第18章 基于罚函数的粒子群算法的函数寻优
基于粒子群算法的函数寻优代码详解
基于粒子群算法的函数寻优代码详解首先，我们需要定义问题的目标函数。
在本案例中，我们以寻找函数f(x)=x^2的最小值为例，目标是找到使得f(x)最小化的x的值。
接下来，我们需要初始化一群粒子。
每个粒子都有一个位置向量x和一个速度向量v。
粒子的位置和速度将在算法的迭代过程中被更新。
初始化粒子的位置和速度可以通过随机生成的方式实现，即将每个粒子的初始位置和速度设为一个在问题空间中随机选择的点。
在每次迭代中，每个粒子的速度和位置将按照以下过程进行更新：1.对粒子i，计算其当前位置的目标函数值，并将该值与其历史最优值进行比较。
如果当前值更优，则将其作为粒子i的历史最优值。
2.对粒子i，计算其当前位置的目标函数值，并与整个群体中的最优值进行比较。
如果当前值更优，则将其作为全局最优值。
3. 对粒子i，更新其速度和位置。
首先根据历史最优位置和全局最优位置计算两个加速度项。
然后根据公式v(i+1) = w * v(i) + c1 * rand( * (pbest(i) - x(i)) + c2 * rand( * (gbest - x(i))来更新速度，其中w为惯性权重，c1和c2为加速系数，rand(为[0,1]之间的随机数，pbest(i)为粒子i的历史最优位置，gbest为全局最优位置。
最后，更新位置为x(i+1) = x(i) + v(i+1)。
4.如果满足终止条件（如达到最大迭代次数或达到收敛阈值），则停止迭代。
否则，返回步骤2下面是一个基于粒子群算法的函数寻优的代码示例：```pythonimport randomclass Particle:def __init__(self, position, velocity):self.position = positionself.velocity = velocityself.best_position = positiondef objective_function(x):return x ** 2def initialize_particles(num_particles, search_space):particles = []for _ in range(num_particles):position = [random.uniform(search_space[0], search_space[1])] velocity = [random.uniform(-1, 1)]particles.append(Particle(position, velocity))return particlesdef update_particle(particle, inertia_weight,cognitive_weight, social_weight, global_best):current_fitness = objective_function(particle.position[0])best_fitness = objective_function(particle.best_position[0])if current_fitness < best_fitness:particle.best_position = particle.position.copyif current_fitness <objective_function(global_best.position[0]):global_best.position = particle.position.copyinertia_term = inertia_weight * particle.velocity[0]cognitive_term = cognitive_weight * random.random( * (particle.best_position[0] - particle.position[0])social_term = social_weight * random.random( *(global_best.position[0] - particle.position[0])particle.velocity[0] = inertia_term + cognitive_term +social_termparticle.position[0] = particle.position[0] +particle.velocity[0]def optimize(max_iterations, num_particles, search_space):inertia_weight = 0.5cognitive_weight = 0.9social_weight = 0.9particles = initialize_particles(num_particles, search_space)global_best = min(particles, key=lambda p:objective_function(p.position[0]))for _ in range(max_iterations):for particle in particles:update_particle(particle, inertia_weight, cognitive_weight, social_weight, global_best)return global_best.position[0]#使用示例max_iterations = 100num_particles = 30search_space = [-10, 10]best_solution = optimize(max_iterations, num_particles, search_space)print(f"Best solution: {best_solution}")print(f"Objective function value:{objective_function(best_solution)}")```以上代码示例实现了一个简单的基于粒子群算法的函数寻优。
基于粒子群算法的寻优计算
