线性代数教案 同济版

线性代数

课程教案

学院、部

系、所

授课教师

课程名称线性代数

课程学时45学时

实验学时

教材名称

年月日

线性代数 课程教案

授课类型 理论课 授课时间 3 节

授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式

§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换

本授课单元教学目标或要求：

1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。

2. 知道n 阶行列式的定义。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法

设12n p p p L 是1,2,,n L 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……

最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++L 。

2. n 阶行列式

1212111212122212()12(1)n n n

n

t p p np p p p n n nn

a a a a a a D a a a a a a =

=-∑L L L L M M M L

其中12n p p p L 为自然数1,2,,n L 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列

12()n p p p L 求和。

n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。

3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用

1112

112212212122

a a D a a a a a a ==-

1112

13

2122

2311223312233113213231

32

33

132231122133112332

a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---

重点和难点：理解行列式的定义

行列式的定义中应注意两点：

(1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。由排列知识可知，D 中这样的

乘积共有!n 项。 (2) 和式中的任一项都带有符号(1)t

-，t 为排列12()n p p p L 的逆序数，

即当12n p p p L 是偶排列时，对应的项取正号；当12n p p p L 是奇排列时，对应的项取负号。

综上所述，n 阶行列式D 恰是D 中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。

例：写出4阶行列式中含有1123a a 的项。

解：11233244a a a a -和11233442a a a a 。

例：试判断142331425665a a a a a a 和324314512566a a a a a a -是否都是6阶行列式中的项。

解：142331425665a a a a a a 下标的逆序数为()4312650122016τ=+++++=，所以142331425665

a a a a a a 是6阶行列式中的项。

324314512566a a a a a a -下标的逆序数为(341526)(234156)538ττ+=+=，所以324314512566a a a a a a -不

是6阶行列式中的项。

例：计算行列式0001

002003004000

D =

解：0123

(1)123424D +++=-⋅⋅⋅=

本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合

首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n 阶行列式的定义。

通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。

本授课单元思考题、讨论题、作业： §1 P.26 1(1)(3) §2 2(5)(6)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）

线性代数 课程教案

授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式

§5 行列式的性质

§6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则

本授课单元教学目标或要求： 1． 知道n 阶行列式的性质。

2． 知道代数余子式的定义和性质。

3． 会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n 阶行列式。 4． 知道克拉默法则。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：

1. 行列式的性质

(1) 行列式D 与它的转置行列式T

D 相等。 (2) 互换行列式的两行（列），行列式变号。

(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式；或者行列式的

某一行（列）的各元素有公因子k ，则k 可提到行列式记号之外。

(4) 行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。

(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。

(6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列

式的值不变。

2. 行列式的按行（列）展开

(1) 把n 阶行列式中(,)i j 元ij a 所在的第i 行和第j 列划去后所成的1n -阶行列式称为(,)i j 元ij a 的

余子式，记作ij M ；记(1)

i j

ij ij A M +=-，则称ij A 为(,)i j 元ij a 的代数余子式。

(2) n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第

i 行展开：

1122(1,2,,)i i i i in in D a A a A a A i n =+++=L L ；

或可以按第j 列展开：

1122(1,2,,)j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=L L .

(3) 行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

11220,i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠L ，

或

11220,i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠L .

3. 克拉默法则

含有n 个未知元12,,n x x x L 的n 个线性方程的方程组