第二章射线衍射原理

b•(S S 0)K→ b（cosβ2-cosα 2）=K λ
表明构成平面的两列原子产生的衍射圆锥的 交线才是衍射方向。
劳厄方程
劳厄方程
3、三维劳厄 方程 —考 虑三维晶体衍射方向
a •(S S 0)H
b c • •( (S S S S 0 0) ) K L
或 a（cosβ1-cosα 1）=H λ b（cosβ2-cosα 2）=K λ c（cosβ3-cosα 3）=L λ
1、衍射矢量方程 如图示，定义衍射矢量
SS0//N |S-S0|=2sinθ=λ/d
SS0CB
反射线单位方 向矢量
衍射矢量在方向上平行
于产生衍射的晶面的法 线；其大小与晶面间距（HKL）
呈倒数关系。
SS0
入射线单位方 向矢量
衍射矢量方程
得：（ S S 0 ） / g H H K a j L K b j L c j
厄瓦尔德图解
2、 厄瓦尔德图解 ⑴ 衍射矢量几何图解——衍射矢量三角形 当入射条件（波长、方向）不变时， 每一个产生衍 射的晶面组都对应着一个等腰矢量三角形。
（HKL）
SS0
厄瓦尔德图解
⑵ 厄瓦尔德图解
这些衍射矢量三角形的共同点就是拥有公共边S0（1/ λ ） 和公共顶点O（样品位置）。由几何知识
1,1,0 (44.68,100.0)
体心立方 Fe a=b=c=0.2866 nm
2,0,0 (65.03,14.9)
2,1,1 (82.35,28.1)
研究衍射方向可以 确定晶胞的形状和
大小
2,2,0 (98.96,9.3)
3,1,0 (116.40,16.6)
35
40
45
50
55
60
65
70
75
45
50
1,1,0 100
90
Leabharlann Baidu
80
70
60
50
40
30
20
10
0
35
40
45
50
(a) 体心立方 Fe a=b=c=0.2866 nm
2,0,0 (65.03,14.9)
2,1,1 (82.35,28.1)
2,2,0 (98.96,9.3)
3,1,0 (116.40,16.6)
55
60
65
70
75
80
2.1 倒易点阵
g010
g100
2.1 倒易点阵
量的名称 晶面指数 晶向指数 面间距
晶向或阵点矢量 晶向长度或阵点 矢量长度 结点位置 点阵参数
正、倒点阵中相应量的符号 正点阵中
倒点阵中
(hkl) [uvw]
dhkl ruvw = u a + v b + w c
ruvw
(uvw)* [hkl]* d*uvw g*hkl= h a* + k b* + l c* g*hkl
uvw
a、b、c 、、、
hkl
a*、b*、c* 、 *、 *、 *
返 回
2.2 衍射方向
关于衍射方向的理论主要有以下几个： 劳厄方程 布拉格方程 衍射矢量方程和厄瓦尔德图解 衍射方向理论小结
2.2 衍射方向
2.2.1 劳厄方程 劳厄假设晶体为光栅（点阵常数即光栅常数），
晶体中原子受X射线照射产生球面波并在一定方 向上相互干涉，形成衍射波。
晶体 晶胞 空间点阵 晶体结构 晶格常数 晶面与晶向、晶面族与晶向族 晶带与晶带定理
2.1 倒易点阵
2.1.1 倒易点阵的构建 X射线衍射分析是通过对衍射花样的分析来反推
出晶体结构特征的。 倒易点阵—在晶体
点阵（正点阵）基 础上按一定对应关 系构建的一个空间
点阵。如图示，a、 b、c表示正点阵基 矢，a*、b*、c*表
劳厄法
劳厄法实验以平板底片 接收衍射线，其衍射花 样为一系列斑点，实际 上是衍射线与底片的交 点。根据公式
tan2θ=r/L
r—斑点到中心距离； L—试样到底片距离。 可计算出底片上各衍射 斑点对应的晶面组。进 一步分析还可得到晶体 取向、晶体不完整性等 信息。劳厄法常用于测 定单晶体的取向。
周转晶体法
晶面按面间距排列如下：
（HKL） 110 200 211 220 310 222 321
dHKL 0.202 0.143 0.117 0.101 0.090 0.083 0.076
若用波长为0.194nm的FeKα线照射α-Fe，其半波长 λ/2=0.097nm，则只有前4个晶面能产生衍射；若用波长为 0.154nm的CuK α线照射，其半波长为0.077，则前5个晶面 都可以产生衍射。