在（ .3）中 为非负数，称为动力常量，控制前一速度对当前速度的影响， 较 大时，前一速度影响较大，全局搜索能力较强； 较小时，前一速度影响较小，局部 搜索能力较强。通过调整 大小来跳出局部极小值。 终止条件根据具体问题取最大迭代次数或粒子群搜索到的最优位置满足的预定最 小适应阈值。 初始化过程如下： Ⅰ.设定群体规模 m 。 Ⅱ.对任意的 i ， s ，在 xmax , xmax 内服从均匀分布产生 xis ； Ⅲ.对任意的 i ， s ，在 vmax , vmax 内服从均匀分布产生 vis 。 Ⅳ.对任意的 i ，设 yi xi 。 PSO 算法步骤如下： Step1：初始化一个规模为 m 的粒子群，设定初始位置和速度。 Step2：计算每个粒子的适应值。 Step3：对每个粒子将其适应值和其经历过的最好位置 pis 的适应值进行比较，若 较好，则将其作为当前的最好位置。 Step4：对每个粒子将其适应值和全局经历过的最好位置 pgs 的适应值进行比较， 若较好，则将其作为当前的全局最好位置。 Step5：根据方程（ .1） ， （ .2）分别对粒子的速度和位置进行更新。 Step6：如果满足终止条件，则输出解；否则返回 Step2。
的认知观点。J.Kennedy 和 R.Eberhart 对 Frank Heppner 的模型进行了修正，以使粒子 能够飞向解空间并在最好解处降落。其关键在于如何保证粒子降落在最好解而不降落 在其它解处，这就是信念的社会性及智能性所在。 信念具有社会性的实质在于个体向它周围的成功者学习。个体和周围的其他同类 比较，并模仿优秀者的行为。要解决这一问题，关键在于在探索（寻找一个好解）和 开发（利用一个好解）之间寻找一个好的平衡。太小的探索导致算法收敛于早期遇到 的好解处，而太小的开发会使算法不收敛。 另一方面，需要在个性与社会性之间寻找平衡。也就是说：既希望个体具有个性 化，像鸟类模型中的鸟不相互碰撞，又希望其知道其它个体已经找到的好解并向它们 学习，即社会性。 J.Kennedy 与 R.Eberhart 很好的解决了这个问题， 1995 年他们在 IEEE 国际神经网 络学术会议上正式发表了题为： “Particle Swarm Optimization”的文章，标志着粒子群 算法的诞生。 粒子群算法与其它的进化类算法类似，也采用“群体”和“进化”的概念，同样 也根据个体的适应值大小进行操作。不同的是，PSO 中没有进化算子，而是将每个个 体看作搜索空间中没有重量和体积的微粒，并在搜索空间中以一定的速度飞行，该飞 行速度由个体飞行经验和群体的飞行经验进行动态调整。 示为一个 S 维的向量 xi xi1 , xi 2 , 设在一个 S 维的目标搜索空间中，有 m 个粒子组成一个群体，其中第 i 个粒子表
粒子群优化算法理论及应用ppt课件
学报》、《分析化学》等
15
PSO的研究与应用现状概述
截至2010年3月
• 在《科学引文索引扩展版SCI Expanded》的“Science
Citation Index Expanded (SCI-EXPANDED)--1999-present” 数据库中以“General Search，TOPIC，Title only”为检索 方式，以“Particle Swarm Optimization”为检索词，进行 检索，可以检索到1075篇相关文章；
进化计算是模拟自然界生物进化过程与机理求解优化 问题的人工智能技术，其形式是迭代算法，从选定的初始群 体（一组初始解）出发，对群体中的每个个体进行评价，并 利用进化产生机制产生后代个体，通过不断迭代，直至搜索 到优化问题的最优解或者满意解。
6
开始
群体初始化
算
对群体中的每个个体进行评价
法
流
利用进化产生机制产生后代个体
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PSO算法起源
• 模拟鸟类飞行的Boid模型
群体行为可以用几条简单行为规则在计算机
中建模，Reynolds使用以下规则作为行为规则：
向背离最近同伴的方向移动；
向目的移动；
向群体的中心移动。
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PSO算法起源
• 假设在一个区域里只有一块食物，一群鸟进行随机
搜索，所有鸟都不知道食物具体在哪里，但知道它 们当前位置离食物还有多远，那么一种简单有效的 觅食策略是搜索目前离食物最近的鸟的周围区域。
过程中，个体适应度和群体中所有个体的平均适应度不断得到
改进，最终可以得到具有较高适应度的个体，对应于问题的最
《粒子群优化算法》课件
粒子群优化算法是基于群体智能思想的优化方法，其思想来源于生物群体中的合作行为。
粒子群优化算法的流程
1
初始化种群
随机生成一定数量的个体，作为种群的起始状态。
2
计算适应度函数
对每个个体，根据适应度函数计算其适应度值。
3
更新速度和位置
根据当前的速度和位置，以及社会经验和个体经验，计算每个个体的新速度和新位置。
《粒子群优化算法》PPT 课件
这是一份关于粒子群优化算法的PPT课件，通过它，你将掌握这种算法的定 义、原理、应用，以及未来的发展方向。
什么是粒子群优化算法？
1 定义
粒子群优化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法是一种进化算法，由Kennedy和 Eberhart在1995年提出测种群的状态是否满足结束条件，如果是，输出结果；否则继续更新。
粒子群优化算法在求解函数最小值中的应 用
Rosenbrock函数
粒子群优化算法可以用于求解Rosenbroke函数的全 局最优解。
Rastrigin函数
粒子群优化算法可以用于求解Rastrigin函数的全局 最优解。
粒子群优化算法在机器学习中的应用
粒子群优化算法的未来
1
发展方向
加强算法的智能性和泛化能力。
2
进一步应用
将粒子群优化算法应用到集成优化、无人驾驶、协同控制等领域。
总结
1 通过这份PPT课件，你已经了解了粒子群优化算法的定义、原理、应用和未来的发展方
向。
神经网络优化
粒子群优化算法可以优化神经网络中的连接权重、 偏置值等参数，提高神经网络的精确度。
选取最优超参数
粒子群优化算法可以为机器学习模型选择最优的超 参数，包括学习率、迭代次数、隐藏层数等。
基于自适应罚函数优化粒子群的WSN定位算法
基于自适应罚函数优化粒子群的WSN定位算法
刘宏;韩亚波;张时斌;关业欢
【期刊名称】《传感技术学报》
【年(卷),期】2018(031)008
【摘要】针对无线传感器网络节点定位问题,提出了一种自适应罚函数优化粒子群的算法.算法在定位过程中,首先运用极大似然估计法进行粗略定位,然后通过对计算误差和测距误差之间差值进行加权处理,限制搜索区域,根据群体中可行解比例的大小,自适应调节罚因子的大小进行迭代寻优,最终得到节点坐标.仿真结果表明:算法较好地克服了传统粒子群算法收敛速度慢,易陷入局部极小点等问题,对比同类算法,算法具有更高的定位精度和较快的收敛速,且稳定性更高.
