中国计量大学813高等代数17-20年真题
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一、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1. 多项式 f (x) 没有重因式的充要条件是_____ _ .
102 2. x 3 1 的代数余子式 A12 1，则代数余子式 A21 ___________ .
4x5
3.方程组
x1 x2 2x3 a 3x1 x2 6x3 a
2
有无穷多解，则 a
2 3 x1
6. f (x1, x2 ) 3 5 x2 ，则二次型的对应矩阵是 ______
.
x1 x2 0
7. 向量 1 1 2 4T 在基1 1 2 4T ，2 1 1 1T ，3 1 3 9T 下的
坐标是 ___________ . 8. V1 和V2 都是线性空间V 的线性子空间，若V1 V2 V1 V2 则V1 V2 ________ .
f (1) g(1)
.
2 1 3 2. 设 A 1 1 1 ， 则 A31 A32 A33
42 3
， A3i (i 1, 2, 3) 是 元 素
a3 j ( j 1, 2, 3) 的代数余子式.
3.已知方程组
xx11
x2 kx3 kx2 x3
4 k2
无解，则
k
Βιβλιοθήκη Baidu
.
x1 x2 2x3 4
6. 设 A 是 n 阶可逆矩阵， 0 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A* 有特征值
[ ].
（A） 1 A n ； （B） 1 A ； （C） A ； （D） A n
7. n 维欧式空间V 中，两两夹角成钝角的元素不多于[ ]个.
(A) 1 ； (B) n ; (C) n 1 ;
二、单选题（每小题 4 分，共 28 分） 1.下列两个矩阵 A 和 B 合同的是［ ］.
（A）
A
1 1
1 1
,
B
0 1
1
2
（B）
A
1 2
2 1
,
B
2 1
1
2
1 0 1 1 0 0
0 2 0 1 0 0
（C）
A
0 1
1 0
0 1
,
B
0 0
3 0
0 0
（D）
A
2 0
0 0
4. 设 A 是 三 阶 可 逆 矩 阵 ， 将 A 的 第 一 行 和 第 三 行 互 换 后 得 到 矩 阵 B ， 其 中
A1
a1 a2
b1 b2
c1 c2
，则
B
可逆，且
B 1
.
a3 b3 c3
5. 与向量组1 2, 1, 3,2 3 , 1, 5 都正交的单位向量
.
1 1 1
___________
.
x1 4x2 11x3 a 3
4.
a1 a2
b1 b2
c1 c2
a3 b3 c3
a1 a2
c1 c2
b1 b2
a1 a2
c1 c2
.
a3 c3 b3 a3 c3
1 0 1
5.
设
A
0
2
0
,则
An
___________
.
1 0 1
在这组基下的坐标。 7. （14 分）设 A 为一 n n 矩阵，且 rank (A) r ，证明：存在一个 n n 可逆矩阵 P ， 使得 PAP1 的后 n r 行全为零.
【完】
《高等代数》试卷 第 4页 共 4 页
一、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1. 设多项式 f (x), g(x) 是两个多项式，且 f (x3) xg(x3) 可以被 x2 x 1 整除，则
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 b
无解、有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解.
1 2 2
4．（15
分）设三维线性空间V
上的线性变换
在基 1, 2 ,3
下的矩阵为
A
2
1
2
.
2 2 1
求证：W L(1 2, 1 3) 是 的不变子空间.
5.（14 分）已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，-1，0，对应特征向量分别为
1 0 2
p1
0
,
p2
3
,
p3
1
，求矩阵
A.
1
2
1
《高等代数》试卷 第 3页 共 4 页
6.（13 分）若1, 2 , 3, , n 是 n 维线性空间V 的一组基， V 在这一组基下的坐标
为 n, n 1,, 2,1' 。令 1 1, 2 1 2 , , n 1 2 n 也是V 的一组基，求
其中 D1
2
， D2
2 1
1. 2
4 2 0 0
2.（11
分）设矩阵
X
的伴随矩阵
X
*
3
0
1 0
0 4
0 0
，求矩阵
X.
0
0
0
1
3.（13 分） a,b 取何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1
3x1
2 x2 x2
x3 2x3
x4 x4
3x5 6x5
a 3
(D) n 1
《高等代数》试卷 第 2页 共 4 页
三、解答题（本题共 7 小题，满分 90 分，解答应写出文字说明、验算步骤）
2 1 0 00 0 0 1 2 1 00 0 0 0 1 210 0 0 1.（10 分）计算 n 阶行列式 Dn . 0 0 0 021 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 00 1 2
对换得到 C ，则 A 与 C ［ （A）等价但不相似；
］. （B）合同但不相似；
（C）相似但不合同；
（D）等价、合同且相似.
4.设 A 是 n 阶方阵，且 r( A) r n, 则 A 的 n 个行向量中［ ］.
（A）必有 r 个行向量线性无关； （B）任意 r 个行向量线性无关； （C）任意 r 个 行向量都构成最大线性无关组；
6.
设
A
2 1
（D）任意一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示.
5. A, B 是 n 阶矩阵，且 A B AB ，则下列四个结论正确的有[ ]个.
（1） A 可逆 B 可逆
（2） B 可逆 A B 可逆
（3） A B 可逆 AB 可逆 （4） A E 恒可逆
（A）1； （B）2； （C）3； （D）4.
0 1
,
B
0 0
2 0
0 2
.
《高等代数》试卷 第 1页 共 4 页
2. n 元线性方程组 Ax b 有两个解 a 和 c ，则下列方程的解是 a c 的是［ ］. （A） 2Ax b ； （B） Ax 0 ； （C） Ax a ； （D） Ax c . 3.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B ，将 B 的第 i 行和第 j 行
102 2. x 3 1 的代数余子式 A12 1，则代数余子式 A21 ___________ .