θθ
δ=bc-ad=acosθ-acosθ=0
布拉格方程
考虑两相邻原子面散射 线光程差。如图示： δ=AB+BC=2dsinθ，根 据干涉加强条件，得：
d
2dsinθ=nλ
这就是布拉格方程。
d-衍射晶面间距；θ-掠 射角；λ-入射线波长； n-反射级数。
θθ θθ
布拉格方程
3、布拉格方程讨论
粉末衍射法
⑶粉末衍射法（多晶法） 用单色X射线照射粉末多晶体的衍射方法。其原理如
图所示。多晶粉末中含有大量取向不同的小晶粒，各 小晶粒中同名 （HKL）晶面 相应倒易点在 空间构成一个 以倒易矢量长 度为半径的球 面（倒易球）。
上式即是衍射矢量方程。晶面要产生衍射，必须满 足该方程。
满足衍射矢量方程， 有可能产生衍射，也 有可能不产生衍射； 若晶面产生衍射，则 一定满足衍射矢量方 程。
厄瓦尔德图解
问题：用一束波长为λ的X射线沿某一确定方向照射 晶体时，晶体中有哪些晶面能够产生衍射？衍射线 在空间如何分布？
厄瓦尔德图解
（HKL） 与（hkl）区别： （HKL）面不一定是晶体 中的真实原子面，是为了简化布拉格方程引入的“反
射面”。干涉指数H、K、L与h、k、l区别在于前者
带有公约数n，后者为互质的。
布拉格方程
⑵产生衍射条件
d≥λ/2
即，用特定波长的X射线照射晶体，能产生衍射的 晶面其面间距必须大于或等于半波长。如α-Fe，其
Si2n2(H2K2 L2）
4 a2
c2
Si2n42(H a22
K2 b2
L2） c2
布拉格方程
晶体结构相同（晶胞），点阵常数不同时，同
名（HKL ）面衍射角不同；
Intensity (%) 100
1,1,0 (44.68,100.0)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Intens3i5ty (%) 40
示倒易点阵基矢。
2.1 倒易点阵
a ·a*= b ·b*=c ·c*=1； a*·b=a*·c=b*·c=b*·a=c*·a=c*·b=0
方向—倒易基矢垂直于正点阵中异名基矢构成的平面 长度—倒易基矢与正点阵矢量间是倒数关系
a bc,b ca,c ab a 1 ,b 1 ,c 1
acos bcos ccos
⑵周转晶体法
——用单色X射线照射转动的单晶体的衍射方法。其衍 射原理如图示。单晶体转动相当于其对应倒易点阵绕 与入射线垂直轴线转动，使得原来与反射球不相交的 倒易点在转动过程中与反射球有一次或两次相交机会， 从而产生衍射。
周转晶体法
实验中，底片卷成圆筒状接受衍射线，衍射 花样为一系列斑点，其实质为衍射线与底片 的交点。分析这些斑点的分布可以得到晶体 结构信息。此方法常用于测定未知晶体结构。
co2 s1co2 s2co2 s31 co2s1co2s2co2s31
劳厄方程
返回
布拉格方程
2.2.2布拉格方程 1、布拉格实验简介——“选择”反射
实验结果：θ=15°和 32°记录到衍射线
布拉格方程
2、方程推证 当用一束X射线照射一层原子面时，两个相邻原子
散射线之间无光程差，可以相干加强 ，将原子面 视作“散射基元”。
质
晶面面间距的倒数
2.1 倒易点阵 g *//N HKL |g*|=1/dHKL
2.1 倒易点阵
由于gHKL*在方向上是正空 间中（HKL）面的法线方
向，在长度上是1/dHKL，所 以gHKL*唯一代表正空间中 的相应的一组（HKL）晶
面。
1/dHKL
一组（HKL）晶面 一个倒易阵点HKL
倒易矢量g*HKL 一组（HKL）晶面
劳厄方程
1.一维劳厄 方程 —— 单一原子列衍射方向
a•(S S 0)H
a（cosβ1-cosα1）=H λ
S—衍射线单位方向矢量
S0—入射线线单位方向矢量
劳厄方程
当X射线照射到一列原子上时，各原子散射线之间相
干加强成衍射波，此时在空间形成一系列衍射圆锥。
劳厄方程
a 2、•(二S 维S 劳0)厄 方H 程→—a—（单co一sβ原1-c子os面α 1衍）射=H方λ向
3,1,1
(90.41,22.7) 2,2,2
(95.67,6.6)
4,0,0 (117.71,3.8)
85
90
95
100
105
110
115
120