【总页数】6页(P1253-1257,1265)
【作者】刘宏;韩亚波;张时斌;关业欢
【作者单位】江西理工大学电气工程与自动化学院,江西赣州341000;江西理工大学电气工程与自动化学院,江西赣州341000;江西理工大学电气工程与自动化学院,江西赣州341000;江西理工大学电气工程与自动化学院,江西赣州341000
【正文语种】中文
【中图分类】TP393
【相关文献】
1.基于自适应变异二进制粒子群算法的WSN区域覆盖问题研究 [J], 李雨江;潘博
2.煤矿井下WSN中基于自适应粒子群聚类算法的多sink节点部署 [J], 胡长俊;袁
树杰
3.基于模拟退火自适应粒子群算法的WSN拓扑抗毁性方法研究 [J], 宋玉龙;王磊;武欣嵘;曾维军
4.基于WSN分簇的自适应粒子群优化算法 [J], 宋兆函
5.一种基于自适应免疫粒子群算法的多峰函数优化 [J], 何庆
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粒子群优化算法-参数寻优
粒⼦群优化算法-参数寻优⼀、粒⼦群算法的概念 粒⼦群优化算法的基本思想：是通过群体中个体之间的协作和信息共享来寻找最优解． PSO的优势：在于简单容易实现并且没有许多参数的调节。
⽬前已被⼴泛应⽤于函数优化、神经⽹络训练、模糊系统控制以及其他遗传算法的应⽤领域。
⼆、粒⼦群算法分析1、基本思想 粒⼦群算法通过设计⼀种⽆质量的粒⼦来模拟鸟群中的鸟，粒⼦仅具有两个属性：速度和位置，速度代表移动的快慢，位置代表移动的⽅向。
每个粒⼦在搜索空间中单独的搜寻最优解，并将其记为当前个体极值，并将个体极值与整个粒⼦群⾥的其他粒⼦共享，找到最优的那个个体极值作为整个粒⼦群的当前全局最优解，粒⼦群中的所有粒⼦根据⾃⼰找到的当前个体极值和整个粒⼦群共享的当前全局最优解来调整⾃⼰的速度和位置。
2、粒⼦群算法的主要步骤如下:（1）对粒⼦群的随机位置和速度进⾏初始设定，同时设定迭代次数。
第⼆步:计算每个粒⼦的适应度值。
（2）对每个粒⼦，将其适应度值与所经历的最好位置Pbest;的适应度值进⾏⽐较，若较好，则将其作为当前的个体最优位置。
（3）对每个粒⼦，将其适应度值与全局所经历的最好位置Gbestg的适应度值进⾏⽐较，若较好，则将其作为当前的全局最优位置。
（4）根据公式(1), (2)对粒⼦的速度和位置进⾏优化，从⽽产⽣新的粒⼦。
（5）如未达到结束条件(通常为最⼤循环数或最⼩误差要求)，则返回第⼆步。
3、本案例群体的初始参数列表：maxgen：⼀般为最⼤迭代次数以最⼩误差的要求满⾜的。
粒⼦群算法的最⼤迭代次数，也是终⽌条件数。
c1,c2：加速常数，取随机2左右的值。
w：惯性权重产⽣的。
4、初始运⾏：（1）⾸先测试c1、c2、w的迭代影响：利⽤函数来表⽰各变量：运⾏得：逐渐迭代得：可以看出迭代收敛最早。
随着不断的迭代，最优适应度承不稳定状态。
（2）dim与sizepop的影响：适应度函数维数dim=12：适应度函数维数dim=8：适应度函数维数dim=5：适应度函数维数dim=3：种群规模sizepop=220：种群规模sizepop=200：种群规模sizepop=150：种群规模sizepop=130：将种群规模sizepop调制到<130时，迭代次数⽆法收敛到接近于0，所以判别种群规模sizepop在200最佳。
基于自适应罚函数优化粒子群的WSN定位算法
项目来源:国家自然科学基金项目(６１１６３０６３) 收稿日期:２０１８－０１－１８ 修改日期:２０１８－０４－０９
实际有一定的偏差ꎬ使得基于距离的定位算法测出的 节点位置不够精确ꎮ 而粒子群定位算法对测距精度 的要求不高ꎬ且能快速求得最优解ꎬ故目前众ห้องสมุดไป่ตู้学者 都纷纷将目光投向研究粒子群定位算法ꎬ以经典粒子 群(ＰＳＯ)算法[４] ꎬ离散粒子群(ＤＰＳＯ)算法[５] 为基础ꎬ 各种优化算法层出不穷ꎮ 文献[６]设计的 ＲＱ￣ＰＳＯ 定 位算法中ꎬ通过引入几何约束来限制粒子运动空间ꎬ 然后应用鲁棒四边形规则优化节点定位ꎬ算法提高了 定位精度ꎬ但收敛速度提升较少ꎮ 文献[７] 通过改进 边界的方法缩小限制可行解空间ꎬ加快了粒子群的搜 索速度ꎬ然后引入竞争进化和自适应权重相结合方法
ＬＩＵ Ｈｏｎｇ∗ꎬＨＡＮ ＹａｂｏꎬＺＨＡＮＧ ＳｈｉｂｉｎꎬＧＵＡＮ Ｙｅｈｕａｎ
(Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ ＡｕｔｏｍａｔｉｏｎꎬＪｉａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙꎬＧａｎｚｈｏｕ Ｊｉａｎｇｘｉ ３４１０００ꎬＣｈｉｎａ)
基于自适应罚函数优化粒子群的 ＷＳＮ 定位算法∗
刘 宏∗ꎬ韩亚波ꎬ张时斌ꎬ关业欢
(江西理工大学电气工程与自动化学院ꎬ江西 赣州 ３４１０００)
摘 要:针对无线传感器网络节点定位问题ꎬ提出了一种自适应罚函数优化粒子群的算法ꎮ 算法在定位过程中ꎬ首先运用极大似然
估计法进行粗略定位ꎬ然后通过对计算误差和测距误差之间差值进行加权处理ꎬ限制搜索区域ꎬ根据群体中可行解比例的大小ꎬ自适 应调节罚因子的大小进行迭代寻优ꎬ最终得到节点坐标ꎮ 仿真结果表明:算法较好地克服了传统粒子群算法收敛速度慢ꎬ易陷入局部 极小点等问题ꎬ对比同类算法ꎬ算法具有更高的定位精度和较快的收敛速ꎬ且稳定性更高ꎮ