4x5
3.方程组
x1 x2 2x3 a 3x1 x2 6x3 a
2
有无穷多解，则 a
2 3 x1
6. f (x1, x2 ) 3 5 x2 ，则二次型的对应矩阵是 ______
.
x1 x2 0
7. 向量 1 1 2 4T 在基1 1 2 4T ，2 1 1 1T ，3 1 3 9T 下的
坐标是 ___________ . 8. V1 和V2 都是线性空间V 的线性子空间，若V1 V2 V1 V2 则V1 V2 ________ .
f (1) g(1)
.
2 1 3 2. 设 A 1 1 1 ， 则 A31 A32 A33
42 3
， A3i (i 1, 2, 3) 是 元 素
a3 j ( j 1, 2, 3) 的代数余子式.
3.已知方程组
xx11
x2 kx3 kx2 x3
4 k2
无解，则
k
Βιβλιοθήκη Baidu
.
x1 x2 2x3 4
6. 设 A 是 n 阶可逆矩阵， 0 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A* 有特征值
[ ].
（A） 1 A n ； （B） 1 A ； （C） A ； （D） A n
7. n 维欧式空间V 中，两两夹角成钝角的元素不多于[ ]个.
(A) 1 ； (B) n ; (C) n 1 ;
二、单选题（每小题 4 分，共 28 分） 1.下列两个矩阵 A 和 B 合同的是［ ］.
（A）
A
1 1
1 1
,
B
0 1
1
2
（B）
A
1 2
2 1
,
B
2 1
1
2
1 0 1 1 0 0
0 2 0 1 0 0
（C）
A
0 1
1 0
0 1
,
B
0 0
3 0
0 0
（D）
A
2 0
0 0
4. 设 A 是 三 阶 可 逆 矩 阵 ， 将 A 的 第 一 行 和 第 三 行 互 换 后 得 到 矩 阵 B ， 其 中
A1
a1 a2
b1 b2
c1 c2
，则
B
可逆，且
B 1
.
a3 b3 c3
5. 与向量组1 2, 1, 3,2 3 , 1, 5 都正交的单位向量
.
1 1 1
___________
.
x1 4x2 11x3 a 3
4.
a1 a2
b1 b2
c1 c2
a3 b3 c3
a1 a2
c1 c2
b1 b2
a1 a2
c1 c2
.
a3 c3 b3 a3 c3
1 0 1
5.
设
A
0
2
0
,则
An
___________
.
1 0 1
在这组基下的坐标。 7. （14 分）设 A 为一 n n 矩阵，且 rank (A) r ，证明：存在一个 n n 可逆矩阵 P ， 使得 PAP1 的后 n r 行全为零.
【完】
《高等代数》试卷 第 4页 共 4 页
一、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1. 设多项式 f (x), g(x) 是两个多项式，且 f (x3) xg(x3) 可以被 x2 x 1 整除，则
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 b
无解、有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解.
1 2 2
4．（15
分）设三维线性空间V
上的线性变换
在基 1, 2 ,3
下的矩阵为
A
2
1
2
.
2 2 1
求证：W L(1 2, 1 3) 是 的不变子空间.
5.（14 分）已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，-1，0，对应特征向量分别为
1 0 2
p1
0
,
p2
3
,
p3
1
，求矩阵
A.
1
2
1
《高等代数》试卷 第 3页 共 4 页
6.（13 分）若1, 2 , 3, , n 是 n 维线性空间V 的一组基， V 在这一组基下的坐标
为 n, n 1,, 2,1' 。令 1 1, 2 1 2 , , n 1 2 n 也是V 的一组基，求
其中 D1
2
， D2
2 1
1. 2
4 2 0 0
2.（11
分）设矩阵
X
的伴随矩阵
X
*
3
0
1 0
0 4
0 0
，求矩阵
X.
0
0
0
1
3.（13 分） a,b 取何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1
3x1
2 x2 x2
x3 2x3
x4 x4
3x5 6x5
a 3
(D) n 1
《高等代数》试卷 第 2页 共 4 页
三、解答题（本题共 7 小题，满分 90 分，解答应写出文字说明、验算步骤）
2 1 0 00 0 0 1 2 1 00 0 0 0 1 210 0 0 1.（10 分）计算 n 阶行列式 Dn . 0 0 0 021 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 00 1 2
对换得到 C ，则 A 与 C ［ （A）等价但不相似；
］. （B）合同但不相似；
（C）相似但不合同；
（D）等价、合同且相似.
4.设 A 是 n 阶方阵，且 r( A) r n, 则 A 的 n 个行向量中［ ］.
（A）必有 r 个行向量线性无关； （B）任意 r 个行向量线性无关； （C）任意 r 个 行向量都构成最大线性无关组；
6.
设
A
2 1
（D）任意一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示.
5. A, B 是 n 阶矩阵，且 A B AB ，则下列四个结论正确的有[ ]个.
（1） A 可逆 B 可逆
（2） B 可逆 A B 可逆
（3） A B 可逆 AB 可逆 （4） A E 恒可逆
（A）1； （B）2； （C）3； （D）4.
0 1
,
B
0 0
2 0
0 2
.
《高等代数》试卷 第 1页 共 4 页
2. n 元线性方程组 Ax b 有两个解 a 和 c ，则下列方程的解是 a c 的是［ ］. （A） 2Ax b ； （B） Ax 0 ； （C） Ax a ； （D） Ax c . 3.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B ，将 B 的第 i 行和第 j 行