布拉格方程
⑸ 衍射产生必要条件 满足布拉格方程的晶面不一定能够产生衍射，
但产生衍射的晶面一定满足布拉格方程。
返回
衍射矢量方程
2.2.2 衍射矢量方程和厄瓦尔德图解
85
90
95
100
105
110
115
120
(b) 体心立方 W a=b=c=0.3165 nm
2,0,0
2,1,1
2,2,0
3,1,0
2,2,2
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
布拉格方程
不同晶胞，同名（HKL）面衍射角不同。
Intensity (%)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
第二章 X射线衍射原理 λ I0
第二章 X射线衍射原理
X射线照射晶体，电子受迫产生振动，向四周辐 射同频率电磁波。同一原子内的电子散射波相干 加强成原子散射波。由于晶体内原子呈周期性排 列，各原子散射波之间存在固定位向关系而产生 干涉作用，在某些方向相干加强成衍射波。
衍射的本质就是晶体中各个原子相干散射波叠加 的结果。衍射花样反映了晶体内部原子排列的规 律。
S2 S1
S0
厄瓦尔德图解
按上述方法构建的球称厄瓦尔德球或者反射球。 这种求解衍射方向的方法就是厄瓦尔德图解法。
对于求解衍射方向，图解法非常直观，可以解释 不同衍射方法得到的衍射花样。
劳厄法
Ⅰ劳厄法
劳厄法是用连续X射线 照射单晶体的衍射方法。 其原理如图示。根据厄 瓦尔德图解，用连续谱 照射单晶体，相应反射 球半径为一连续变量， 落在最大半径和最小半 径球面之间的所有倒易 点相应晶面都可能发生 衍射。
正点阵与倒易点阵晶胞体积也是互为倒数
V 1 V
2.1 倒易点阵
2.1.2 倒易矢量及其性质
倒矢易 量，矢用量—g—* 表由示倒：易原g 点 指H 向a 任 意 倒K b 易 阵 点L c 的 方向
其中H、K、L为整数。
基
g*方向——垂直于对应正点阵
本
中的（HKL）晶面
性
g*长度——等于对应（HKL）
⑴干涉晶面和干涉指数
2dhklsinθ=nλ ↓
2（dhkl /n）sinθ=λ ↓ 令dHKL=dhkl /n
2dHKLsinθ=λ
（hkl）面的n级反射可以看成 是（HKL）面的一级反射， 对布拉格方程进行了简化。 （HKL）称为干涉晶面，H、 K、L称为干涉指数，其中：
H=nh, K=nk,L=nl 。
80
85
90
95
100
105
110
115
120
Intensity (%)
1,1,1
(43.51,100.0) 100
面心立方：Fe
90
a=b=c=0.360nm
80
70
60
2,0,0
50
(50.67,44.6)
40
2,2,0
30
(74.49,21.4)
20
10
0
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
布拉格方程
⑶选择反射
由2dsinθ= λ知， λ一定时，d、 θ为变量，即不同d值
的晶面产生的衍射对应不同θ角。也就是说用波长为
λ的X射线照射晶体时，每一个产生衍射的晶面对应
不同衍射角。
2θ
2θ2
d1 θ2
θ1
d2
2θ1
布拉格方程
⑷ 衍射方向与晶体结构关系
立方晶系 正方晶系 斜方晶系
Si2n4a22(H2K2L2）
第二章 X射线衍射原理
衍射现象
衍射原理
定性和定量
晶体结构
X射线衍射揭示晶体结构特征主要有两个方面： ⑴ X射线的衍射方向反映了晶胞的形状和大小； ⑵ X射线的衍射强度反映了晶胞中的原子位置
和种类。
第二章 X射线衍射原理
2.1 倒易点阵 2.2 X射线衍射方向 2.3 X射线衍射强度
晶体学知识
可知，反射方向S的终点 必落在以O为中心，以 |S0|为半径的球上——厄 瓦尔德球或反射球。 OS方向即为相应晶面的
g2*
g1*
g3*
衍射线方向。
厄瓦尔德图解
厄瓦尔德图的构建——以1/λ为半径构建一个球，球 心位于试样O点，入射线与球交点O*为倒易原点，
则连接O*与S终点的矢量即为g*。在以O*为倒易原 点的倒易点阵中，只要阵点落在球面上，则该点对 应的晶面就可能产生衍射。S即为衍射方向。