北京市清华大学附属中学数学整式的乘法与因式分解单元测试卷(含答案解析)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

1．因式分解是多项式理论的中心内容之一，是代数中一种重要的恒等变形，它是学习数学和科学技术不可缺少的基础知识．在初中阶段，它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算的基础；利用因式分解的知识，有时可使某些数值计算简便．因式分解的方法很多，请根据提示完成下面的因式分解并利用这个因式分解解决提出的问题．

（1）填空： ①()24

2221144x x x x ⎡⎤+=++-=⎢⎥⎣⎦（ ）22x -=（ ）（ ） ②()()242116=644⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦

=（ ）（ ）=（ ）⨯ （ ） （2）解决问题，计算：4444116844115744⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭ 【答案】（1）①212x +，221122x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭，，②26，26，2211666622⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，42.530.5，；（2）14541 【解析】

【分析】

（1）根据完全平方公式和平方差公式计算可得；

（2）利用前面所得规律变形即可．

【详解】

（1）()242221144x x x x ⎡⎤+=++-⎢⎥⎣⎦ 22212x x ⎛⎫=+- ⎪⎝

⎭ 221122x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭ ()2422211666624⎡⎤+=++-⎢⎥⎣⎦ 2211666622⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

42.530.5=⨯ 故答案为：①212x +，221122x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭，，②26，26，

2211666622⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，42.530.5，； （2）4444116844115744⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭ 2222222211116666888822221111555577772222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+ ⎪⎪⎪⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 42.530.372.556.530.520.556.542.5⨯⨯⨯=

⨯⨯⨯ 14541

= 【点睛】

本题考查了因式分解的应用；熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．

2．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式

分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：22

()()a b a b a b -=+-和完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接能运用完全平方公式分解因式时，可应用下

面方法分解因式，先将多项式2ax bx c ++(0)a ≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．

例如：21124x x ++

2221111112422x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2

112524x ⎛⎫=+- ⎪⎝

⎭ 1151152222x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭ (8)(3)x x =++．

根据以上材料，完成相应的任务：

（1）利用“多项式的配方法”将268x x -+化成2()a x m n ++的形式为_______；

（2）请你利用上述方法因式分解：

①223x x +-； ②24127x x +-．

【答案】（1）2(3)1x --；（2）①(3)(1)x x +-；②(27)(21)x x +-

【解析】

【分析】

（1）将多项式2233+-即可完成配方；

（2）①将多项式+1-1后即可用配方法再根据平方差公式分解因式进行解答；

②将多项式2233+-即可完成配方，再根据平方差公式分解因式，整理后即可得到结果.

【详解】

解：（1）268x x -+=2226338x x -+-+=2(3)1x --，

故答案为：2(3)1x --；

（2）①223x x +-

22113x x =++--

2(1)4x =+-

(12)(12)x x =+++-

(3)(1)x x =+-．

②24127x x +-

222(2)12337x x =++--

2(23)16x =+-

(234)(234)x x =+++-

(27)(21)x x =+-．

【点睛】

此题考查多项式的配方法，多项式的分解因式，正确理解题中的配方法的解题方法是关键.

3．（阅读材料）

因式分解：()()221x y x y ++++．

解：将“x y +”看成整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+．

再将“A ”还原，原式()21x y =++．

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.

（问题解决）

（1）因式分解：()()2154x y x y +-+-；

（2）因式分解：()()44a b a b ++-+；

（3）证明：若n 为正整数，则代数式()()()

21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方．