距为（

）

m

A.2

8 m 2

B.2 2 2 m

C.2 m

2

8

D.

2 m 2 2

4. a

6, c 1 ,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是

2

x2 5. 椭圆

m 2

y2

1 的焦点坐标是m 5

（A）(±7, 0) （B）(0, ±7) （C）(±7 ,0) （D）(0, ± 7 )

6. 设F1, F2为定点，| F1F2|=6 ，动点M满足| MF1 | | MF2 | 6 ，则动点M的轨迹是（）

A. 椭圆

B. 直线

C. 圆

D.

x 2 y 2

7. 椭圆 1 的左右焦点为F1, F2，一直线过F1交椭圆于A、B 两点，则ABF 2的周长为（）

16 7

A.32

B.16

C.8

D.4

8. P 为椭圆x y2

1 上的一点，F1 和F

2 是其焦点，若∠ F1PF2=60°，则△F1PF2 的面积为.

9. 如果方程100 64

x2ky2 2 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是.

x 2 y2

10. 方程 1 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是.

2m m 1

11. 在△ABC中，BC=24，A C、AB的两条中线之和为39, 求△ABC的重心轨迹方程.

x 2 y2

12. 已知点P 在椭圆 1 上，F1、F2是椭圆的焦点，且PF1⊥PF2，求

49 24

（1）| PF1 | ·| PF2 | （2）△PF1F2 的面积

y

P

F1 o F2 x 2

6. 平面内两个定点 F 1, F 2之间的距离为 2，一个动点 M 到这两个定点的距离和为

6. 建立适当的坐标系，推

导出点 M 的轨迹方程 .

作业

1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出

a,b,c 的值 2

① x 2

y

2

2 1 ；②

x

2

4 y

2

2

1 ；③

x

2

4 y

2

2

1 ；④ 4 y 2

9 x 2

36

x

2

2 椭圆 16 y

2

9

1 的焦距是

，焦点坐标为

；若 CD 为过左焦点 F 1的弦，则 F 2CD 的

周长为

3． 方程 4

x 2

ky

2

1的曲线是焦点在 y 上的椭圆 ，求 k 的取值范围

x

2

4 椭圆

100 y

2

36

1 上一点 P 到焦点 F 1 的距离等于 6，则点 P 到另一个焦点 F

2 的距离是

5 动点 P 到两定点 F 1 (-4,0)， F 2 (4,0)的距离的和是 8，则动点 P 的轨迹为