第18章 基于罚函数的粒子群算法的函数寻优
alpha = 25*pi/180;
% 道路坡度角-->弧度
Cd = 0.32;
% 空气阻力系数
A = 1.5;
% 迎风面积，即汽车行驶方向的投影
面积(m^2)
rou = 7.0;
% 燃油重度，N/L
K = 1.05;
% 考虑连续加速,加权系数
Ttq_max = 132;
% 发动机的最大转矩(N.m)
MATLAB优化算法案例分析与应用
第十八章
MATLAB优化算法案例分析与应用
global lamda1 lamda2 m ua_max eta_T r G f alpha Cd A rou K
Ttq_max Fz fai ge_ne_pe du
lamda1 = 0.2;
% 动力性发挥程度加权因子
lamda2 = 0.8;
例如美国Michigan大学的J.H.Holland教授等创立的遗传算法GA， Rechenberg等创立的进化策略及Fogel等创立的进化规划。遗传算法 GA、进化策略、进化规划有一定的相似性，它们均来自于达尔文的进 化论，其中遗传算法GA的研究最为深入，理论最为成熟，并且应用面 也最广。
粒子群算法（PSO）也是一个多学科交叉的领域，同样吸引着众多的 学者运用不同的技术手段对之进行改进研究，具体包括数学、计算机科 学、生物以及物理等许多学科的科研人员，并且粒子群优化算法PSO在 工业、交通、化工、能源、农业、国防、工程、通信等许多领域有着广 阔的应用前景。因此，对粒子群优化算法进行研究具有很重要的意义。
Fz = G/4;
% 驱动轮上的法向反作用力(N)
fai = 0.7;
% 地面附着系数
ge_ne_pe = 205;
基于粒子群优化算法的最优化问题求解
基于粒子群优化算法的最优化问题求解在当前的科技之中，机器学习、数据分析、人工智能等热门领域中，最优化问题求解显得尤为重要。
而对于最优化问题求解，粒子群优化算法成为了较为热门的解决办法。
一、最优化问题的定义在介绍粒子群算法前，我们先需要了解最优化问题的定义。
最优化问题是指在某一条件前提下，寻找函数的最大值或最小值，以达到“最优解”的目的。
在数学领域中，求解最优化问题属于优化方法的范畴。
二、粒子群算法的定义粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种群体智能算法，其基本思想源于对鸟群、鱼群等生物的观察，把问题看作是一个粒子在问题空间中搜索最优解。
每个粒子表示一种可能的解，在搜索的过程中不断地调整其速度和位置，以寻找更优解。
粒子群算法充分利用了种群协同思想和群体智慧，对多峰、非线性问题有着很好的适应性，在机器学习、图像识别等领域有着广泛的应用。
三、粒子群算法的基本思路粒子群算法的基本思路是寻找某个问题目标函数的全局最小值或最大值。
针对最优化问题，我们可以把每个解想象成问题空间中的一个粒子，每次移动到下一个位置时，每个粒子所占的位置都会产生一种速度，粒子的位置在问题空间中会进行搜索，直到寻找到全局最优解或达到预设的迭代终止值。
四、粒子群算法的优点粒子群算法具有以下几个优点：1. 对于非线性多峰问题适用性好：对于搜索空间内容略多、非线性多峰问题，粒子群算法较其他算法如遗传算法、蚁群算法较具优势。
2. 全局寻优：与其他算法相比，粒子群算法在全局寻优方面表现较好。
3. 鲁棒性：由于采用并行搜索模式，粒子群算法也能够不受初始值选择过大或过小等影响，从而更加鲁棒。
五、粒子群算法的局限性粒子群算法虽然在大多数情况下表现优异，但仍然存在以下不足：1. 对于单峰问题的处理能力略弱：若要解决单峰问题，仍需选用其他的优化算法。
2. 收敛速度较慢：粒子群算法需要不断与其他粒子交互，从而增加了迭代次数，进而降低了求解速度。
粒子群优化算法课件
实验结果对比分析
准确率
01
在多个数据集上，粒子群优化算法的准确率均高于对比算法，
表明其具有较强的全局搜索能力。
收敛速度
02
粒子群优化算法在多数数据集上的收敛速度较快，能够更快地
找到最优解。
鲁棒性
03
在不同参数设置和噪声干扰下，粒子群优化算法的性能表现稳
定，显示出良好的鲁棒性。
结果讨论与改进建议
讨论
其中，V(t+1)表示第t+1次迭代 时粒子的速度，V(t)表示第t次迭 代时粒子的速度，Pbest表示粒 子自身的最优解，Gbest表示全 局最优解，X(t)表示第t次迭代时
粒子的位置，w、c1、c2、 rand()为参数。
算法优缺点分析
优点
简单易实现、参数少、收敛速度快、 能够处理多峰问题等。
03
强化算法的可视化和解释性
发展可视化工具和解释性方法，帮助用户更好地理解粒子群优化算法的
工作原理和结果。
THANKS
感谢观看
粒子群优化算法的改进与扩展
动态调整惯性权重
惯性权重是粒子群优化算法中的一个 重要参数，它决定了粒子的飞行速度 。通过动态调整惯性权重，可以在不 同的搜索阶段采用不同的权重值，从 而更好地平衡全局搜索和局部搜索。
VS
一种常见的动态调整惯性权重的方法 是根据算法的迭代次数或适应度值的 变化来调整权重值。例如，在算法的 初期，为了更好地进行全局搜索，可 以将惯性权重设置得较大；而在算法 的后期，为了更好地进行局部搜索， 可以将惯性权重设置得较小。
