概率论与数理统计习题三及答案

概率论与数理统计B 习题三答案

A

1. 二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），11,3⎛

⎫- ⎪⎝⎭

，（2，0），

且取这些组值的概率依次为12

5

,121,31,61.求这二维随机变量的分布律，并写出关于X 及关于Y 的边缘分布律。

解：由题意可得()Y X ,的联合分布律为

2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，

3.从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同.以Y X ,分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求),(Y X 的分布律及)(Y X P =。

解：X 可能的取值为3,2,1，Y 可能的取值为3,2,1，相应的，其概率为

()()()()()()()()()121111

1,10,1,2,1,3,4364312

211211211

2,1,2,2,2,3,

4364364361121

3,1,3,2,3,30

12436P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ⨯⨯======

=====⨯⨯⨯⨯⨯============⨯⨯⨯⨯==========⨯

或写成

()()()()6

13,32,21,1=

==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P 。

3. 箱子中装有10件产品，其中2件是次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次.定义随机变量Y X ,如下：⎩⎨

⎧=1

0X ,,若第一次取出正品,若第一次取出次品,⎩⎨

⎧=10Y ,,若第二次取出正品,

若第二次取出次品,分别就下面两种情况（1）放回抽样，（2）不放回抽样。

求：（1）二维随机变量),(Y X 的联合分布律；

（2）关于X 及关于Y 的边缘分布律； （3）X 与Y 是否独立，为什么？ 解：（1）在放回抽样时，X 可能取的值为1,0，Y 可能取的值也为1,0，且

()()()(),

25

1

1010221,1,2541010820,1,

25

4

1010281,0,25161010880,0=⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯=

==Y X P Y X P Y X P Y X P

或写成

在无放回情形下，X 、Y 可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为

()()()(),

45

1

910121,1,458910820,1,

45

8

910281,0,4528910780,0=⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯===Y X P Y X P Y X P Y X P

或写成

（2）在有放回情况下X

Y 的边缘分布律为

在无放回情况下X 的边缘分布律为

Y 的边缘分布律为

（3）在有放回情况下，由于()25160,0===Y X P ，而()()25

16

545400=⨯===Y P X P ，

即()()()000,0=====Y P X P Y X P ；容易验证()()(),101,0=====Y P X P Y X P

()()()()()()111,1,010,1==========Y P X P Y X P Y P X P Y X P ，由独立性定义知X 与

Y 相互独立。

在无放回情况下，由于()45280,0=

==Y X P ，而()()25

16545400=⨯===Y P X P ，易见()()()000,0==≠==Y P X P Y X P ，所以X 与Y 不相互独立。

4. 设二维随机变量),(Y X 服从在区域D 上的均匀分布，其中区域D 为x 轴，y 轴及直线y =2x +1围成的三角形区域.求：（1）),(Y X 的联合密度函数；（2）1

10,04

4P X Y ⎛⎫-

<<<< ⎪⎝⎭；

（3）关于X 及关于Y 的边缘密度函数；（4）X 与Y 是否独立，为什么？

解：（1）区域D 见图1：

易算得D 的面积为4

1

21121=⨯⨯=

S ，所以()Y X ,的密度函数 ()=y x f ,

,0,4()其他D y x ∈, ()Y X ,的分布函数：

()()⎰⎰∞-∞-=y

x

dxdy y x f y x F ,,

当2

1

-

1

20,02

1+<≤<≤-x y x 时, ()202

1244,y y xy dx dy y x F y

x

y -+==⎰⎰-；

当12,021+≥<≤-

x y x 时，()1444,22

11

20++==⎰⎰-+x x dy dx y x F x x ；

当10,0<≤≥y x 时，()200

2

124,y y dx dy y x F y

y -==⎰⎰-；

当1,0≥≥y x 时，()⎰⎰-+==02

11

20

14,x dy dx y x F

（2）X 的边缘密度函数为

()()⎰+∞

∞-=dy y x f x f X ,

图1