第十一课时数列应用题

第十一课时 数列应用题

教学目标：

将等比数列的通项公式和前

n 项求和公式应用到应用题的有关计算中去；增强学生的应

用意识，提高学生的实际应用能力 • 教学重点：

等比数列通项公式和前 n 项和公式的应用. 教学难点：

利用等比数列有关知识解决一些实际问题 •

教学过程：

［例1］某人年初向银行贷款 10万元用于购房•

(I)

如果他向建设银行贷款，年利率为 5%,且这笔款分

10次等额归还(不计复利)

每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？

(n)如果他向工商银行贷款，年利率为

4%,要按复利计算(即本年的利息计入次年的

本金生息)，仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？

解：(I)若向建设银行贷款，设每年还款

x 元，

贝y 105x (1 + 10X 5%) = x(1 + 9X 5%) + x(1 + 8X 5%) + x(1+ 7X 5%) +…+ x 105 X1 5

即: 105X 1.5= 10x + 45X 0.05 元，解得 x ^-— 〜12245(元)

12.25

1.4802 答：向建设银行贷款，每年应付

12245元；若向工商银行贷款，每年应付

［例2］用分期付款的方式购买家电一件，价为 1150元，购买当天先付

月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为

1%,若交付150元后的每一个月开始算

分期付款的第一个月， 问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后， 买这件家用

电器实际花费多少钱？

解：购买时付出150元后，余欠款1000元，按题意应分 20次付清，由于每次都必须交 50元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的数额顺月次构成一数列 设每次交款数额依次为

a 1, a 2，…，a 20

贝U: a 1 = 50 + 1000X 1% = 60 元，a 2= 50 + (1000 — 50)X 1% = 59.5 元 a 10= 50 + (1000— 9X 50) X 1% = 55.5 元 即第10个月应付款55.5元.

(n)若向工商银行贷款，每年需还 y 元，则：

105X (1 + 4%)10= y(1 + 4%)9

+ y(1 + 4%)'+-+ y(1 + 4%) + y

即 105X 1.0410 = j 04 —

• y 1.04 -1

y

其中：1.0410= 1 + 10X 0.04+ 45X 0.042

+ 120X 0.043

+ 210X 0.044

5

10 X1.4802 X .04 二 y ~ 〜12330(兀)

1.480

2.

12330 元. 150元，以后每

由于｛a n｝是以60为首项，以—0.5为公差的等差数列，所以有:

60 +( 60—19 X0.5)

S20= X 20= 1105(元)

即全部付清后实际付款(1105+ 150)= 1255 (元).

［例3］某职工年初向银行贷款 2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的

优惠年利率为10%，按复利计算(即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金)

，若这笔贷

款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应 还多少元？

分析：逐年分析，寻找规律，建立恰当数学模型

解：设贷款额为a 。元，贷款年利率为 a 次年等额归还 x 元，第n 年还清，则

一年后的欠款数为： a 1 = (1 + M a °— x

二年后的欠款数为： 2

a 2= (1 + ”a 1— x = (1 + a) a 0 — x[ (1 + a) + 1]

三年后的欠款数

为：

3

2

a 3= (1 + "a ?— x = (1 + a a — x[ (1 + a) + (1 + a + 1] 由于a n = 0,贷款还清，

将 a= 0.1 , a 0= 20000, n = 10 代入，得

10

2000 X).1 X .1 2000 >2.5937 一

x = 1.110— 1

1.5937 〜325

気.

［例4］某人于1997年7月1日在银行按一年定期储蓄的方式存入

a 元，1998年7月1

日，他将到期存款的本息取出后添上 a 元再按一年定期储蓄存入银行，此后他每年

7月1日

按照同样同样的方法在银行取款和存款，设银行定期储蓄的年利率 r 不变，问到2002年7月

1日他的本息共有多少？

分析：逐年分析，寻找规律，建立数学模型 解：由题意得：1998年本息总数为a(1 + r),

2

1999年本息总数为 a(1 + r) + a(1 + r),

评述：解决等比数列应用题的关键是认真审题抓特点，仔细观察找规律，一般地，等比数列 的特点是

增加或减少的百分数相同，为了分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以 考查•

［例5］某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林， 第一年植树100亩, 以后每一年比上一年多植树

50亩.

(1)若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化 ?

(2 )若每亩所植树苗、木材量为 2立方米，每年树木木材量的自然增长率为

20%，那么

全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为

S,求S 的表达式.

(3)若1.28- 4.3，计算S (精确到1立方米).

分析：由题意可知，各年植树亩数为：

100, 150, 200,……成等差数列

n 年后的欠款数为: + 1］ a n = (1 + ”a n ~1 — X = (1 + a a 0— x[(1 + a) + (1 + a ) +…+ (1 + a)

(1 + a)n

a 0 = x 1—(1+ a n 1-(1+ a

a (1 + "n a 0 (1 + a)n — 1

2002年本息总数为： 5

a(1 + r)[1 — (1 + r)]

即 1 — (1 + r)

a(1 + r)5+ a(1 + r)4+ a(1 + r)3 + a(1 + r)2 + a(1 + r) =；[(1 + r)6

— (1 + r)]