并行粒子群优化算法
并行计算技术可以提高粒子群优化算法的计算效率和收敛 速度。通过将粒子群分成多个子群，并在不同的处理器上 同时运行这些子群，可以加快算法的收敛速度。
《粒子群优化算法》课件
CONTENTS
• 粒子群优化算法概述 • 粒子群优化算法的基本原理 • 粒子群优化算法的改进与变种 • 粒子群优化算法的参数选择与
调优 • 粒子群优化算法的实验与分析 • 总结与展望
01
粒子群优化算法概述
定义与原理
定义
粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种基于群体智 能的优化算法，通过模拟鸟群、鱼群等生物群体的觅食行为，寻找最优解。
限制粒子的搜索范围，避免无效搜索。
参数选择与调优的方法
网格搜索法
在参数空间中设定网格， 对每个网格点进行测试， 找到最优参数组合。
经验法
根据经验或实验结果，手 动调整参数。
贝叶斯优化法
基于贝叶斯定理，通过不 断迭代和更新参数概率分 布来找到最优参数。
遗传算法
模拟生物进以进一步深化对粒子群优化算法的理 论基础研究，探索其内在机制和本质规律，为算 法设计和改进提供更科学的指导。
为了更好地处理大规模、高维度和复杂问题，未 来研究可以探索更先进的搜索策略和更新机制， 以增强粒子群优化算法的局部搜索能力和全局搜 索能力。
随着人工智能技术的不断发展，粒子群优化算法 的应用领域也将不断扩展，未来研究可以探索其 在机器学习、数据挖掘、智能控制等领域的新应 用和新方法。
04
粒子群优化算法的参数选择与调优
参数对粒子群优化算法性能的影响
粒子数量
惯性权重
粒子数量决定了算法的搜索空间和搜索速 度。过少可能导致算法过早收敛，过多则 可能导致计算量增大。
影响粒子的全局和局部搜索能力，过大可 能导致算法发散，过小则可能使算法过早 收敛。
加速常数
粒子群寻优算法及案例说明
《智能优化算法》作业之粒子群算法寻优PSO 算法首先在可行解空间中初始化一群粒子，每个粒子都代表极值优化问题的一个潜在最优解，用位置、速度和适应度值三项指标表示该粒子特征，适应度值由适应度函数计算得到，其值的好坏表示粒子的优劣。
PSO 算法初始化为一群随机粒子后，会得到相应的随机解，然后通过迭代找到最优解。
在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个极值来更新自己：第一个就是粒子本身所找到的最优解，这个解称为个体极值;另一个就是整个种群目前找到的最优解，这个极值是全局极值。
在每次迭代过程中，粒子通过个体极值和群体极值更新自身的速度和位置，即111()()k k k k k k id id id id gd id V wV c r P X cr P X +=+-+- （1）11k k k id id idX X V ++=+ （2） 其中，w 为惯性权重，d 为空间维数，1,2,,;1,2,,;d D i n == k 为当前迭代次数；id V 为粒子的速度；1c 和2c 是非负的常数，称为加速度因子；1r 和2r 是分布于[0,1] 区间的随机数。
为防止粒子的盲目搜索，一般建议将其位置和速度限制在一定的区间max max [,]X X - ，max max [,]V V -。
在速度更新的公式（1）中有三部分组成：第一部分为惯性或动量部分，反映了粒子运动习惯，代表粒子有维持自己先前速度的趋势；第二部分为认知部分，反映了粒子对自身历史经验的记忆或回忆，代表粒子有向自身历史最佳位置逼近的趋势；第三部分为社会部分，反映了粒子间协同合作与知识共享的群体历史经验，代表粒子有向群体或邻域历史最佳位置逼近的趋势 。
惯性权重，它使粒子保持运动惯性，使其扩展搜索空间的趋势，有能力搜索新的区域。
它可以取一常数作为固定的权重值，也可以取一个函数作为在迭代过程中改变的权重值，通常用线性递减的惯性权重。
在算法初期，全局搜索能力较强，如果找不到最优值的位置，随着权重值的减少，局部搜索能力加强，容易陷入局部极值，然而选取步长较小的线性递减惯性权重，权重的变化幅度较小，不易陷入局部最优。
粒子群算法的寻优算法-非线性函数极值寻优
加速因⼦c1加速因⼦c2惯性权重w 最⼤迭代次数 种群规模速度范围变量取值范围适应度函数维数1.49445 1.494450.81000200[-1,1][-5,5]10c1c2w 1.494451.494450.8粒⼦群算法的寻优算法-⾮线性函数极值寻优⼀、简介粒⼦群算法⼜被称为粒⼦群优化算法（PSO ）。
粒⼦群算法是源于对鸟群捕⾷的⾏为研究；是通过模拟鸟群觅⾷⾏为⽽发展起来的⼀种基于群体协作的随机搜索算法。
⼆、粒⼦群算法分析1、基本思想粒⼦群算法通过设计⼀种粒⼦来模拟鸟群中的鸟类个体，粒⼦仅具有两个属性：速度和位置，速度代表移动的快慢，位置代表移动的⽅向。
每个粒⼦在搜索空间中单独的搜寻最优解，并将其记为当前个体极值，并将个体极值与整个粒⼦群⾥的其他粒⼦共享，找到最优的那个个体极值作为整个粒⼦群的当前全局最优解，不断迭代，更新速度和位置，粒⼦群中的所有粒⼦根据⾃⼰找到的当前个体极值和整个粒⼦群共享的当前全局最优解来调整⾃⼰的速度和位置。
最终得到满⾜终⽌条件的最优解。
主要是通过群体中个体之间的协作和信息共享来寻找最优解。
2、初始化对所有参数进⾏初始化，当然后期还可以更改。
设置最⼤迭代次数、加速因⼦c1和c2、惯性权重w 、种群规模sizepop 、限制速度围、变量取值范围、适应度函数维数dim 、选择待优化的函数、⽬标函数的⾃变量个数、位置信息为整个搜索空间、初始种群、初始化速度等。
3、个体极值与全局最优解定义适应度函数，个体极值为每个粒⼦找到的最优解，从这些最优解中找到⼀个全局最佳值，叫做本次的全局最优解。
以⽅便与历史的全局最优解⽐较，进⾏更新。
4、 更新速度和位置的公式速度更新：其中，w 为惯性权重，其值不能为负数。
c1和c2为加速因⼦，其值也不能为负数。
rand 为随机产⽣[0,1]之间的随机数。
pbest(j,:)为粒⼦最优的位置；pop(j,:)为粒⼦当前的位置；V(j,:)为粒⼦当前的速度。
基于改进粒子群算法的函数优化
￡）∑ｘｘ ［００最 值 的 峰 函 。 （ ｘ ＝ －，】 小 为０ 单 值 数 ，∈ ２２ ，
（） ｃ ａ ｅ 函数 ２ Ｓｈ ｆ ｒ ｆ ｘ＝可ｉ （ ２ ） ｓ ２￣ （ ｎ 丽
算 机科 学 ， ０ ，６９： ４２ ５ ２ ９３ （） ２ —４ ． ０ ２
［］基 于 小生境 的极性 Ｐ Ｏ 多 目标优化及 应 用 ［］ ５ Ｓ Ｊ．自动 化与仪 表，
（ ｎ ｎ ｉｅｓｙｏ Ｓ ｉ ｃ ｎ ｅｈ ｏｏｙ Ｌ ｏａ ｇ ７ ０ ３ Ｈｅｎｎ Ｈｅａ ｖ ｒｔ ｆ ｃｅ ｅ ｄ ｃｎ ｌｇ ， ｕ ｙ ｎ １０ ， ｎ ａ） Ｕｎ ｉ ｎ ａ Ｔ ４
【Ａｂｔ ｃ ｓ ａ ｔ】 Ｔ ｖ ｉ ｅ ｒｂｅ ｏ ｐ ｅ ｔｒ ｏ ｖ ｒｅ ｃ ｎ ｏ ｒ ｃ ｕａ ｙｉ ｔ ｅ ｏ ． ｅ ｉａ ｚ ｄｐ ｒ ｏ ｐ ｒ ｃ ｓ ｕ － ｒ ｏａ ｏ ｔ ｏ ｌ ｄｈｐ ｍ ｆ ｒ ｍａ ｅｃ ｎ ｅｇ ｎ ｅ ｄｐ ｏ ｃ ｒｃ ｌ ｅ ｐ ｒ ｄ ｒｉ ｔ ｌ ｅ ａｔ ｆ ａｔ ｌ ｒ ｕ ａ ａ ｎａｒ ｉ ｎｉｉ ｉｅ ｄ
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［】一 种 基 于 量 子 行 为 的 改 进 粒 子 群 算 法 ［】 算 机 工 程 与 应 用 ， ６ Ｊ．计 ２ ０ ，３３ ） ９９ ． ０ ７ （６： —１ ４ ８
ｓｈｒ 数 ｐ ｅｅ函
【 ．ｒｃ６ｈＩｔＳ ｍｐ ｓ ｍ ｉＭｉｒ ｃ ｉｅａ ｄＨ ｍａ ｃｅｃ Ａ］ ｏ ｔ ｎ ｙ ｏｉ Ｏｌ ｃｏＭａｈｎ ｎ ｕ ｎ Ｓｉｎｅ Ｐ ｕ ［］ ｇｙ ，９ ５３ —３ Ｃ ． ｏ ａ１９ ．９４ ． Ｎａ
粒子群优化算法(详细易懂-很多例子)讲解学习
粒子群算法的构成要素 -停止准则
停止准则一般有如下两种： 最大迭代步数 可接受的满意解
v i k d = w v i k d - 1 c 1 r 1 ( p b e s t i d x i k d 1 ) c 2 r 2 ( g b e s t d x i k d 1 )
粒子速度更新公式包含三部分： 第一部分为粒子先前的速度 第二部分为“认知”部分，表示粒子本身的思考，可理解为 粒子i当前位置与自己最好位置之间的距离。 第三部分为“社会”部分，表示粒子间的信息共享与合作， 可理解为粒子i当前位置与群体最好位置之间的距离。
惯性因子
基本粒子群算法
失去对粒子本身
的速度的记忆
粒子群算法的构成要素-权重因子 权重因子：惯性因子 、学习因子
v i k d = w v i k d - 1 c 1 r 1 ( p b e s t i d x i k d 1 ) c 2 r 2 ( g b e s t d x i k d 1 )
Xik=Xik1+Vik1
V i =V i1,V i2,...,V iN X i= X i1,X i2,...,X iN
算法流程
1. Initial：
初始化粒子群体（群体规模为n），包括随机位置和速度。
2. Evaluation：
根据fitness function ，评价每个粒子的适应度。
3. Find the Pbest：
粒子群优化算法（PS0）
粒子群算法的寻优算法-非线性函数极值寻优
粒⼦群算法的寻优算法-⾮线性函数极值寻优⼀、粒⼦群算法定义粒⼦群优化算法(Particle Swarm optimization,PSO)⼜翻译为粒⼦群算法、微粒群算法、或微粒群优化算法。
是通过模拟鸟群觅⾷⾏为⽽发展起来的⼀种基于群体协作的随机搜索算法。
通常认为它是群集智能 (Swarm intelligence, SI) 的⼀种。
它可以被纳⼊多主体优化系统(Multiagent Optimization System, MAOS).粒⼦群优化算法是由Eberhart博⼠和kennedy博⼠发明。
模拟捕⾷PSO模拟鸟群的捕⾷⾏为。
⼀群鸟在随机搜索⾷物，在这个区域⾥只有⼀块⾷物。
所有的鸟都不知道⾷物在那⾥。
但是他们知道当前的位置离⾷物还有多远。
那么找到⾷物的最优策略是什么呢。
最简单有效的就是搜寻离⾷物最近的鸟的周围区域。
启⽰PSO从这种模型中得到启⽰并⽤于解决优化问题。
PSO中，每个优化问题的解都是搜索空间中的⼀只鸟。
我们称之为“粒⼦”。
所有的粒⼦都有⼀个由被优化的函数决定的适应值(fitnessvalue)，每个粒⼦还有⼀个速度决定他们飞翔的⽅向和距离。
然后粒⼦们就追随当前的最优粒⼦在解空间中搜索。
PSO初始化PSO初始化为⼀群随机粒⼦(随机解)，然后通过迭代找到最优解，在每⼀次叠代中，粒⼦通过跟踪两个“极值”来更新⾃⼰。
第⼀个就是粒⼦本⾝所找到的最优解，这个解叫做个体极值pBest，另⼀个极值是整个种群找到的最优解，这个极值是全局极值gBest。
另外也可以不⽤整个种群⽽只是⽤其中⼀部分最优粒⼦的邻居，那么在所有邻居中的极值就是局部极值。
⼆、算法介绍在找到这两个最优值时,粒⼦根据如下的公式来更新⾃⼰的速度和新的位置v[ ] = v[ ] + c1 * rand( ) * (pbest[ ] - present[ ]) + c2 * rand( ) * (gbest[ ] - present[ ]) (a)present[ ] = present[ ] + v[ ] (b)v[ ] 是粒⼦的速度, present[ ] 是当前粒⼦的位置. pbest[ ] and gbest[ ] 如前定义 rand ( ) 是介于（0， 1）之间的随机数. c1, c2 是学习因⼦. 通常 c1 = c2 = 2.伪代码实现For each particle Initialize particleENDDo For each particle Calculate fitness value If the fitness value is better than the best fitness value (pBest) in history set current value as the new pBest End Choose the particle with the best fitness value of all the particles as the gBest For each particle Calculate particle velocity according equation (a) Update particle position according equation (b) EndWhile maximum iterations or minimum error criteria is not attained在每⼀维粒⼦的速度都会被限制在⼀个最⼤速度Vmax，如果某⼀维更新后的速度超过⽤户设定的Vmax，那么这⼀维的速度就被限定为Vmax。
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第十八章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•18.4.4 目标函数与约束条件分析
F X =1 f 1 x + 2 f 2 x
T =f 1 x dt =
0
u
u
0
Ft-Ff -Fw
m
du
Ft M eig i0T / r
Ff Gf cos
量。行驶的燃油消耗量。 （2）多工况循环行驶百公里燃油消耗量：由于等速行驶工况并不能全面反映汽 车的实际运行情况。汽车在行驶时，除了用不同的速度作等速行驶外，还会在不 同情况下出现加速、减速和怠速停车等工况，特别是在市区行驶时，上述行驶工 况会出现得更加频繁。 因此各国都制定了一些符合国情的循环行驶工况试验标准来模拟实际汽车运行状 况，并以百公里燃油消耗量来评价相应行驶工况的燃油经济性。
第十八章
g1 X =ual -ua max 0 g2 X =il -i max 0 g3 X =D-D l l max 0 g4 X =Dnl-Dn max 0
g5 X =
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Ttq max ig1ig 0T
r
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global lamda1 lamda2 m ua_max eta_T r G f alpha Cd A rou K Ttq_max Fz fai ge_ne_pe du lamda1 = 0.2; % 动力性发挥程度加权因子 lamda2 = 0.8; % 经济性加权因子 m = 1092; % 整车质量（kg） ua_max = 50; % 最大车速(km/h) eta_T = 0.9; % 传动系的传动效率 r = 0.3; % 车轮半径(m) g = 9.8; % 重力加速度（g*m/s^2） G = m*g; % 汽车重力G=mg，(N) f = 0.015; % 汽车的滚动阻力系数 alpha = 25*pi/180; % 道路坡度角-->弧度 Cd = 0.32; % 空气阻力系数 A = 1.5; % 迎风面积，即汽车行驶方向的投影 面积(m^2) rou = 7.0; % 燃油重度，N/L K = 1.05; % 考虑连续加速,加权系数 Ttq_max = 132; % 发动机的最大转矩(N.m) Fz = G/4; % 驱动轮上的法向反作用力(N) fai = 0.7; % 地面附着系数 ge_ne_pe = 205; % 发动机的燃油消耗率 (g/kW.h) du = 0.1; % 步长
2 Fw CD Aua / 21.15
K Pe ge ne, Pe Q S 102ua
1 Gfua CDAua 3 mua du Pe t 3600 76140 3600 dt
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图18- 1 发动机的0
14
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适应度
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
0
50
100
150
-FZ 0
g6 X =0.85q-ig1 /ig 2 0 g7 X =ig1 /ig 2 -1.20q 0 g8 X =0.80q-ig 2 /ig 3 0 g9 X =ig 2 /ig 3 -1.10q 0 g10 X =0.75q-ig 3 /ig 4 0 g11 X =ig 3 /ig 4 -1.05q 0 g12 X =0.70q-ig 4 /ig 5 0 g13 X =ig 4 /ig 5 -1.0q 0 g14 X =ig 2 /ig 3 -0.95ig1 /ig 2 0 g15 X =ig 3 /ig 4 -0.95ig 2 /ig 3 0 g16 X =ig 4 /ig 5 -0.95ig 3 /ig 4 0 g17 X =Xl -X 0 g18 X =X -X h 0
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•18.4 汽车动力传动参数优化设计
汽车的动力性是指汽车在良好路面上直线行驶时由汽车受到的纵向外力 决定的、所能达到的平均行驶速度。汽车的动力性主要可由以下三方面的指 标来评定： （1）最高车速：最高车速是指在水平良好的路面（混凝土或沥青）上汽 车能达到的最高行驶速度。它仅仅反映汽车本身具有的极限能力，并不反映 汽车实际行驶中的平均车速。 （2）加速能力：汽车的加速能力通过加速时间表示，它对平均行驶车速 有着很大影响，特别是轿车，对加速时间更为重视。当今汽车界通常用原地 起步加速时间与超车加速时间来表明汽车的加速能力。原地起步加速时间是 指汽车由第I挡或第II挡起步，并以最大的加速强度（包括选择适当的换挡时 机）逐步换至最高挡后达到某一预定的距离或车速所需要的时间。超车加速 时间是指用最高挡或次高挡内某一较低车速全力加速至某一高速所需要的时 间。 （3）爬坡能力：汽车的爬坡能力是指汽车满载时，用变速器最低挡在良 好路面上能爬上的最大道路爬坡度。
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•18.4.2 汽车燃油经济性评价
汽车的燃油经济性是指在保证汽车动力性能的前提下，以尽量少的燃油消耗量行
驶的能力。汽车的燃油经济性主要评价指标有以下两方面： （1）等速行驶百公里燃油消耗量：它指汽车在一定载荷（我国标准规定轿车为
半载、货车为满载）下，以最高挡在良好水平路面上等速行驶100km的燃油消耗
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•18.2 粒子群算法模型
为提高PSO算法的性能，常用的对粒子群算法进行改进策略，即C−PSO算法， 其参数改进如下
c1 R1 R2 t / Tmax fi1 rand c 1 c2 R3 R4 t / Tmax fi 2 rand c2 t / T max max min max vij t +1 =vij t fi1 pij xij t fi 2 pg , j xij t xij t 1 xij t vij t 1 j 1, 2,3, , d
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•第18章 基于罚函数的粒子群算法 的函数寻优
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•18.1 粒子群算法概述
自20世纪50年代中期创立了仿生学，许多学者开始从生物中挖掘新的 算法来用于复杂的优化问题。一些学者通过研究生物进化的机理，分别 提出了适合于现实世界复杂优化问题的模拟进化算法（Simulated evolutionary algorithms），例如SA、SOA、ACO、PSO、GA等。 例如美国Michigan大学的J.H.Holland教授等创立的遗传算法GA， Rechenberg等创立的进化策略及Fogel等创立的进化规划。遗传算法 GA、进化策略、进化规划有一定的相似性，它们均来自于达尔文的进 化论，其中遗传算法GA的研究最为深入，理论最为成熟，并且应用面 也最广。 粒子群算法（PSO）也是一个多学科交叉的领域，同样吸引着众多的 学者运用不同的技术手段对之进行改进研究，具体包括数学、计算机科 学、生物以及物理等许多学科的科研人员，并且粒子群优化算法PSO在 工业、交通、化工、能源、农业、国防、工程、通信等许多领域有着广 阔的应用前景。因此，对粒子群优化算法进行研究具有很重要的意义。